全國(guó)各地2019年中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)解析匯編-29解直角三角形

解直角三角形一、選擇題1.（2018?孝感，第8題3分）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交成的銳角為α，若AC=a，BD=b，則?ABCD的面積是（）A．a(chǎn)bsinαB．a(chǎn)bsinαC．a(chǎn)bcosαD．a(chǎn)bcosα考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形．分析：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DO于點(diǎn)E，進(jìn)而得出EC的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式求出即可．解答：解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DO于點(diǎn)E，∵在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交成的銳角為α，AC=a，BD=b，∴sinα=，∴EC=COsinα=asinα，∴S△BCD=CE×BD=×asinα×b=absinα，∴?ABCD的面積是：absinα×2=absinα．故選；A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及解直角三角形，得出EC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．2.（2018?泰州，第6題，3分）如果三角形滿足一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，那么我們稱(chēng)這個(gè)三角形為“智慧三角形”．下列各組數(shù)據(jù)中，能作為一個(gè)智慧三角形三邊長(zhǎng)的一組是（）A．1，2，3B．1，1，C．1，1，D．1，2，考點(diǎn)：解直角三角形專(zhuān)題：新定義．分析：A、根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，不能構(gòu)成三角形，依此即可作出判定；B、根據(jù)勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是頂角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．解答：解：A、∵1+2=3，不能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、底邊上的高是=，可知是頂角120°，底角30°的等腰三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定義，故選項(xiàng)正確．故選：D．點(diǎn)評(píng)：考查了解直角三角形，涉及三角形三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．3.（2018?揚(yáng)州，第8題，3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tan∠MCN=（）（第2題圖）A．B．C．D．﹣2考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：連接AC，通過(guò)三角形全等，求得∠BAC=30°，從而求得BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求得CM的長(zhǎng)，連接MN，過(guò)M點(diǎn)作ME⊥ON于E，則△MNA是等邊三角形求得MN=2，設(shè)NF=x，表示出CF，根據(jù)勾股定理即可求得MF，然后求得tan∠MCN．解答：解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，連接MN，連接AC，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°在Rt△ABC與Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（LH）∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，∴BC=AC，∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=2，在Rt△BMC中，CM===2．∵AN=AM，∠MAN=60°，∴△MAN是等邊三角形，∴MN=AM=AN=2，過(guò)M點(diǎn)作ME⊥ON于E，設(shè)NE=x，則CE=2﹣x，∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2，解得：x=，∴EC=2﹣=，∴ME==，∴tan∠MCN==故選A．點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角函數(shù)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4.（2018?濱州，第11題3分）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，則BC的長(zhǎng)為（）A．6B．7.5C．8D．12.5考點(diǎn)：解直角三角形分析：根據(jù)三角函數(shù)的定義來(lái)解決，由sinA==，得到BC==．解答：解：∵∠C=90°AB=10，∴sinA=，∴BC=AB×=10×=6．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形和勾股定理的應(yīng)用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，則sinA=，cosA=，tanA=．5.（2018?德州，第7題3分）如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長(zhǎng)為（）A．4米B．6米C．12米D．24米考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題．分析：先根據(jù)坡度的定義得出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)．解答：解：在Rt△ABC中，∵=i=，AC=12米，∴BC=6米，根據(jù)勾股定理得：AB==6米，故選B．點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，勾股定理，難度適中．根據(jù)坡度的定義求出BC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．二.填空題1．（2018?新疆，第13題5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，則AC=．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）考點(diǎn)：解直角三角形．