深圳大學(xué)師范學(xué)院附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖所示，在一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為2、3、4的密封的長(zhǎng)方體裝置中放一個(gè)單位正方體禮盒，現(xiàn)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則正確的是（）A．的坐標(biāo)為 B．的坐標(biāo)為C．的長(zhǎng)為 D．的長(zhǎng)為2．若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知數(shù)列，滿足，若，則（）A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)，其中為已知實(shí)常數(shù)，，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．若，則對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立；B．若，則函數(shù)為奇函數(shù)；C．若，則函數(shù)為偶函數(shù)；D．當(dāng)時(shí)，若，則（）．5．在集合且中任取一個(gè)元素，所取元素x恰好滿足方程的概率是（）A． B． C． D．6．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加演講比賽，那么下列互斥但不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少1名男生”與“全是女生”B．“至少1名男生”與“至少有1名是女生”C．“至少1名男生”與“全是男生”D．“恰好有1名男生”與“恰好2名女生”7．已知向量，，則，的夾角為（）A． B． C． D．8．方程的解所在的區(qū)間為（）A． B．C． D．9．一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為，則該正四棱錐的全面積為A．8 B．12 C．16 D．2010．在△ABC中，，,．的值為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)，，則______．12．已知數(shù)列{}滿足，若數(shù)列{}單調(diào)遞增，數(shù)列{}單調(diào)遞減，數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為____.13．已知數(shù)列滿足，，則______．14．函數(shù)的最小正周期為_______.15．若集合，，則集合________.16．若則的最小值是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知非零數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若關(guān)于的不等式有解，求整數(shù)的最小值；（3）在數(shù)列中，是否存在首項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng)()，使得這三項(xiàng)依次構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出所有的；若不存在，請(qǐng)說明理由.18．從甲、乙兩班某項(xiàng)測(cè)試成績(jī)中各隨機(jī)抽取5名同學(xué)的成績(jī)，得到如圖所示的莖葉圖.已知甲班成績(jī)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13，乙班成績(jī)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.（1）求x，y的值；（2）試估計(jì)甲、乙兩班在該項(xiàng)測(cè)試中整體水平的高低.（注：方差，其中為的平均數(shù)）19．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l交C于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，軸，垂足為H．連結(jié)QH并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)R．（i）設(shè)O到直線QH的距離為d．求d的取值范圍;（ii）求面積的最大值及此時(shí)直線l的方程．20．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，且∠BAP＝∠CDP＝90°（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB＝AD，且四棱錐的側(cè)面積為6+2，求四校錐P﹣ABCD的體積．21．2021年廣東新高考將實(shí)行“”模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共選六科參加高考.其中偏理方向是二選一時(shí)選物理，偏文方向是二選一時(shí)選歷史，對(duì)后四科選擇沒有限定.（1）小明隨機(jī)選課，求他選擇偏理方向及生物學(xué)科的概率；（2）小明、小吳同時(shí)隨機(jī)選課，約定選擇偏理方向及生物學(xué)科，求他們選課相同的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)坐標(biāo)系寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)分析即可.【詳解】由所建坐標(biāo)系可得：，，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，考查空間中距離的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)列不等式，根據(jù)一元二次不等式恒成立時(shí)，判別式和開口方向的要求列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由得，即恒成立，由于時(shí)，在上不恒成立，故，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查一元二次不等式恒成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

利用遞推公式計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)，找出數(shù)列的周期，然后利用周期性求出的值.【詳解】，且，，，，所以，，則數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)列遞推公式求數(shù)列中的項(xiàng)，推導(dǎo)出數(shù)列的周期是解本題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.4、D【解析】

