高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念2第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日一、區(qū)域1.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)3第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑,也可寫成點(diǎn)P0的去心鄰域記為在空間中,(球鄰域)4第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?。因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.5第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.區(qū)域(1)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集

E

及一點(diǎn)

P:若存在點(diǎn)P的某鄰域

U(P)E,若存在點(diǎn)P的某鄰域

U(P)∩E=,若對(duì)點(diǎn)P的任一鄰域

U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E的外點(diǎn),則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E的外點(diǎn);則稱P為E

的邊界點(diǎn)

.顯然,E的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E的外點(diǎn)必不屬于E,

E的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.

6第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日(2)聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的,點(diǎn)P

的去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn),

則稱P是E的聚點(diǎn).3.聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E

(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為E的邊界點(diǎn))1.內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說明：2.邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；7第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日例如,(0,0)是聚點(diǎn)但不屬于集合．例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．例如,(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．8第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集；若點(diǎn)集E

E

,則稱E為閉集；

若集D中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,則稱D是連通的;

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.

連通的開集稱為開區(qū)域,簡稱區(qū)域;。。

E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界,記作E;9第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域10第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日

整個(gè)平面

點(diǎn)集

是開集，

是最大的開域,

也是最大的閉域；但非區(qū)域.o11第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域．例如，12第十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日3.n維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n維空間,n維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中稱為該點(diǎn)的第k個(gè)坐標(biāo).記作即的一個(gè)點(diǎn),當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為

中的零元,記作

O.13第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日的距離記作中點(diǎn)a

的鄰域?yàn)橐?guī)定為

與零元O的距離為14第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日二、多元函數(shù)的概念

引例:圓柱體的體積三角形面積的海倫公式15第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．16第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日定義1.

設(shè)非空點(diǎn)集點(diǎn)集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當(dāng)n=2時(shí),有二元函數(shù)當(dāng)n=3時(shí),有三元函數(shù)映射稱為定義在D上的n元函數(shù),記作17第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日二元函數(shù)的圖形（如下頁圖）18第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.19第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:20第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日例1求的定義域．解所求定義域?yàn)?1第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日例2求的定義域．解：要使函數(shù)有意義，必須即定義域22第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日定義2.

設(shè)n元函數(shù)則稱A為函數(shù)(也稱為n重極限)當(dāng)n=2時(shí),記P0是D的聚點(diǎn)若存在常數(shù)A,使得:記作都有三、多元函數(shù)的極限23第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日說明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．24第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在.(4)二重極限不同.

如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限由后例6知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在.25第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日例3求證證當(dāng)時(shí)，原結(jié)論成立．26第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日例4求極限當(dāng)時(shí)，所以解27第二十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日例5求極限解其中28第二十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日趨于不同值或有的極限不存在，解:設(shè)P(x,y)沿直線y=kx趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)沒有極限.則可以斷定函數(shù)則有k值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.若當(dāng)點(diǎn)以不同方式趨于極限不存在.例6.

證明函數(shù)函數(shù)29第二十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日例7證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．30第三十頁，共四十二頁，2022年，8月28日確定極限不存在的方法：31第三十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.設(shè)n元函數(shù)定義在D上,如果函數(shù)在D上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上連續(xù).如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn).則稱n元函數(shù)連續(xù),

32第三十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日例如,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,

又如,函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周33第三十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日例9討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解：由前面的討論可知，所以該函數(shù)在原點(diǎn)連續(xù)。34第三十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域結(jié)論:

一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).35第三十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日解:原式例11.求36第三十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日定理：若f(P)在有界閉域D上連續(xù),則在D上至少可取得最大值M及最小值m一次;(3)對(duì)任意(有界性定理)

(最值定理)

(介值定理)

閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．37第三十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日思考題38第三十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日思考題解答不能.例取但是不存在.原因?yàn)槿羧?9第三十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日

作業(yè)P115(2),(4),(6);6(2),(3),(5),(6);7.40第四