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：根據(jù)正切的定義得到tanB=，然后把tan37°≈0.75和BC=32代入計(jì)算即可．解答：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，所以tanB=，即tan37°=，所以AC=32?tan37°=32×0.75=24．故答案為24．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．2．（2018?舟山，第12題4分）如圖，在地面上的點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂B的仰角為α度，AC=7米，則樹(shù)高BC為米（用含α的代數(shù)式表示）．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．分析：根據(jù)題意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函數(shù)即可求出BC的高度．解答：解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，∴=tanα，∴BC=AC?tanα=7tanα（米）．故答案為：7tanα．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解．3．（2018?浙江寧波，第17題4分）為解決停車(chē)難的問(wèn)題，在如圖一段長(zhǎng)56米的路段開(kāi)辟停車(chē)位，每個(gè)車(chē)位是長(zhǎng)5米寬2.2米的矩形，矩形的邊與路的邊緣成45°角，那么這個(gè)路段最多可以劃出17個(gè)這樣的停車(chē)位．（≈1.4）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用．分析：如圖，根據(jù)三角函數(shù)可求BC，CE，則BE=BC+CE可求，再根據(jù)三角函數(shù)可求EF，再根據(jù)停車(chē)位的個(gè)數(shù)=（56﹣BE）÷EF+1，列式計(jì)算即可求解．解答：解：如圖，BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54米，CE=5×sin45°=5×≈3.5米，BE=BC+CE≈5.04，EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.14米，（56﹣5.04）÷3.14+1=50.96÷3.14+1≈16+1=17（個(gè)）．故這個(gè)路段最多可以劃出17個(gè)這樣的停車(chē)位．故答案為：17．點(diǎn)評(píng)：考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以計(jì)算．4.（2018?株洲，第13題，3分）孔明同學(xué)在距某電視塔塔底水平距離500米處，看塔頂?shù)难鼋菫?0°（不考慮身高因素），則此塔高約為182米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．（第1題圖）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．分析：作出圖形，可得AB=500米，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函數(shù)即可求得BC的長(zhǎng)度．解答：解：在Rt△ABC中，AB=500米，∠BAC=20°，∵=tan20°，∴BC=ACtan20°=500×0.3640=182（米）．故答案為：182．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解．5.（2018?泰州，第16題，3分）如圖，正方向ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，E為CD邊上一點(diǎn)，∠DAE=30°，M為AE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q．若PQ=AE，則AP等于1或2cm．（第2題圖）考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形分析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)M為AE中點(diǎn)求出AM的長(zhǎng)，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，進(jìn)而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長(zhǎng)，再利用對(duì)稱(chēng)性確定出AP′的長(zhǎng)即可．解答：解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC=PN，在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，∴tan30°=，即DE=cm，根據(jù)勾股定理得：AE==2cm，∵M(jìn)為AE的中點(diǎn)，∴AM=AE=cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，∵PN∥DC，∴∠PFA=∠DEA=60°，∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=，∴AP===2cm；由對(duì)稱(chēng)性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，綜上，AP等于1cm或2cm．故答案為：1或2．點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．6.（2018?濟(jì)寧，第12題3分）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，則AB的長(zhǎng)為3+．考點(diǎn)：解直角三角形．分析：過(guò)C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根據(jù)含30度角的直角三角形求出CD，根據(jù)勾股定理求出AD，相加即可求出答案．解答：解：過(guò)C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+．故答案為：3+．點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．三.解答題1.（2018?安徽省,第18題8分）如圖，在同一平面內(nèi)，兩條平行高速公路l1和l2間有一條“Z”型道路連通，其中AB段與高速公路l1成30°角，長(zhǎng)為20km；BC段與AB、CD段都垂直，長(zhǎng)為10km，CD段長(zhǎng)為30km，求兩高速公路間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用．