利用兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)表達(dá)式.對(duì)于A選項(xiàng)，將化簡(jiǎn)得到的表達(dá)式代入上述表達(dá)式，可判斷出A選項(xiàng)為真命題.對(duì)于B選項(xiàng)，將化簡(jiǎn)得到的表達(dá)式代入上述表達(dá)式，可判斷出為奇函數(shù)，由此判斷出B選項(xiàng)為真命題.對(duì)于C選項(xiàng)，將化簡(jiǎn)得到的表達(dá)式代入上述表達(dá)式，可判斷出為偶函數(shù)，由此判斷出C選項(xiàng)為真命題.對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)、，求得的零點(diǎn)的表達(dá)式，由此求得（），進(jìn)而判斷出D選項(xiàng)為假命題.【詳解】.不妨設(shè)．為已知實(shí)常數(shù).若，則得；若，則得．于是當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，即命題A是真命題；當(dāng)時(shí)，，它為奇函數(shù)，即命題B是真命題；當(dāng)時(shí)，，它為偶函數(shù)，即命題C是真命題；當(dāng)時(shí)，令，則，上述方程中，若，則，這與矛盾，所以．將該方程的兩邊同除以得，令（），則，解得（）．不妨取，（且），則，即（），所以命題D是假命題．故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩角和的余弦公式，考查三角函數(shù)的奇偶性，考查三角函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)問題的求解，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于中檔題.5、B【解析】

寫出集合中的元素，分別判斷是否滿足即可得解.【詳解】集合且的元素，,，，，，.基本事件總數(shù)為，滿足方程的基本事件數(shù)為.故所求概率.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率的求解，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

從3名男生和2名女生中任選2名學(xué)生的所有結(jié)果有“2名男生”、“2名女生”、“1名男生和1名女生”．選項(xiàng)A中的兩個(gè)事件為對(duì)立事件，故不正確；選項(xiàng)B中的兩個(gè)事件不是互斥事件，故不正確；選項(xiàng)C中的兩個(gè)事件不是互斥事件，故不正確；選項(xiàng)D中的兩個(gè)事件為互斥但不對(duì)立事件，故正確．選D．7、A【解析】

由題意得，即可得，再結(jié)合即可得解.【詳解】由題意知，則.，則，的夾角為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】試題分析：由題意得，設(shè)函數(shù)，則，所以，所以方程的解所在的區(qū)間為，故選B.考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn).9、B【解析】

先求側(cè)面三角形的斜高，再求該正四棱錐的全面積.【詳解】由題得側(cè)面三角形的斜高為，所以該四棱錐的全面積為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的邊長(zhǎng)的計(jì)算和全面積的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.10、B【解析】

由正弦定理列方程求解?！驹斀狻坑烧叶ɡ砜傻茫海?，解得：.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由，根據(jù)兩角差的正切公式可解得．【詳解】，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角差的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的考查．12、【解析】

分別求出{}、{}的通項(xiàng)公式，再統(tǒng)一形式即可得解?！驹斀狻拷猓焊鶕?jù)題意，又單調(diào)遞減，{}單調(diào)遞減增…①…②①+②,得，故代入，有成立，又…③…④③+④，得，故代入，成立。，綜上，【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用，考查了分類思想和運(yùn)算能力，屬于難題。13、1023【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的定義以及前項(xiàng)和公式即可．【詳解】因?yàn)樗?，所以為首先?公比為2的等比數(shù)列，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和：屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

將三角函數(shù)進(jìn)行降次，然后通過輔助角公式化為一個(gè)名稱，最后利用周期公式得到結(jié)果.【詳解】，.【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式，及輔助角公式，周期的運(yùn)算，難度不大.15、【解析】由題意，得，，則.16、【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求結(jié)果.【詳解】則，即由題意知，則，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求解和的最小值問題，關(guān)鍵是能夠利用對(duì)數(shù)相等得到的關(guān)系，從而構(gòu)造出符合基本不等式的形式.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）存在，或.【解析】

（1）由條件可得，即，再由等比數(shù)列的定義即可得證；

（2）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，，再由數(shù)列的單調(diào)性的判斷，可得最小值，解不等式即可得到所求最小值；

（3）假設(shè)存在首項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng)()，使得這三項(xiàng)依次構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和恒等式的性質(zhì)，可得，的方程，解方程可得所求值.【詳解】解：（1）證明：由，

