高中數(shù)學 人教A版 選修一直線和圓的方程 直線與圓的方程-單元教學設計-合肥市

人教A版高中數(shù)學選修第一冊《第二章直線和圓的方程》單元教學設計一、單元內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容解析幾何是17世紀法國數(shù)學家笛卡爾和費馬創(chuàng)立的，它的基本內(nèi)涵和方法是：通過坐標系，把幾何的基本元素——點和代數(shù)的基本對象——數(shù)(有序數(shù)對或數(shù)組)對應起來，在此基礎上建立曲線(點的軌跡)的方程，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再通過代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)。直線與圓是平面幾何中的基本圖形，本章我們將在平面直角坐標系中，探索確定直線位置的幾何要素，建立直線的方程，并通過直線的方程研究兩條直線的位置關系、交點坐標以及點到直線的距離等。類似地，通過確定圓的幾何要素，建立圓的方程，再通過圓的方程研究與圓有關的問題；最后應用直線和圓的方程解決一些實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數(shù)學思想。具體來看，本章包括五節(jié)內(nèi)容：2.1直線的傾斜角與斜率，2.2直線的方程，2.3直線的交點坐標與距離公式，2.4圓的方程，2.5直線與圓、圓與圓的位置關系。這一結(jié)構體系體現(xiàn)了研究解析幾何的基本思路和方法。本單元的知識結(jié)構如下：本章教學約需16課時，大致分配如下：(1)2.1直線的傾斜角與斜率(約2課時)第1課時：在平面直角坐標系中，探索確定直線位置的幾何要素并用代數(shù)方法表示出來，引入直線的傾斜角，再利用傾斜角與直線上點的坐標關系引入直線的斜率，導出了斜率公式。第2課時：通過直線的斜率學習兩條直線平行和垂直的判定。(2)2.2直線的方程(約3課時)第1課時：在經(jīng)過兩點的直線斜率公式的基礎上，利用給定的點和斜率建立直線上任意一點所滿足的代數(shù)關系，通過驗證直線上的點滿足這個關系式和滿足這個關系式的點都在這條直線上，得出直線的點斜式方程，并學習它的特例斜截式方程。第2課時：利用兩點的坐標以及直線的點斜式方程推導出它的變式兩點式方程，并學習兩點式方程的特例截距式方程。第3課時：任意一條直線都可以用一個二元一次方程表示，引入直線的一般式方程，明確點斜式方程是其他所有方程的基礎。(3)2.3直線的交點坐標與距離公式(約4課時)第1課時：運用直線的方程，判斷兩條直線的位置關系，求出兩條直線相交時的交點坐標。第2課時：用向量法得出平面上兩點間的距離公式。第3課時：用坐標法和向量法推導點到直線的距離公式，體會兩種方法的異同。第4課時：學習點到直線的距離公式的“推論”：兩條平行線間的距離。(4)2.4圓的方程(約2課時)第1課時：根據(jù)確定圓的幾何要素和兩點間距離公式，推導圓的標準方程第2課時：把圓的標準方程展開，得到圓的一般方程，兩種方程各有自己的特點，并且可以相互轉(zhuǎn)化。(5)2.5直線與圓、圓與圓的位置關系(約3課時)第1課時：用代數(shù)方法和幾何方法判斷直線與圓的位置關系，解決直線與圓相交、相切的有關問題。第2課時：利用直線與圓的方程解決簡單的數(shù)學問題和實際問題。第3課時：根據(jù)給定圓的方程，判斷圓與圓的位置關系，并能解決兩圓相切、兩圓相交的有關問題。(6)小結(jié)(約2課時)第1課時：回顧2.1直線的傾斜角與斜率、2.2直線的方程和2.3直線的交點坐標與距離公式，梳理其知識結(jié)構，對典型題型進一步的鞏固訓練。第2課時：回顧2.4圓的方程和2.5直線與圓、圓與圓的位置關系，梳理其知識結(jié)構，對典型題型進一步的鞏固訓練。2.