高中數(shù)學(xué)小問(wèn)題集中營(yíng)專題2.2數(shù)與式大小的比較

PAGE1-專題二數(shù)與式大小的比較一、問(wèn)題的提出【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】若,,則（A）logac<logbc（B）logca<logcb（C）ac<bc（D）ca>cb利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、及冪函數(shù)的性質(zhì)比較數(shù)與式的大小是高考中的熱點(diǎn),本題對(duì)此問(wèn)題作深入探討,幫助同學(xué)們掌握數(shù)與式大小的基本方法.二、問(wèn)題的探源本題解法：由可知是減函數(shù),又,所以．故選B.本題也可以用特殊值代入驗(yàn)證.【點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)單調(diào)性進(jìn)行比較,若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.一、思路點(diǎn)撥1.比較冪形式的兩個(gè)數(shù)的大小,一般的思路是：（1）若能化為同指數(shù),則用冪函數(shù)的單調(diào)性；（2）若能化為同底數(shù),則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（3）若既不能化為同指數(shù),也不能化為同底數(shù),則需尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)作為橋梁來(lái)比較大?。?.若題中所給的對(duì)數(shù)式的底數(shù)相同時(shí),可以考慮利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小,在比較時(shí),一定要注意底數(shù)所在范圍對(duì)單調(diào)性的影響,即a＞1時(shí)是增函數(shù),0＜a＜1時(shí)是減函數(shù),當(dāng)對(duì)數(shù)底數(shù)為變量時(shí),要分情況對(duì)底數(shù)進(jìn)行討論來(lái)比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小.3.若題中所給的對(duì)數(shù)式的底數(shù)和真數(shù)都不相同時(shí),可以找一個(gè)中間量作為橋梁,通過(guò)比較中間量與這兩個(gè)對(duì)數(shù)式的大小來(lái)比較對(duì)數(shù)式的大小,.在具體比較時(shí),可以首先將它們與零比較,分出正負(fù)；正數(shù)通常再與1比較分出大于1還是小于1,然后在各類中間兩兩相比較,另外若題中既有對(duì)數(shù)式又有指數(shù)式,也常用中間量比較大小.4.比較復(fù)雜的數(shù)與式大小的比較有時(shí)可通過(guò)作差或作上比較大小二、技巧和方法1、如何快速判斷對(duì)數(shù)的符號(hào)？八字真言“同區(qū)間正,異區(qū)間負(fù)”,容我慢慢道來(lái)：判斷對(duì)數(shù)的符號(hào),關(guān)鍵看底數(shù)和真數(shù),區(qū)間分為和（1）如果底數(shù)和真數(shù)均在中,或者均在中,那么對(duì)數(shù)的值為正數(shù)（2）如果底數(shù)和真數(shù)一個(gè)在中,一個(gè)在中,那么對(duì)數(shù)的值為負(fù)數(shù)例如：等2、要善于利用指對(duì)數(shù)圖像觀察指對(duì)數(shù)與特殊常數(shù)（如0,1）的大小關(guān)系,一作圖,自明了3、比較大小的兩個(gè)理念：（1）求同存異：如果兩個(gè)指數(shù)（或?qū)?shù)）的底數(shù)相同,則可通過(guò)真數(shù)的大小與指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,判斷出指數(shù)（或?qū)?shù)）的關(guān)系,所以要熟練運(yùn)用公式,盡量將比較的對(duì)象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況例如：,比較時(shí)可進(jìn)行轉(zhuǎn)化,盡管底數(shù)難以轉(zhuǎn)化為同底,但指數(shù)可以變?yōu)橄嗤?從而只需比較底數(shù)的大小即可（2）利用特殊值作“中間量”：在指對(duì)數(shù)中通常可優(yōu)先選擇“0,1”對(duì)所比較的數(shù)進(jìn)行劃分,然后再進(jìn)行比較,有時(shí)可以簡(jiǎn)化比較的步驟（在兵法上可稱為“分割包圍,各個(gè)擊破”,也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對(duì)所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì),例如,可知,進(jìn)而可估計(jì)是一個(gè)1點(diǎn)幾的數(shù),從而便于比較4、常用的指對(duì)數(shù)變換公式：（1）（2）（3）（4）換底公式：進(jìn)而有兩個(gè)推論：（令）三、問(wèn)題的佐證【例1】已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(2,3)),b＝2－eq\f(4,3),c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,3)),則下列關(guān)系式中正確的是()A．c<a<b B．b<a<c【答案】【解析】由題意：，且：，據(jù)此：，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有：，即，本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型，首先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，，再比較比較大小.