復(fù)變函數(shù)第講

復(fù)變函數(shù)第講第1頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四1.復(fù)數(shù)列及其極限不收斂的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列§1復(fù)數(shù)數(shù)列與復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定理一（復(fù)數(shù)列與實(shí)數(shù)列的收斂性關(guān)系）：第2頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四即：一個(gè)復(fù)數(shù)列的收斂性等價(jià)于與其實(shí)部、虛部構(gòu)成的二個(gè)實(shí)數(shù)列的收斂性。第3頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四第4頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第5頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四再由定理一關(guān)于數(shù)列極限存在的充要條件便可得到結(jié)論。第6頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四定理二將復(fù)級(jí)數(shù)斂散性問題化為相應(yīng)的實(shí)級(jí)數(shù)問題，從而復(fù)級(jí)數(shù)斂散性問題得到間接解決。復(fù)習(xí)：常見實(shí)級(jí)數(shù)斂散性判別法：1）正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法2）交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法即：收斂級(jí)數(shù)一般項(xiàng)極限為0。a）比較法b）比值法（達(dá)朗貝爾判別法）c）根值法（柯西判別法）第7頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四第8頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四第9頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四第10頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四對(duì)于原級(jí)數(shù)，分離一般項(xiàng)實(shí)、虛部，得第11頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四§2冪級(jí)數(shù)1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第12頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四關(guān)于冪級(jí)數(shù)的收斂性問題，我們有著名的阿貝爾定理：2.冪級(jí)數(shù)第13頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四定理一（阿貝爾引理）級(jí)數(shù)皆收斂且絕對(duì)收斂。級(jí)數(shù)皆發(fā)散。。z0收斂點(diǎn)。z0發(fā)散點(diǎn)第14頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四證明：1）（收斂數(shù)列必有界?。┲链耍幸蛴叶耸諗?，由比較法，左端也收斂。1）證畢至于2），實(shí)際上為1）的逆否命題，也成立。第15頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四阿貝爾定理說明：

以原點(diǎn)為圓心，過收斂點(diǎn)作圓周，則圓內(nèi)點(diǎn)皆收斂且絕對(duì)收斂。

以原點(diǎn)為圓心，過發(fā)散點(diǎn)作圓周，則圓外點(diǎn)皆發(fā)散。2.收斂圓與收斂半徑第16頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

根據(jù)阿貝爾引理，所有冪級(jí)數(shù)的收斂情況不外乎以下三種可能：1）處處收斂，即收斂點(diǎn)集為整個(gè)復(fù)平面。2）除z=0外處處發(fā)散。3）既存在使級(jí)數(shù)收斂的復(fù)數(shù)，也存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的復(fù)數(shù)。下面對(duì)情況3）作進(jìn)一步的分析。

首先，收斂點(diǎn)和發(fā)散點(diǎn)不會(huì)相間分布，收斂點(diǎn)以左的為收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)以右的為發(fā)散點(diǎn)。據(jù)此，動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)我們考慮正實(shí)軸上的收斂點(diǎn)和發(fā)散點(diǎn)。第17頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四出發(fā)往右移動(dòng)，首先進(jìn)入的是收斂點(diǎn)區(qū)，然后會(huì)遇到發(fā)散點(diǎn)。收斂點(diǎn)集與發(fā)散點(diǎn)集有唯一的分界點(diǎn)，記為R，則

綜上所述，便得如下結(jié)論：冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為圓心的圓域。冪級(jí)數(shù)在圓內(nèi)收斂，在圓外發(fā)散。此圓稱為收斂圓，圓的半徑R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。在圓周上是收斂還是發(fā)散不能作出一般的結(jié)論，要具體問題具體分析。第18頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四解：級(jí)數(shù)的部分和：第19頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四3.收斂半徑的求法xyO第20頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四例2：求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑第21頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)：求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑：第22頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四（即用第一個(gè)冪級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)乘第二個(gè)級(jí)數(shù)，然后合并同次冪系數(shù)）注：上面的運(yùn)算在兩個(gè)級(jí)數(shù)中的較小的收斂圓內(nèi)成立。但這并不意味著運(yùn)算后級(jí)數(shù)的收斂半徑就是上面兩個(gè)級(jí)數(shù)中的較小一個(gè)收斂半徑。4.冪級(jí)數(shù)運(yùn)算和性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的加、減、乘法運(yùn)算規(guī)則：第23頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四第24頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四例3解：注意到所以代換展開第25頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四還原第26頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四2）s(z)在收斂?jī)?nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)，即注：性質(zhì)2）和3）為用間接法將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)提供了極大的方便。3)s(z)在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)積分，即冪級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)第27頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四非凡的數(shù)學(xué)家——阿貝爾阿貝爾（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威數(shù)學(xué)家。1802年8月5日生于芬島，1829年4月6日卒于弗魯蘭。是克里斯蒂安尼亞（現(xiàn)在的奧斯陸）教區(qū)窮牧師的六個(gè)孩子之一。盡管家里很貧困，父親還是在1815年把阿貝爾送進(jìn)克里斯蒂安尼亞的一所中學(xué)里讀書，15歲時(shí)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師洪堡（BerntMichaelHolmbo1795-1850）發(fā)現(xiàn)了阿貝爾的數(shù)學(xué)天才，對(duì)他給予指導(dǎo)。使阿貝爾對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。16歲時(shí)阿貝爾寫了一篇解方程的論文。丹麥數(shù)學(xué)家戴根（CarlFerdinandDegen1766-1825）看過這篇論文后，為阿貝爾的第28頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)學(xué)才華而驚嘆，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界正興起對(duì)橢圓積分的研究，于是他給阿貝爾回信寫到：“...與其著手解決被認(rèn)為非常難解的方程問題，不如把精力和時(shí)間投入到對(duì)解析學(xué)和力學(xué)的研究上。例如，橢圓積分就是很好的題目，相信你會(huì)取得成功...”。于是阿貝爾開始轉(zhuǎn)向?qū)E圓函數(shù)的研究。 阿貝爾18歲時(shí)，父親去世了，這使生活變得更加貧困。1821年在洪堡老師的幫助下，阿貝爾進(jìn)入克里斯蒂安尼亞大學(xué)。1823年，他發(fā)表了第一篇論文，是關(guān)于用積分方程求解古老的“等時(shí)線”問題的。這是對(duì)這類方程的第一個(gè)解法，開了研究積分方程的先河。1824年，他解決了用根式求解五次方程的不可能性問題。這一論文也寄給了格丁根的高斯，但是高斯連信都未開封。