分析： 過(guò)B點(diǎn)作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，根據(jù)三角函數(shù)求得BE，在Rt△BCF中，根據(jù)三角函數(shù)求得BF，在Rt△DFG中，根據(jù)三角函數(shù)求得FG，再根據(jù)EG=BE+BF+FG即可求解．解答： 解：過(guò)B點(diǎn)作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，BE=AB?sin30°=20×=10km，在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷=km，CF=BF?sin30°=×=km，DF=CD﹣CF=（30﹣）km，在Rt△DFG中，F(xiàn)G=DF?sin30°=（30﹣）×=（15﹣）km，∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km．故兩高速公路間的距離為（25+5）km．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以計(jì)算．2.（2018?廣東，第20題7分）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量一棵樹(shù)CD的高度，他們先在點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為30°，然后沿AD方向前行10m，到達(dá)B點(diǎn)，在B處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角高度為60°（A、B、D三點(diǎn)在同一直線上）．請(qǐng)你根據(jù)他們測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算這棵樹(shù)CD的高度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用－仰角俯角問(wèn)題．分析：首先利用三角形的外角的性質(zhì)求得∠ABC的度數(shù)，得到BC的長(zhǎng)度，然后在直角△BDC中，利用三角函數(shù)即可求解．解答：解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC?sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．答：這棵樹(shù)CD的高度為8.7米．點(diǎn)評(píng)：本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．3.（2018?珠海，第17題7分）如圖，一艘漁船位于小島M的北偏東45°方向、距離小島180海里的A處，漁船從A處沿正南方向航行一段距離后，到達(dá)位于小島南偏東60°方向的B處．（1）求漁船從A到B的航行過(guò)程中與小島M之間的最小距離（結(jié)果用根號(hào)表示）；（2）若漁船以20海里/小時(shí)的速度從B沿BM方向行駛，求漁船從B到達(dá)小島M的航行時(shí)間（結(jié)果精確到0.1小時(shí)）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．分析：（1）過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)∠AME的度數(shù)求出∠AMD=∠MAD=45°，再根據(jù)AM的值求出和特殊角的三角函數(shù)值即可求出答案；（2）在Rt△DMB中，根據(jù)∠BMF=60°，得出∠DMB=30°，再根據(jù)MD的值求出MB的值，最后根據(jù)路程÷速度=時(shí)間，即可得出答案．解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D，∵∠AME=45°，∴∠AMD=∠MAD=45°，∵AM=180海里，∴MD=AM?cos45°=90（海里），答：漁船從A到B的航行過(guò)程中與小島M之間的最小距離是90海里；（2）在Rt△DMB中，∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°，∵M(jìn)D=90海里，∴MB==60，∴60÷20=3=3×2.45=7.35≈7.4（小時(shí)），答：漁船從B到達(dá)小島M的航行時(shí)間約為7.4小時(shí)．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．4.（2018?廣西賀州，第24題8分）如圖，一艘海輪在A點(diǎn)時(shí)測(cè)得燈塔C在它的北偏東42°方向上，它沿正東方向航行80海里后到達(dá)B處，此時(shí)燈塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海輪在航行過(guò)程中與燈塔C的最短距離（結(jié)果精確到0.1）；（2）求海輪在B處時(shí)與燈塔C的距離（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．分析：（1）過(guò)C作AB的垂線，設(shè)垂足為D，則CD的長(zhǎng)為海輪在航行過(guò)程中與燈塔C的最短距離；（2）在Rt△BCD中，根據(jù)55°角的余弦值即可求出海輪在B處時(shí)與燈塔C的距離．解答：解：（1）C作AB的垂線，設(shè)垂足為D，根據(jù)題意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，設(shè)CD的長(zhǎng)為x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，則AD=x?tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，則BD=x?tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x?tan42°+x?tan55°=80，解得：x≈34.4，答：海輪在航行過(guò)程中與燈塔C的最短距離是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海輪在B處時(shí)與燈塔C的距離是60海里．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用：方向角問(wèn)題，具體就是在某點(diǎn)作出東南西北，即可轉(zhuǎn)化角度，也得到垂直的直線．5．(2019年四川資陽(yáng)，第19題8分)如圖，湖中的小島上有一標(biāo)志性建筑物，其底部為A，某人在岸邊的B處測(cè)得A在B的北偏東30°的方向上，然后沿岸邊直行4公里到達(dá)C處，再次測(cè)得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求這個(gè)標(biāo)志性建筑物底部A到岸邊BC的最短距離．考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．分析： 過(guò)A作AD⊥BC于D，先由△ACD是等腰直角三角形，設(shè)AD=x，得出CD=AD=x，再解Rt△ABD，得出BD==x，再由BD+CD=4，得出方程x+x=4，解方程求出x的值，即為A到岸邊BC的最短距離．