人教版數(shù)學(xué)九年級上冊同步講義第01課一元二次方程及其解法（一）直接開平方法（教師版）

第01課一元二次方程及其解法（一）直接開平方法目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1．理解一元二次方程的概念；2．理解一元二次方程根的意義；3．會把一元二次方程化為一般形式；4.會用直接開方法解一元二次方程；1.掌握一元二次方程需要滿足的條件；2.知道根的用法；3.會根據(jù)一般式判斷方程的SKIPIF1<0．知識精講知識精講知識點(diǎn)01一元二次方程的有關(guān)概念1．一元二次方程的概念：通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．【知識拓展】識別一元二次方程抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如SKIPIF1<0，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中SKIPIF1<0是二次項(xiàng)，SKIPIF1<0是二次項(xiàng)系數(shù)；SKIPIF1<0是一次項(xiàng)，SKIPIF1<0是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．【知識拓展】(1)只有當(dāng)SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0才是一元二次方程；(2)在求各項(xiàng)系數(shù)時，要把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)時，注意不要漏掉前面系數(shù)的符號.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.【知識拓展】如果已知一元二次方程的根，一般做法是將根代入，再根據(jù)題目含義進(jìn)行下一步解答。4.一元二次方程根的重要結(jié)論已知條件一元二次方程SKIPIF1<0必有一根SKIPIF1<0必有一根SKIPIF1<0有一根SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0必有一根SKIPIF1<0有一根SKIPIF1<0SKIPIF1<0有一根SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0必有一根SKIPIF1<0有一個根SKIPIF1<0則SKIPIF1<0若SKIPIF1<0必有一根SKIPIF1<0知識點(diǎn)02一元二次方程的解法1．直接開方法解一元二次方程：(1)直接開方法解一元二次方程：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.(2)直接開平方法的理論依據(jù)：平方根的定義.(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類：①形如關(guān)于x的一元二次方程SKIPIF1<0，可直接開平方求解若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0；表示為SKIPIF1<0方程有兩個不等實(shí)數(shù)根若SKIPIF1<0則x=O表示為SKIPIF1<0方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根若SKIPIF1<0則方程無實(shí)數(shù)根②形如關(guān)于x的一元二次方程SKIPIF1<0，可直接開平方求解，兩根是SKIPIF1<0．【知識拓展】用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個方程的根.能力拓展能力拓展考法01一元二次方程的判定【典例1】判定下列方程是不是一元二次方程:(1)SKIPIF1<0； (2)SKIPIF1<0．【思路點(diǎn)撥】識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．其中，二次項(xiàng)的系數(shù)SKIPIF1<0，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．其中，二次項(xiàng)的系數(shù)為0，所以原方程不是一元二次方程．【即學(xué)即練1】判斷下列各式哪些是一元二次方程．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．【答案】②③⑥.【解析】①不是方程；④不是整式方程；⑤含有2個未知數(shù)，不是一元方程；⑦化簡后沒有二次項(xiàng)，不是2次方程.②③⑥符合一元二次方程的定義．考法02一元二次方程的一般形式【典例2】把下列方程中的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，并求出各項(xiàng)的系數(shù)：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【答案與解析】(1)兩邊都乘-1，就得到方程3x2+4x-2=0．各項(xiàng)的系數(shù)分別是：a=3，b=4，c=-2．(2)兩邊同乘-12，得到整數(shù)系數(shù)方程6x2-20x+9=0．各項(xiàng)的系數(shù)分別是：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】一般地，常根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)的一元二次方程調(diào)整為二次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)的一元二次方程；把分?jǐn)?shù)系數(shù)的一元二次方程調(diào)整為整數(shù)系數(shù)的一元二次方程．值得注意的是，確定各項(xiàng)的系數(shù)時，不應(yīng)忘記系數(shù)的符號，如(1)題中c=-2不能寫為c=2，(2)題中SKIPIF1<0不能寫為SKIPIF1<0．【即時訓(xùn)練2】將下列方程化為一元二次方程一般形式，并指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：（1）；（2）．【答案】（1），二次項(xiàng)系數(shù)是3、一次項(xiàng)系數(shù)是-5、常數(shù)項(xiàng)是2.（2）化為二次項(xiàng)系數(shù)是a、一次項(xiàng)系數(shù)是1、常數(shù)項(xiàng)是SKIPIF1<0.考法03一元二次方程的解【典例3】如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0的兩根分別為x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分別是()A．-3，2B．3，-2C．2，-3D．2，3【答案】A；【解析】∵x＝2是方程x2+px+q＝0的根，∴22+2p+q＝0，即2p+q＝-4①同理，12+p+q＝0，即p+q＝-1②聯(lián)立①，②得解之得：【點(diǎn)睛】由方程根的定義得到關(guān)于系數(shù)的方程(組)，從而求出系數(shù)的方法稱為待定系數(shù)法，是常用的數(shù)學(xué)解題方法．