第29頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四1825年，他去柏林，結(jié)識(shí)了業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者克萊爾（AugusteLeopoldCrelle1780-1856）。他與斯坦納建議克萊爾創(chuàng)辦了著名數(shù)學(xué)刊物《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》。這個(gè)雜志頭三卷發(fā)表了阿貝爾22篇包括方程論、無窮級(jí)數(shù)、橢圓函數(shù)論等方面的論文。

1826年，阿貝爾來到巴黎，他會(huì)見了柯西、勒讓德、狄利赫萊和其他人，但這些會(huì)面也是虛應(yīng)故事，人們并沒有真正認(rèn)識(shí)到他的天才。阿貝爾又太靦腆，不好意思在陌生人面前談?wù)撍睦碚?。雖然沒有像克萊爾那樣的熱心人，但他仍然堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)的研究工作。撰寫了“關(guān)于一類極廣泛的超越函數(shù)的一般性質(zhì)”的論文，提交給巴黎科學(xué)院。阿貝爾在給洪堡的信中，非常自信地說：“...已確定在下個(gè)月的科學(xué)院例會(huì)上宣讀我的論文,由柯西審閱,恐怕還沒有來第30頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四得及過目。不過，我認(rèn)為這是一件非常有價(jià)值的工作，我很想能盡快聽到科學(xué)院權(quán)威人士的意見，現(xiàn)在正昂首以待...?！?/p>

可是，負(fù)責(zé)給阿貝爾審稿的柯西把論文放進(jìn)抽屜里，一放了之。（這篇論文原稿于1952年在佛羅倫薩重新發(fā)現(xiàn)）阿貝爾等到年末，了無音信。一氣之下離開了巴黎，在柏林作短暫停留之后于1827年5月20日回到了挪威。由于過渡疲勞和營養(yǎng)不良，在旅途上感染了肺結(jié)核。這在當(dāng)時(shí)是不治之癥。當(dāng)阿貝爾去弗魯蘭與女朋友肯普（ChristineKemp）歡度圣誕節(jié)時(shí)，身體非常虛弱，但他一邊與病魔作斗爭(zhēng)一邊繼續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)研究。他原希望回國后能被聘為大學(xué)教授，但是他的這一希望又一次落空。他靠給私人補(bǔ)課謀生，一度第31頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)過代課教師。阿貝爾和雅可比（CarlGustavJacobi1804-1851）是公認(rèn)的橢圓函數(shù)論的創(chuàng)始人。這一理論很快就成為十九世紀(jì)分析中的重要領(lǐng)域之一，他對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)物理以及代數(shù)幾何有許多應(yīng)用。阿貝爾發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法定理、雙周期性。此外，在交換群、二項(xiàng)級(jí)數(shù)的嚴(yán)格理論、級(jí)數(shù)求和等方面都有巨大的貢獻(xiàn)。這些工作使他成為分析學(xué)嚴(yán)格化的推動(dòng)者。在這個(gè)時(shí)候，阿貝爾的名聲隨著克萊爾雜志的廣泛發(fā)行而傳遍了歐洲的所有數(shù)學(xué)中心。雅可比看見這篇橢圓函數(shù)的論文，而且知道了巴黎科學(xué)院所作的蠢事之后，非常吃驚，在1829年3月14日寫信給巴黎科學(xué)院表示抗議：“...這在我們生活的這個(gè)世紀(jì)中，恐第32頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四怕是數(shù)學(xué)中最重要的發(fā)現(xiàn)，雖然向‘老爺們’的研究院提交此論文達(dá)兩年之久，但一直沒有得到諸位先生的注意，這是為什么呢？...”。而由于阿貝爾身處孤陋寡聞之地，對(duì)于這一切一無所知。阿貝爾的病情不斷發(fā)展，甚至連醫(yī)生也束手無策了

1829年