解答： 解：過(guò)A作AD⊥BC于D，則AD的長(zhǎng)度就是A到岸邊BC的最短距離．在Rt△ACD中，∠ACD=45°，設(shè)AD=x，則CD=AD=x，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，由tan∠ABD=，即tan60°=，所以BD==x，又BC=4，即BD+CD=4，所以x+x=4，解得x=6﹣2．答：這個(gè)標(biāo)志性建筑物底部A到岸邊BC的最短距離為（6﹣2）公里．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，難度適中，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．(2019年天津市，第22題10分)解放橋是天津市的標(biāo)志性建筑之一，是一座全鋼結(jié)構(gòu)的部分可開(kāi)啟的橋梁．（Ⅰ）如圖①，已知解放橋可開(kāi)啟部分的橋面的跨度AB等于47m，從AB的中點(diǎn)C處開(kāi)啟，則AC開(kāi)啟至A′C′的位置時(shí)，A′C′的長(zhǎng)為m；（Ⅱ）如圖②，某校數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量解放橋的全長(zhǎng)PQ，在觀景平臺(tái)M處測(cè)得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在觀景平臺(tái)N處測(cè)得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放橋的全長(zhǎng)PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，結(jié)果保留整數(shù)）．考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用．專(zhuān)題： 應(yīng)用題．分析： （1）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)即可得出A′C′的長(zhǎng)；（2）設(shè)PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=40m，可得關(guān)于x的方程，解出即可．解答： 解：（I）∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，∴A'C'=AB=23.5m．（II）設(shè)PQ=x，在Rt△PMQ中，tan∠PMQ==1.4，∴MQ=，在Rt△PNQ中，tan∠PNQ==3.3，∴NQ=，∵M(jìn)N=MQ﹣NQ=40，即﹣=40，解得：x≈97．答：解放橋的全長(zhǎng)約為97m．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練銳角三角函數(shù)的定義，難度一般．7．（2019年云南省，第21題6分）如圖，小明在M處用高1米（DM=1米）的測(cè)角儀測(cè)得旗桿AB的頂端B的仰角為30°，再向旗桿方向前進(jìn)10米到F處，又測(cè)得旗桿頂端B的仰角為60°，請(qǐng)求出旗桿AB的高度（取≈1.73，結(jié)果保留整數(shù)）考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題分析： 首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造三角關(guān)系，進(jìn)而可求出答案．解答： 解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，∴BC=CD=10米，在Rt△BCE中，sin60°=，即=，∴BE=5，AB=BE+AE=5+1≈10米．答：旗桿AB的高度大約是10米．點(diǎn)評(píng)： 主要考查解直角三角形的應(yīng)用，本題要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．8．（2018?四川自貢，第18題8分）如圖，某學(xué)校新建了一座吳玉章雕塑，小林站在距離雕塑2.7米的A處自B點(diǎn)看雕塑頭頂D的仰角為45°，看雕塑底部C的仰角為30°，求塑像CD的高度．（最后結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題分析：首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)直角三角形△DEB、△CEB，再利用其公共邊BE求得DE、CE，再根據(jù)CD=DE﹣CE計(jì)算即可求出答案．解答：解：在Rt△DEB中，DE=BE?tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE?tan30°=0.9米，則CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米．故塑像CD的高度大約為1.2米．點(diǎn)評(píng)：本題考查解直角三角形的知識(shí)．要先將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型．分別在兩個(gè)不同的三角形中，借助三角函數(shù)的知識(shí)，研究角和邊的關(guān)系．9．（2018·云南昆明，第20題6分）如圖，在數(shù)學(xué)實(shí)踐課中，小明為了測(cè)量學(xué)校旗桿CD的高度，在地面A處放置高度為1.5米的測(cè)角儀AB，測(cè)得旗桿頂端D的仰角為32°，AC為22米，求旗桿CD的高度.（結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù)：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題。分析：根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為直角三角形中的有關(guān)量，然后選擇合適的邊角關(guān)系求得長(zhǎng)度即可．解答：解：過(guò)點(diǎn)B作，垂足為E（如圖），在Rt△DEB中，，（米），（米）（米）答：旗桿CD的高度為15.1米．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用仰俯角的定義將題目中的相關(guān)量轉(zhuǎn)化為直角三角形BDE中的有關(guān)元素．10．（2018?浙江寧波，第21題8分）如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過(guò)C地，圖中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．