得，即，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；

（2）由（1）可得，，則

故，

設(shè)，

則，

所以單調(diào)遞增，

則，于是，即，

故整數(shù)的最小值為；

（3）由上面得，，

設(shè)，

要使得成等差數(shù)列，即，

即，

得，

，

，

故為偶數(shù)，為奇數(shù)，

或.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求得最值，考查存在性問題的解法，注意運(yùn)用恒等式的性質(zhì)，是一道難度較大的題目.18、（1），；（2）乙班的整體水平較高【解析】

（1）由莖葉圖數(shù)據(jù)以及平均數(shù)，中位數(shù)的定義求解即可；（2）分別計(jì)算出甲乙兩班的方差，得出，所以乙班的整體水平較高.【詳解】（1）由莖葉圖知甲班成績(jī)數(shù)據(jù)依次為9，12，，20，26所以中位數(shù)為，得；乙班成績(jī)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，得.（2）乙班整體水平較高.理由：由題意及（1）得因?yàn)?，所以乙班的整體水平較高.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用莖葉圖計(jì)算平均數(shù)，中位數(shù)以及方差的應(yīng)用，屬于中檔題.19、(1)；(2)（i）（ii）面積最大值為，直線的方程為.【解析】

（1）根據(jù)題意列出方程求解即可（2）聯(lián)立直線與圓的方程，得出P、Q、H三點(diǎn)坐標(biāo)，表示出QH直線方程，采用點(diǎn)到直線距離公式求解；利用圓的幾何關(guān)系，表示出三角形的底和高，再結(jié)合函數(shù)最值問題進(jìn)行求解【詳解】（1）由及兩點(diǎn)距離公式，有，化簡(jiǎn)整理得，．所以曲線C的方程為；（2）（i）設(shè)直線l的方程為；將直線l的方程與圓C的方程聯(lián)立，消去y，得（，解得因此，，，所以直線QH的方程為．到直線QH的距離，當(dāng)時(shí)．，所以，（ii）過O作于D，則D為QR中點(diǎn)，且由（i）知，，，又由，故的面積，由，有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且此時(shí)由（i）有，即.綜上，的面積最大值為的面積最大值為，且當(dāng)面積最大時(shí)直線的方程為.【點(diǎn)睛】直線與圓的綜合類題型常采用點(diǎn)到直線距離公式、圓內(nèi)構(gòu)造的直角三角形，將代數(shù)問題與幾何問題進(jìn)行有效結(jié)合，可大大降低解題難度.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）只需證明平面，，即可得平面平面平面；（2）設(shè)，則，由四棱錐的側(cè)面積，取得，在平面內(nèi)作，垂足為．可得平面且,即可求四棱錐的體積．【詳解】（1）由已知，得，，由于，故，從而平面，又平面，所以平面平面.（2）設(shè)，則，所以，從而，也為等腰直角三角形，為正三角形，于是四棱錐的側(cè)面積，解得，在平面內(nèi)作，垂足為，由（1）知，平面，故，可得平面且，故四棱錐的體積．【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定與證明，以及四棱錐的體積的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）；（2）【解析】

（1）利用列舉法,列舉出偏理方向和偏文方向的所有情況,即可求得小明選擇偏理方向且選擇了生物學(xué)科的概率.（2）利用列舉法,列舉出兩個(gè)人選擇偏理方向且?guī)в猩飳W(xué)科的所有可能,即可求得兩人選課相同的概率.【詳解】（1）由題意知,選六科參加高考有偏理方向：（物,政,地）、（物,政,化）、（物,政,生）、（物,地,化）、（物,地,生）、（物,化,生）六種選擇；偏文方向有：（史,政,地）、（史,政,化）、（史,政,生）、（史,地,化）、（史,地,生）、（史,化,生）六種選擇.由以上可知共有12種選課模式.小明選擇偏理方向又選擇生物的概率為.（2）小明選擇偏理且有生物學(xué)科的可能有：（物,