即分別用2，1代替方程中未知數(shù)x的值，得到兩個關(guān)于p、q的方程，解方程組可求p、q的值．考法04直接開平方法解一元二次方程【典例4】求下列x的值（1）x2﹣25=0 （2）（x+5）2=16．【思路點(diǎn)撥】（1）移項(xiàng)后利用直接開方法即可解決．（2）利用直接開方法解決．【答案與解析】解：（1）∵x2﹣25=0，∴x2=25，∴x=±5．（2）∵（x+5）2=16，∴x+5=±4，∴x=﹣1或﹣9．【總結(jié)升華】應(yīng)當(dāng)注意，形如SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的方程是最簡單的一元二次方程，“開平方”是解這種方程最直接的方法．“開平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．【即時訓(xùn)練3】用直接開平方法求下列各方程的根：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0．【答案】(1)∵x2=361，∴x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=SKIPIF1<0，∴a=SKIPIF1<0或a=SKIPIF1<0．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=SKIPIF1<0，∴m=SKIPIF1<0或m=SKIPIF1<0．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個條件者為正確答案．【詳解】解：A、x2+3y=1，含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故不合題意；B、x2+3x=1，是一元二次方程，故符合題意；C、2x3+3x+5=0，是一元三次方程，故不合題意；D、SKIPIF1<0，是分式方程，故不合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．2．一元二次方程SKIPIF1<0的二次項(xiàng)系數(shù)是（）A．2 B．1 C．SKIPIF1<0 D．0【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：由一元二次方程SKIPIF1<0可知二次項(xiàng)系數(shù)是2；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．3．一元二次方程x2﹣x+1＝2（3x﹣2）的一般形式是（）A．x2﹣7x+5＝0 B．x2+5x﹣3＝0 C．x2﹣7x﹣5＝0 D．x2+5x+5＝0【答案】A【分析】根據(jù)去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，可得答案．【詳解】解：去括號，得：x2﹣x+1＝6x﹣4，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：x2﹣7x+5＝0，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式．此題比較簡單，解題需細(xì)心，注意一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）．4．方程SKIPIF1<0化為一般形式后，SKIPIF1<0的值分別是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先通過移項(xiàng)把方程化成一般形式，再找二次項(xiàng)系數(shù)?一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)即可．【詳解】解：由原方程移項(xiàng)，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的一般形式，確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)，解題關(guān)鍵是利用移項(xiàng)化一元二次方程一般式．5．已知關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的一個根是-1，則SKIPIF1<0的值是（）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【分析】把SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，然后解關(guān)于SKIPIF1<0的方程．【詳解】解：把SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，熟知方程的解即為能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．6．若x＝1是方程x2+ax﹣2＝0的一個根，則a的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】把x＝1代入方程x2+ax﹣2＝0得到關(guān)于a的一次方程，然后解一次方程即可．【詳解】解：把x＝1代入方程x2+ax﹣2＝0得1+a﹣2＝0，解得a＝1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，理解方程的解是使得等式左右兩邊成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．7．方程SKIPIF1<0的解是（）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0再利用直接開平方法解方程可得答案．【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題考查的是直接開平方法解一元二次方程，掌握直接開平方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．方程SKIPIF1<0的解為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)直接開平方法即可求解．【詳解】解SKIPIF1<0x+1=±2∴x+1=2或x+1=-2解得SKIPIF1<0故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟知直接開平方法的運(yùn)用．題組B能力提升練1．已知SKIPIF1<0是關(guān)于x的一元二次方程，則m=_______．【答案】-2【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，一元二次方程必須滿足兩個條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0．由這兩個條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．【詳解】解：由題意，得|m|=2，且m-2≠0，解得m=-2，故答案為：-2．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．2．若關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+x﹣a2+1＝0有一個根為0，則a的值等于_____．