（1）求改直的公路AB的長(zhǎng)；（2）問(wèn)公路改直后比原來(lái)縮短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用分析：（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根據(jù)三角函數(shù)求得CH，AH，在Rt△BCH中，根據(jù)三角函數(shù)求得BH，再根據(jù)AB=AH+BH即可求解；（2）在Rt△BCH中，根據(jù)三角函數(shù)求得BC，再根據(jù)AC+BC﹣AB列式計(jì)算即可求解．解答：解：（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，CH=AC?sin∠CAB=AC?sin25°≈10×0.42=4.2千米，AH=AC?cos∠CAB=AC?cos25°≈10×0.91=9.1千米，在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6千米，∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7千米．故改直的公路AB的長(zhǎng)14.7千米；（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7千米，則AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3千米．答：公路改直后比原來(lái)縮短了2.3千米．點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以計(jì)算．11.（2018?益陽(yáng)，第18題，8分）“中國(guó)﹣益陽(yáng)”上消息，益陽(yáng)市為了改善市區(qū)交通狀況，計(jì)劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點(diǎn)，小張為了測(cè)量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測(cè)得如下數(shù)據(jù)：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的長(zhǎng)（精確到0.1米）．參考數(shù)據(jù)：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．（第1題圖）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用．分析：設(shè)AD=x米，則AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB=2.5（x+82），在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB=4x，依此得到關(guān)于x的方程，進(jìn)一步即可求解．解答：解：設(shè)AD=x米，則AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，tan∠BCA=，∴AB=AC?tan∠BCA=2.5（x+82）．在Rt△ABD中，tan∠BDA=，∴AB=AD?tan∠BDA=4x．∴2.5（x+82）=4x，解得x=．∴AB=4x=4×≈546.7．答：AB的長(zhǎng)約為546.7米．點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．12.（2018?益陽(yáng)，第21題，12分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，點(diǎn)P沿線段AB從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=x．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)△ADP與△PCB的外接圓的面積分別為S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．（第2題圖）考點(diǎn)：相似形綜合題．分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，根據(jù)CE=BC?sin∠B求出CE，再根據(jù)AD=CE即可求出AD；（2）若以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似，則△PCB必有一個(gè)角是直角．分兩種情況討論：①當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，求出AP，再根據(jù)在Rt△ADP中∠DPA=60°，得出∠DPA=∠B，從而得到△ADP∽△CPB，②當(dāng)∠CPB=90°時(shí)，求出AP=3，根據(jù)≠且≠，得出△PCB與△ADP不相似．（3）先求出S1=x?，再分兩種情況討論：①當(dāng)2＜x＜10時(shí)，作BC的垂直平分線交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分線交PB于N，交GH于M，連結(jié)BM，在Rt△GBH中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN中，求出MN=（x﹣1），在Rt△BMN中，求出BM2=x2﹣x+，最后根據(jù)S1=x?BM2代入計(jì)算即可．②當(dāng)0＜x≤2時(shí)，S2=x（x2﹣x+），最后根據(jù)S=S1+S2=x（x﹣）2+x即可得出S的最小值．解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，∵∠B=60°，BC=4，∴CE=BC?sin∠B=4×=2，∴AD=CE=2．（2）存在．若以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似，則△PCB必有一個(gè)角是直角．①當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，∴AP=AB﹣PB=2．又由（1）知AD=2，在Rt△ADP中，tan∠DPA===，∴∠DPA=60°，∴∠DPA=∠CPB，∴△ADP∽△CPB，∴存在△ADP與△CPB相似，此時(shí)x=2．②∵當(dāng)∠CPB=90°時(shí)，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，∴PB=2，PC=2，∴AP=3．則≠且≠，此時(shí)△PCB與△ADP不相似．（3）如圖，因?yàn)镽t△ADP外接圓的直徑為斜邊PD，則S1=x?（）2=x?，①當(dāng)2＜x＜10時(shí)，作BC的垂直平分線交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分線交PB于N，交GH于M，連結(jié)BM．則BM為△PCB外接圓的半徑．在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°，∴BG=4，∵BN=PB=（10﹣x）=5﹣x，∴GN=BG﹣BN=x﹣1．在Rt△GMN中，∴MN=GN?tan∠MGN=（x﹣1）．在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣x+，∴S1=x?BM2=x（x2﹣x+）．②∵當(dāng)0＜x≤2時(shí)，S2=x（x2﹣x+）也成立，∴S=S1+S2=x?