內(nèi)容解析(1)內(nèi)容的本質(zhì)：直線與圓是平面幾何中最基本的圖形，借助平面直角坐標系，把幾何的基本元素(點)和代數(shù)的基本對象(數(shù)，有序數(shù)對或數(shù)組)對應起來，在此基礎上建立曲線(點的軌跡)方程，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再通過代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)。最后應用直線和圓的方程解決一些實際問題。(2)蘊含的數(shù)學思想和方法：本章研究框架如下：以平面直角坐標系為工具，確定曲線的基本元素及基本關系——建立曲線的方程——通過方程研究曲線的有關問題。本章的數(shù)學思想方法十分豐富，包括函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、特殊與一般的思想和化歸與轉(zhuǎn)化的思想等。(3)知識的上下位關系：直線和圓是歐氏幾何的兩類基本幾何對象，把他們作為解析幾何開始階段的研究對象，通過建立直線和圓的方程，研究與它們有關的問題，有利于學生構建研究的路徑。而且直線與圓是平面幾何中已經(jīng)研究過的圖形，本章用解析幾何的方法進行再研究，可以使學生體會解析幾何方法的特點，理解“坐標法”。為圓錐曲線的學習打下基礎，解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展史上的一個里程碑，數(shù)學從此進入變量數(shù)學時期，它為微積分的創(chuàng)建奠定了基礎。(4)育人價值：在平面直角坐標系中，探索確定直線位置的幾何要素，建立直線的方程，并通過直線的方程研究兩條直線的位置關系、交點坐標及距離公式等。類似地，通過確定圓的幾何要素，建立圓的方程，再通過圓的方程研究與圓有關的問題；最后能在現(xiàn)實情境和數(shù)學情境中抽象概括直線與圓的概念，應用直線和圓的方程解決一些實際問題。這一過程利于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，是發(fā)展學生抽象概括、推理論證、直觀想象、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)很好的載體.(5)教學重點：在平面直角坐標系中用傾斜角(幾何)和斜率(代數(shù))刻畫直線的方向；過兩點的直線斜率公式；建立直線的方程，用代數(shù)語言描述這些特征和問題；借助幾何圖形的特點，形成解決問題的思路，利用直線方程，通過直觀想象和代數(shù)運算求解有關問題。例如：兩條直線的位置關系、交點坐標、點到直線的距離公式、平行線間的距離等。類似地利用圓的幾何要素建立圓的方程，利用方程討論直線與圓、圓與圓的位置關系。引導學生經(jīng)歷完整的用坐標法研究幾何圖形的過程，使學生形成對坐標法的基本認識，掌握用坐標法解決問題的步驟，形成對坐標法與綜合法的聯(lián)系與差異的深刻體驗。二、單元目標和目標解析1.目標(1)通過介紹章引言，初步了解解析幾何的產(chǎn)生及其意義，初步認識坐標法思想。(2)通過在平面直角坐標系中探索確定直線位置的幾何要素，學習直線的傾斜角與斜率，并能相互轉(zhuǎn)化。(3)通過直線上任意兩點的坐標推導出過兩點的斜率公式。(4)通過直線的斜率和方向向量學習兩條直線平行和垂直的判定。(5)通過經(jīng)歷由確定直線的幾何要素(一點和方向)建立直線的點斜式方程，通過把幾何要素中的“點”特殊化，得到直線的斜截式方程；明確點斜式方程和斜截式方程的適用范圍。(6)通過把兩點轉(zhuǎn)化成點和方向，運用直線的點斜式方程得出它的變式兩點式方程，并學習直線的兩點式方程的特例：截距式方程；明確兩點式方程和截距式方程的適用范圍。(7)通過直線的特殊形式的方程歸納出直線的一般式方程，明確特殊形式與一般式的關系，并可以進行直線不同形式方程間的互化。(8)通過解方程組的方法求兩條直線的交點坐標。(9)通過平面向量的知識推導兩點間的距離公式，已知兩點的坐標利用公式可以求出兩點的距離。