【答案】1【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=0代入（a+1）x2+x-a2+1=0得-a2+1=0，再解關(guān)于a的方程，然后利用一元二次方程的定義確定a的值．【詳解】解：把x＝0代入（a+1）x2+x﹣a2+1＝0得﹣a2+1＝0，解得a＝1或a＝﹣1，而a+1≠0，所以a的值為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．3．已知SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，則代數(shù)式SKIPIF1<0的值是______．【答案】12【分析】先根據(jù)一元二次方程的根的定義可得SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，再將其作為整體代入求值即可得．【詳解】解：由題意得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根、代數(shù)式求值，掌握理解一元二次方程的根的定義是解題關(guān)鍵．4．若一元二次方程SKIPIF1<0有一根為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】2021【分析】直接把x＝?1代入一元二次方程SKIPIF1<0中即可得到SKIPIF1<0的值【詳解】∵一元二次方程SKIPIF1<0,有一根為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案為：2021．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解；明確一元二次方程的解的定義是解題關(guān)鍵．5．解方程：SKIPIF1<0的解是____．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用直接開平方法解方程即可．【詳解】解：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程-直接開平方法，掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．6．若實(shí)數(shù)a、b滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為___________．【答案】5【分析】利用平方根的含義求解SKIPIF1<0再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用平方根的含義解方程，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．7．若方程SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0則方程必有一根為___．【答案】-3【分析】將SKIPIF1<0代入原方程并整理，可得到系數(shù)之間的關(guān)系滿足題意，由此確定出答案即可．【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，代入原方程得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，∴原方程必有一根為SKIPIF1<0，故答案為：-3．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的定義，理解根的定義，并且熟記常見的幾組未知數(shù)的值對應(yīng)的系數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．8．解方程：（1）SKIPIF1<0； （2）SKIPIF1<0【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）x1=SKIPIF1<0，x2=SKIPIF1<0【詳解】（1）移項(xiàng)，得SKIPIF1<0，化簡，得SKIPIF1<0，開平方，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0;（2）移項(xiàng)得：9（x﹣1）2=5，（x﹣1）2=SKIPIF1<0，開方得：x﹣1=±SKIPIF1<0，x1=SKIPIF1<0，x2=SKIPIF1<0；題組C培優(yōu)拔尖練1．若關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0是一元二次方程，則SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得到由此可以求得a的值．【詳解】∵關(guān)于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a2+1＝2，且a﹣1≠0，解得，a＝﹣1．故答案為﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．2．方程(a2－4)x2＋(a－2)x＋3＝0，當(dāng)a________時，它是一元二次方程；當(dāng)a________時，它是一元一次方程．【答案】≠±2,=-2【分析】分別根據(jù)一元二次方程及一元一次方程的定義求解即可.【詳解】解:(1)SKIPIF1<0方程(a2-4)x2+(a-2)x+3=0,是一元二次方程,SKIPIF1<0a2-4≠0,a≠SKIPIF1<02;(2)SKIPIF1<0方程(a2-4)x2+(a-2)x+3=0,是一元一次方程,SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得:a=-2.【點(diǎn)睛】此題比較簡單,解答此題的關(guān)鍵是熟知一元二次方程與一元一次方程的定義:(1)只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程;(2)只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)的是1次的整式方程叫做一元一次方程.3．關(guān)于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣3，x2=1（a、b、m均為常數(shù)，a≠0），則方程a（x+m﹣1）2+b=0的解是________．【答案】x1＝﹣2，x2＝2【解析】【分析】把后面一個方程中的x－1看作整體，相當(dāng)于前面一個方程中的x求解．【詳解】∵關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1=﹣3，x2=1，（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），∴方程a（x+m﹣1）2+b=0變形為a[（x－1）+m]2+b＝0，即此方程中x－1＝－3或x－1＝1，解得：x1＝﹣2，x2＝2．故答案為：x1＝﹣2，x2＝2．【點(diǎn)睛】本題考查了方程解的定義．注意由兩個方程的特點(diǎn)進(jìn)行簡便計(jì)算．4．先化簡，再求值：SKIPIF1<0SKIPIF1<0+2m，其中m是方程x2x50的根．【答案】SKIPIF1<0，-5【分析】首先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡，然后根據(jù)m是方程x2x