+x（x2﹣x+）=x（x﹣）2+x．∴當(dāng)x=時(shí)，S=S1+S2取得最小值x．點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的性質(zhì)與判定、二次函數(shù)的最值、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形構(gòu)造相似三角形，注意分類(lèi)討論．13.（2018?株洲，第17題，4分）計(jì)算：+（π﹣3）0﹣tan45°．考點(diǎn)：實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．分析：原式第一項(xiàng)利用平方根定義化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算，最后一項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果．解答：解：原式=4+1﹣1=4．點(diǎn)評(píng)：此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．14.（2018?株洲，第22題，8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)F恰好是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)（AF＞BF）．（1）求證：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義分析：（1）根據(jù)角的平分線的性質(zhì)可求得CE=EF，然后根據(jù)直角三角形的判定定理求得三角形全等．（2）由△ACE≌△AFE，得出AC=AF，CE=EF，設(shè)BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，根據(jù)勾股定理可求得，tan∠B==，CE=EF=，在RT△ACE中，tan∠CAE===；解答：（1）證明：∵AE是∠BAC的平分線，EC⊥AC，EF⊥AF，∴CE=EF，在Rt△ACE與Rt△AFE中，，∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）；（2）解：由（1）可知△ACE≌△AFE，∴AC=AF，CE=EF，設(shè)BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，∴BC===m，∴在RT△ABC中，tan∠B===，在RT△EFB中，EF=BF?tan∠B=，∴CE=EF=，在RT△ACE中，tan∠CAE===；∴tan∠CAE=．點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的判定、性質(zhì)和利用三角函數(shù)解直角三角形，根據(jù)已知條件表示出線段的值是解本題的關(guān)鍵．15.（2018?株洲，第23題，8分）如圖，PQ為圓O的直徑，點(diǎn)B在線段PQ的延長(zhǎng)線上，OQ=QB=1，動(dòng)點(diǎn)A在圓O的上半圓運(yùn)動(dòng)（含P、Q兩點(diǎn)），以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC．（1）當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時(shí)，求△ABC的面積（圖1）；（2）設(shè)∠AOB=α，當(dāng)線段AB、與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)（即A點(diǎn)）時(shí)，求α的范圍（圖2，直接寫(xiě)出答案）；（3）當(dāng)線段AB與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)A、M時(shí)，如果AO⊥PM于點(diǎn)N，求CM的長(zhǎng)度（圖3）．（第5題圖）考點(diǎn)：圓的綜合題；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值．分析：（1）連接OA，如下圖1，根據(jù)條件可求出AB，然后AC的高BH，求出BH就可以求出△ABC的面積．（2）如下圖2，首先考慮臨界位置：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合時(shí)，線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)α=0°；當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時(shí)，線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)α=60°．從而定出α的范圍．（3）設(shè)AO與PM的交點(diǎn)為D，連接MQ，如下圖3，易證AO∥MQ，從而得到△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，從而可以求出MQ、OD，進(jìn)而求出PD、DM、AM、CM的值．解答：解：（1）連接OA，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，如圖1所示．∵AB與⊙O相切于點(diǎn)A，∴OA⊥AB．∴∠OAB=90°．∵OQ=QB=1，∴OA=1．∴AB===．∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=，∠CAB=60°．∵sin∠HAB=，∴HB=AB?sin∠HAB=×=．∴S△ABC=AC?BH=××=．∴△ABC的面積為．（2）①當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合時(shí)，線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)α=0°；②當(dāng)線段A1B所在的直線與圓O相切時(shí)，如圖2所示，線段A1B與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，∴cos∠A1OB==．∴∠A1OB=60°．∴當(dāng)線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)（即A點(diǎn)）時(shí)，α的范圍為：0°≤α≤60°．（3）連接MQ，如圖3所示．∵PQ是⊙O的直徑，∴∠PMQ=90°．∵OA⊥PM，∴∠PDO=90°．∴∠PDO=∠PMQ．∴△PDO∽△PMQ．∴==∵PO=OQ=PQ．∴PD=PM，OD=MQ．同理：MQ=AO，BM=AB．∵AO=1，∴MQ=．∴OD=．∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，∴PD=．∴PM=．∴DM=．∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，∴AM===．∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．∵BM=AB，∴AM=BM．∴CM⊥AB