高數課件29-2二重積分的計算法

第二節(jié)二重積分的計算法利用直角坐標計算(續(xù))利用極坐標計算小結、作業(yè)如果積分區(qū)域為：［X－型］其中函數、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標系計算二重積分如果積分區(qū)域為：［Y－型］

X型區(qū)域的特點：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.

Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.注?。┒胤e分化累次積分的步驟①畫域，②選序，③定限ⅱ）累次積分中積分的上限不小于下限ⅲ）二重積分化累次積分定限是關鍵，積分限要根據積分區(qū)域的形狀來確定，這首先要畫好區(qū)域的草圖，——畫好圍成D的幾條邊界線，若是X—型，就先

y

后

x;若是Y—型，就先x

后

y

.注意內層積分限是外層積分變量的函數，外層積分限是常數。例.

改換解：寫出D的表達式，畫D的圖形改為先對x再對y的積分yx0D24解畫積分區(qū)域如圖例.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:由被積函數可知,因此取D為X–型域:先對x

積分不行,說明:有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.例計算解D是X—型區(qū)域要分部積分，不易計算若先x

后

y

則須分片易見盡管須分片積分，但由于被積函數的特點，積分相對而言也較方便。D解例.

關于分塊函數在D上的積分.其中D：0x1,0y1解：積分區(qū)域如圖記f(x,y)=|y–x|=y–x,當yx時,x–y,當y<x時,且區(qū)域D1:yx和D2:y<x分處在直線y=x的上，下方.故，原式=yx011DD2y

=xD1注：分塊函數的積分要分塊(區(qū)域)來積.另外，帶絕對值的函數是分塊函數。yx0D211y

=xD1D解畫圖.

化二重積分為累次積分時選擇積分次序的重要性，有些題目兩種積分次序在計算上難易程度差別不大，有些題目在計算上差別很大，甚至有些題目對一種次序能積出來，而對另一種次序卻積不出來.

另外交換累次積分的次序：先由累次積分找出二重積分的積分區(qū)域，畫出積分區(qū)域，交換積分次序，寫出另一種次序下的累次積分。以上各例說明:二、利用極坐標系計算二重積分二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖極點在區(qū)域之外區(qū)域特征如圖二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖（極點在D的邊界上）注意里層積分下限未必全為0二重積分化為二次積分的公式（３）

區(qū)域特征如圖（極點在D的內部）極坐標系下區(qū)域的面積例.求其中D：x2+y2

1.解：一般,若D的表達式中含有x2+y2時，可考慮用極坐標積分。0xyx2+y2

1令x=rcos,y=rsin,則x2+y2

1的極坐標方程為r=1.由(2)D*:0r1,0

2另由幾何意義：解例.計算其中解:

在極坐標系下原式的原函數不是初等函數,故本題無法用直角由于故坐標計算.注:利用此例可得到一個在概率論與數理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當D為R2時,利用上例的結果,得①故①式成立.解例計算解計算解：心臟線方程，考慮用極坐標。練習關于二重積分計算的說明：一、基本方法——化為累次積分（降維數）。二、關鍵——選擇適宜的坐標系和累次積分的順序。根據：

(1)積分域的形狀（分塊少，表達簡便）矩形、三角形、邊界主要為直角坐標線——直角坐標；扇形、圓域、圓環(huán)域邊界主要為極坐標線——極坐標；

(2)被積函數的形式（各層積分中的原函數易求）含x2+y2

——極坐標，一般先r后的順序。三、利用對稱性、輪換對等性化簡計算。四、利用幾何意義化簡計算。五、化為二次積分后，各層積分都有：上限>下限。思考題思考題解答作業(yè)習題9-24(2)(4)；5