(10)通過坐標法和向量法推導點到直線的距離公式，通過“設而不求”的方法簡化點到直線的距離公式的推導過程，掌握公式，體會兩種方法之間的差異。(11)通過點到直線的距離公式推導兩條平行直線間的距離公式，掌握公式。(12)通過確定圓的幾何要素類比直線方程的構建過程推導圓的標準方程，掌握圓的標準方程中相關量的幾何意義，通過給定的圓心坐標和半徑能熟練寫出圓的標準方程。(13)通過圓的標準方程推導出圓的一般方程，明確圓的一般方程的結(jié)構特點，可以把圓的一般方程化為圓的標準方程，從而求出圓心坐標和圓的半徑。(14)通過幾何方法和代數(shù)方法描述直線與圓的三種位置關系，給定直線、圓的方程，通過研究聯(lián)立方程組解的情況或通過計算圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關系。(15)知道直線與圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用，通過直線與圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題和實際問題。(16)理解圓與圓的位置關系，通過兩圓的方程可以判斷兩個圓的位置關系。(17)收集有關解析幾何形成與發(fā)展的文獻，撰寫論文，論述解析幾何形成與發(fā)展的過程、重要結(jié)果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻.2.目標解析達成上述目標的標志是：(1)能說出坐標法的基本思想，知道笛卡爾、費馬是解析幾何的創(chuàng)立者。(2)能說明傾斜角是從形的角度刻畫直線的方向，斜率是從數(shù)的角度刻畫直線的方向，能描述兩者之間的相互轉(zhuǎn)換關系。(3)能推導得出過兩點的直線的斜率公式，并能靈活運用斜率公式計算直線的斜率。(4)能描述如何利用斜率或方向向量判斷兩直線平行或垂直，能根據(jù)給定條件求出直線的的斜率或方向向量，進而判斷兩直線平行或垂直。(5)能根據(jù)確定直線位置的幾何要素(點和方向)，經(jīng)歷利用斜率公式探索得到直線的點斜式方程。并能通過把幾何要素中的“點”特殊化，得到直線點斜式方程的特例：直線的斜截式方程；能描述點斜式方程和斜截式方程的適用范圍。(6)能根據(jù)兩點的坐標代入直線的點斜式方程得出直線的兩點式方程，能根據(jù)兩點的坐標寫出直線的兩點式方程，能用直線的兩點式方程推導出經(jīng)過兩條坐標軸上兩點的截距式方程；能描述兩點式方程和截距式方程的適用范圍。(7)能從代數(shù)方程的角度認識直線方程四種不同形式本質(zhì)上的共性，并能根據(jù)所學方程的結(jié)構特征歸納出直線的一般式方程，能進行直線不同形式方程的互化。(8)能描述兩條直線交點(坐標)的幾何(代數(shù))含義，能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標。(9)能推導兩點間的距離公式，會分析公式中相關量的幾何意義，能根據(jù)給定的兩點坐標熟練運用公式求兩點間的距離。(10)會運用多種方法推導點到直線的距離公式，明確使用公式的前提條件；能根據(jù)給定的點與直線熟練運用公式求點到直線的距離。(11)能將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，并會用點到直線的距離公式導出兩條平行直線間的距離公式；能說明應用公式的前提條件，并能用公式求給定兩平行直線間的距離。(12)能根據(jù)圓心的坐標和圓的半徑，熟練地求出圓的標準方程，能從圓的標準方程快速得出圓心坐標、半徑。(13)能描述圓的一般方程的方程結(jié)構與代數(shù)意義，能熟練進行圓的標準方程與一般方程間的互化，能根據(jù)給定的條件求出圓的一般方程。(14)能用幾何方法和代數(shù)方法描述直線與圓的三種位置關系，能根據(jù)不同方法判斷直線與圓的位置關系；能解決直線與圓相切、相交的有關問題。(15)能用直線與圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題和實際問題。