2021-2022學(xué)年云南省昆明市高二年級下冊學(xué)期開學(xué)考試學(xué)能力測數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年云南省昆明市高二下學(xué)期開學(xué)考試學(xué)能力測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線，.若，則實(shí)數(shù)（

）A． B．2 C．或2 D．0【答案】A【分析】根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以有：，故選：A2．已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A．21 B．42 C．63 D．84【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列公比為q，根據(jù)給定條件求出即可計(jì)算作答.【詳解】等比數(shù)列公比為q，由得：，即，而，解得，所以.故選：D3．若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式化簡，即可求解【詳解】故選：A4．若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線上與直線平行的切線方程的切線坐標(biāo)，求出切點(diǎn)到直線的距離即為所求最小距離．【詳解】點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，設(shè)，令，解得1或（舍去），，∴曲線上與直線平行的切線的切點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的最小距離.故選：D.5．從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，則向量與垂直的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再根據(jù)向量垂直得到，即可求出符合條件的，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，基本事件總數(shù)．當(dāng)向量與向量垂直時(shí)，即，即，滿足條件的基本事件有，，，共3個(gè)，則所求概率．故選：C6．已知，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)中間值法進(jìn)行判斷.【詳解】,即故選：A7．如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，則此拋物線方程為（

）A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x【答案】B【分析】分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于E，D，設(shè)|BF|=a，運(yùn)用拋物線的定義和直角三角形的性質(zhì)，求得p，可得所求拋物線的方程．【詳解】如圖分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得：|BC|＝2a，由拋物線定義得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，從而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此拋物線方程為y2＝6x.故選：B8．如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME—7）的會徽圖案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】由題意可得的邊長，進(jìn)而可得周長及，進(jìn)而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項(xiàng)和，所以，故選：B.二、多選題9．已知向量，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．不存在實(shí)數(shù)，使得D．若，則【答案】AC【分析】根據(jù)向量的模的計(jì)算公式，可判定A選項(xiàng)正確；根據(jù)向量垂直的條件，列出方程，可判定B選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)共線向量的條件，列出方程組，可判定C選項(xiàng)正確；根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，列出方程，可判定D選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】對于A中，由，可得，解得，故A選項(xiàng)正確；對于B中，由，可得，解得，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C中，若存在實(shí)數(shù)，使得，則，顯然無解，即不存在實(shí)數(shù)，使得，故C選項(xiàng)正確；對于D中，若，則，解得，于是，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的垂直與共線的表示及應(yīng)用，以及空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中熟記空間向量的垂直與共線的條件，以及數(shù)量積的運(yùn)算公式，逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.10．已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上一動點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的周長為8 B．的最大面積為C．存在點(diǎn)P使得 D．的最大值為5【答案】AB【分析】利用橢圓的定義及幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：對A，由橢圓，可得的周長為：，故A正確；對B，當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，且最大面積為：，故B正確；對C，當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，為最大，此時(shí)，即為銳角，所以不存在點(diǎn)P使得，故C錯(cuò)誤；對D，由橢圓，所以，又，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A>0，ω>0，|φ|<π）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．y=1與圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為D．函數(shù)f（x）的圖象可由y=cos2x的圖象向右平移個(gè)單位得到【答案】BC【分析】根據(jù)圖象通過函數(shù)的周期性求出ω，結(jié)合正弦型函數(shù)的奇偶性、對稱性、圖象的變換性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A>0，ω>0，|φ|<π）的部分圖象，可得A=2，，∴ω=2．結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得，∴，∴，故，為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；令，求得f（x）=0，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；直線y=1與圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x滿足．由于，故滿足的x值共計(jì)有4個(gè)，設(shè)它們分別為a、b、c、d．則，故交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，故C正確；把函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖象，故D錯(cuò)誤，故選：BC．12．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，下列說法中不正確的是（