【例4】【2016高考浙江】已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若，則（）A. B.C. D.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在解不等式時(shí)，一定要注意對(duì)分為和兩種情況進(jìn)行討論，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．四、問(wèn)題的解決1.【2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)】已知，則（）(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】因?yàn)?，，又函?shù)在上是增函數(shù)，所以，即，故選A．【技巧點(diǎn)撥】比較指數(shù)的大小常常根據(jù)三個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)聯(lián)系相關(guān)的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷，如果兩個(gè)數(shù)指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)的單調(diào)性；如果指數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；如果涉及到對(duì)數(shù)，則聯(lián)系對(duì)數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決．2．已知,則的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,故選C．3.【2014遼寧文3】已知，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，?【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較函數(shù)值大小問(wèn)題，往往結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)引入“-1，0，1”等作為“媒介”.本題屬于基礎(chǔ)題，注意牢記常見(jiàn)初等函數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.4.【2015高考山東】設(shè)則的大小關(guān)系是()（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】由在區(qū)間是單調(diào)減函數(shù)可知，，又，故選.5.【2014安徽文5】設(shè)則（）A．B．C．D．【答案】B．【點(diǎn)睛】指對(duì)數(shù)比較大小也是高考中常見(jiàn)的考題，常見(jiàn)的方法有：①比較同底數(shù)對(duì)數(shù)的大小利用函數(shù)單調(diào)性；②底數(shù)不同的對(duì)數(shù)比較，利用函數(shù)圖像及相互位置關(guān)系比較大??；③既有指數(shù)又有對(duì)數(shù)，或?qū)?shù)底數(shù)與真數(shù)都不同時(shí)，常采用放縮法或找中間值法，多選0和1等.6.【2014天津高考】設(shè)則（）A.B.C.D.【答案】C. 【解析】因?yàn)樗?，選C.7.已知,,,,則（）A． B． C． D．【解析】由知為減函數(shù),,選C.8.【2014遼寧高考】已知，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】所以，故選C.9.【2014山東高考】已知實(shí)數(shù)滿足，則下列關(guān)系式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】10.【2015高考陜西】設(shè)，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是（）A．B．C．D．【答案】【解析】；；因?yàn)?，由是個(gè)遞增函數(shù)，所以，故答案選【點(diǎn)睛】1.本題考查函數(shù)單調(diào)性，因?yàn)楹瘮?shù)是個(gè)遞增函數(shù)，所以只需判斷和的大小關(guān)系即可；2.本題屬于中檔題，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.11．已知的定義在的函數(shù),對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù),都有,記,則（）A.B.C.D.【答案】．C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義在的函數(shù),對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù),都有,所以函數(shù)是上的減函數(shù).又因?yàn)?,所以,,故選C.12.【2017天津高考理】已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（A） （B） （C） （D）【答案】【點(diǎn)睛】比較大小是高考常見(jiàn)題，指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的比較大小要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性數(shù)形結(jié)合不僅能比較大小，還可以解不等式.13.【2015高考北京，文10】，，三個(gè)數(shù)中最大數(shù)的是．【答案】【解析】，，，所以最大.14.【2014上海,理9】若，則滿足的取值范圍是.【答案】【點(diǎn)睛】1．冪函數(shù)y＝xα的圖像與性質(zhì)由于α的值不同而比較復(fù)雜，一般從兩個(gè)方面考查：(1)α的正負(fù)：α>0時(shí)，圖像過(guò)原點(diǎn)和(1,1)，在第一象限的圖像上升；α<0時(shí)