(16)能描述圓與圓的位置關系，能根據(jù)給定兩圓的方程判斷兩個圓的位置關系；能解決兩圓相切、兩圓相交的有關問題。(17)能夠在本章的學習中，提升數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和邏輯推理的素養(yǎng)。三、單元教學問題診斷分析從學生已經(jīng)學習過的知識中看，在初中階段學生學習了平面直角坐標系的相關概念，知道了直角坐標系中點與有序?qū)崝?shù)對之間的一一對應關系，但將它作為一個研究幾何圖形的工具，這是第一次。學生對于坐標系作為一個參照系，在刻畫直線位置時如何發(fā)揮其作用，之前沒有這方面的經(jīng)驗。初中平面幾何中，通過直觀感知、操作確認的方式，學生了解了兩點確定一條直線，兩點之間線段最短，點到直線的距離的意義及其度量，過一點有且只有一條直線與這條直線垂直，過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行等基本事實；重點研究了相交線與平行線，知道了用兩條直線所成的角的關系可以刻畫相交線的性質(zhì)，掌握了平行線的判定定理和性質(zhì)定理等；知道了平行線的傳遞性。教學中的一個明顯感受是:很難給出直線的確切定義，因此關于直線及其相互關系的結(jié)論也都給人以“直觀描述”的印象。同樣地，學生對“什么是直線的方程”“什么是方程的直線”“如何建立直線方程”等問題缺乏認識；對于直線與圓的位置關系，平面幾何中只是給出了定性刻畫，無法作出精確定量的判斷，新課程標準要求在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素，這與以前的知識有很大的不同，學生接受起來比較困難。從學生現(xiàn)有的學習能力看，通過“預備知識”的學習，學生在學習心理、學習方法和知識技能等方面為本章的學習作了一定的準備，但是數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、轉(zhuǎn)化與劃歸等思想方法，學生的感悟不高，學生具備的抽象概括能力不足，概念的內(nèi)涵和基本性質(zhì)的本質(zhì)理解不夠透徹，不夠深入，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題能力相對欠缺。本章教學難點定位為：用直線的傾斜角與斜率刻畫直線的幾何特征，建立直線的傾斜角、斜率及直線上任意兩點縱橫坐標差商之間的關系；建立直線方程，對二元一次方程表示一條直線，一條直線可以用二元一次方程表示的認識；用向量方法推導點到直線的距離公式，對圓與圓的方程之間關系的認識；運用直線與圓的方程解決簡單的問題。因此教師在本章教學中要通過對平面直角坐標系的要素分析，使學生明確坐標軸的定向功能和原點的基準點作用，從而理解直角坐標系作為“參照系”的內(nèi)涵，并進而理解把“方向”作為確定直線位置的幾何要素的合理性；直線點斜式方程的學習要幫助學生從分析確定直線位置的幾何要素入手，分析如何用代數(shù)方法刻畫這些幾何要素及要素間的關系，認識直線的方程就是直線上所有點的幾何特征的代數(shù)表示，進而尋找如何用點的坐標刻畫直線的幾何特征，通過過兩點的直線斜率公式的“變式”表達，建立直線的點斜式方程；結(jié)合點斜式方程和一般式方程，讓學生體會“直線的方程”和“方程的直線”，認識直線與直線的方程之間的關系，以及從數(shù)與形兩個角度對研究對象進行研究的思維方法；點到直線的距離問題的教學學生容易想到坐標法，但運算量大，引導學生體會“設而不求”的思想，通過對上一章的回顧，引導學生用向量法去解決距離問題，體會兩者的差異；圓與圓的方程的學習應引導學生根據(jù)初中學習圖形與幾何的經(jīng)驗以及本章前面所學內(nèi)容，類比用直線的方程研究兩條直線的位置關系，研究運用直線和圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關系，充分體會“類比”的