）A．B．平面C．向量與的夾角是D．直線與所成角的余弦值為【答案】AC【分析】利用向量的基底運(yùn)算可求，利用向量垂直及線面垂直的判定可得B的正誤，利用向量的基底運(yùn)算可求C,D的正誤.【詳解】對于A，，，所以，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，，所以，即，，所以，即，因?yàn)?，平面，所以平面，選項(xiàng)B正確；對于C：向量與的夾角是，所以向量與的夾角也是，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，，,所以，，同理，可得;，所以，所以選項(xiàng)D正確．故選：AC．三、填空題13．在中，，，，則此三角形的最大邊長為___________.【答案】【分析】可知B對的邊最大，再用正弦定理計(jì)算即可.【詳解】利用正弦定理可知，B對的邊最大，因?yàn)?，，所以?故答案為：14．直線被圓截得的弦長為__________．【答案】【分析】先求出圓心和半徑，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再根據(jù)弦心距，半徑和弦的關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑為，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長為．故答案為：.15．若函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】令，根據(jù)二倍角公式可得，即可求出函數(shù)的零點(diǎn)，從而求出參數(shù)的范圍；【詳解】解：令，得，即，故當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)分別為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)，所以.即故答案為：16．設(shè)過原點(diǎn)的直線與雙曲線：交于兩個(gè)不同點(diǎn)，為的一個(gè)焦點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】如圖所示：連接，根據(jù)對稱性知為平行四邊形，計(jì)算得到，利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：連接，根據(jù)對稱性知為平行四邊形.，則，，，，故.根據(jù)余弦定理：，化簡得到，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.四、解答題17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項(xiàng)為a1，根據(jù)已知條件列出方程組求解a1，d，代入通項(xiàng)公式即可得答案；（2）根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，利用分組求和法即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項(xiàng)為a1，由題意，有，解得，所以；（2）解：，所以．18．已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.(1)求的值；(2)若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)【分析】（1）求得，根據(jù)題意列出方程組，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線方程為，可得，解得.（2）解：當(dāng)時(shí)，可得，則，令，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.19．已知拋物線C的方程為：，點(diǎn)(1)若直線與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，且P為線段AB的中點(diǎn)，求直線的方程.(2)若直線過交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)16【分析】（1）設(shè)，代入拋物線方程由點(diǎn)差法可得答案；（2）設(shè)直線為：，，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和基本不等式可得答案.【詳解】（1）設(shè)則，由兩式相減可得：，，即直線的方程為.（2）設(shè)直線為：，由可得，，，，又因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，從而，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值16．20．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，.(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，請指出點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，點(diǎn)M位于靠近點(diǎn)C的四等分處【分析】（1）由已知易得四邊形為平行四邊形，有，進(jìn)而有，利用面面垂直的性質(zhì)有平面，最后根據(jù)面面垂直的判定證結(jié)論；（2）首先證明兩兩垂直，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)且求的坐標(biāo)，再求面、面的法向量，根據(jù)已知角大小及空間向量夾角坐標(biāo)表示求即可判斷存在性.【詳解】（1）因?yàn)?，，Q為的中點(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形，則．所以，即．又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面．（2）由（1）知：平面，平面，則，又，為的中點(diǎn)，則，所以兩兩垂直，故可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，則，假設(shè)存在點(diǎn)M，設(shè)且，得，所以，又，設(shè)平面法向量為，則，令，則．由（2）知平面的法向量為，二面角為，所以，解得，故線段上存在點(diǎn)M使二面角大小為，且點(diǎn)M位于靠近點(diǎn)C的四等分處．21．已知數(shù)列中，，.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知條件，求，再利用已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列的定義，即可證明；（2）由（1）可知，再利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）時(shí)，，得，,兩式相減，，則，又，，因此數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知，，，所以，，

，所以，所以.22．設(shè)，分別是橢圓（）的左?右焦點(diǎn)，E的離心率為.短軸長為2.(1)求橢圓E的方程：(2)過點(diǎn)的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)t，使得恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】(1)由條件列出，，的方程，解方程求出，，，由此可得橢圓E的方程：(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程化簡可得，設(shè)，，可得，，由此證明，再證明當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)也成立，由此確定