2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備集合

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2023~2023學(xué)年度高三數(shù)學(xué)（人教版A版）第一輪復(fù)習(xí)資料

第1講集合

一．

1．集合的含義與表示

（1）通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于〞關(guān)系；

（2）能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；2．集合間的基本關(guān)系

（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；（2）在具體情境中，了解全集與空集的含義；3．集合的基本運算

（1）理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；（2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；

（3）能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用

二．

有關(guān)集合的高考試題，考察重點是集合與集合之間的關(guān)系，近年試題加強(qiáng)了對集合的計算化簡的考察，并向無限集發(fā)展，考察抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意利用幾何的直觀性，注意運用Venn圖解題方法的訓(xùn)練，注意利用特別值法解題，加強(qiáng)集合表示方法的轉(zhuǎn)換和化簡的訓(xùn)練?？荚囆问蕉嘁砸坏肋x擇題為主，分值5分。

預(yù)計2023年高考將繼續(xù)表達(dá)本章知識的工具作用，多以小題形式出現(xiàn)，也會滲透在解答題的表達(dá)之中，相對獨立。具體題型估計為：

（1）題型是1個選擇題或1個填空題；

（2）熱點是集合的基本概念、運算和工具作用

三．

1．集合：某些指定的對象集在一起成為集合

（1）集合中的對象稱元素，若a是集合A的元素，記作a?A；若b不是集合A的元素，記作b?A；

（2）集合中的元素必需滿足：確定性、互異性與無序性；

確定性：設(shè)A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種狀況必有一種且只有一種成立；

互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不一致的個體（對象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素；

無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關(guān)；（3）表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法；

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)；

描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內(nèi)。

具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。

注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應(yīng)當(dāng)根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。

（4）常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；正整數(shù)集，記作N*或N+；

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整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q；實數(shù)集，記作R。2．集合的包含關(guān)系：

（1）集合A的任何一個元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集（或B包含A），記作A?B（或A?B）；

集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣。若A?B且B?A，則稱A等于B，記作A=B；若A?B且A≠B，則稱A是B的真子集，記作AB；

（2）簡單性質(zhì)：1）A?A；2）??A；3）若A?B，B?C，則A?C；4）若集合A是n個元素的集合，則集合A有2n個子集（其中2n－1個真子集）；3．全集與補集：

（1）包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作U；

（2）若S是一個集合，A?S，則，CS={x|x?S且x?A}稱S中子集A的補集；（3）簡單性質(zhì)：1）CS(CS)=A；2）CSS=?，CS?=S

4．交集與并集：

（1）一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集A?B?{x|x?A且x?B}。

（2）一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。并集A?B?{x|x?A或x?B}

注意：求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結(jié)果依舊還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且〞與“或〞，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，往往從這兩個字眼出發(fā)去透露、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。5．集合的簡單性質(zhì)：

（1）A?A?A,A????,A?B?B?A;（2）A???A,A?B?B?A;（3）(A?B)?(A?B);

（4）A?B?A?B?A;A?B?A?B?B；

（5）CS（A∩B）=（CSA）∪（CSB），CS（A∪B）=（CSA）∩（CSB）。

四．題型1：集合的概念

(2023湖南卷理)某班共30人，其中15人愛好籃球運動，10人愛好兵乓球運動，8人對這兩項運動都不愛好，則愛好籃球運動但不愛好乒乓球運動的人數(shù)為_12__答案：12

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解析設(shè)兩者都喜歡的人數(shù)為x人，則只愛好籃球的有(15?x)人，只愛好乒乓球的有由此可得(15?x)?(10?x)?x?8?30，解得x?3，所以15?x?12，即所(10?x)人，求人數(shù)為12人。

例1．（2023廣東卷理）已知全集U?R，集合M?{x?2?x?1?2}和

N?{xx?2k?1,k?1,2,?}的關(guān)系的韋恩（Venn）圖如圖1所示，則陰影部分所示的集

合的元素共有

()

A.3個B.2個C.1個D.無窮多個答案B

解析由M?{x?2?x?1?2}得?1?x?3，則M?N??1,3?，有2個，選B.

2例2．(2023山東卷理)集合A??0,2,a?,B?1,a,若A?B??0,1,2,4,16?,則a的值

??為A.0B.1C.2D.4答案D

2()

?a2?16解析∵A??0,2,a?,B??1,a?,A?B??0,1,2,4,16?∴?∴a?4,應(yīng)選D.

?a?4:此題考察了集合的并集運算,并用觀測法得到相對應(yīng)的元素,從而求得答案,此題屬于簡單題.

題型2：集合的性質(zhì)

2例3．(2023山東卷理)集合A??0,2,a?,B?1,a,若A?B??0,1,2,4,16?,則a的值為

??

A.0B.1C.2D.4答案D

2()

?a2?16解析∵A??0,2,a?,B??1,a?,A?B??0,1,2,4,16?∴?∴a?4,應(yīng)選D.

?a?4:此題考察了集合的并集運算,并用觀測法得到相對應(yīng)的元素,從而求得答案,

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此題屬于簡單題.

隨堂練習(xí)

1.(廣東地區(qū)2023年01月份期末試題匯編)設(shè)全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={x∈R︱x2

+x－6=0}，則下圖中陰影表示的集合為（）

A．{2}

B．{3}

C．{－3，2}D．{－2，3}

2.已知集合A={y|y-(a+a+1)y+a(a+1)>0},B={y|y-6y+8≤0}，若

2

2

2

2

A∩B≠φ，則實數(shù)a的取值范圍為（）．

分析：解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運算，最終得到所要求的結(jié)論，但有時會遇到從正面不易入手的狀況，這時可從反面去考慮．從反面考慮問題在集合中的運用主要就是運用補集思想．此題若直接求解，情形較繁雜，也不簡單得到正確結(jié)果，若我們先考慮其反面，再求其補集，就比較簡單得到正確的解答．

解：由題知可解得A={y|y>a2+1或y?a?2?a?2由?2，得?

?a?3或a??3?a?1?4a24a2+1∴a??3或3?a?2.

即A∩B＝φ時a的范圍為a??3或3?a?2.而A∩B≠φ時a的范圍顯然是其補集,從而所求范圍為a|a?2或?3?a?3.

評注：一般地，我們在解時，若正面情形較為繁雜，我們就可以先考慮其反面，再利

用其補集，求得其解，這就是“補集思想〞．

例4．已知全集S?{1,3,x3?x2?2x}，A={1,2x?1}假使CSA?{0}，則這樣的實數(shù)x是否存在？若存在，求出x，若不存在，說明理由

解：∵CSA?{0}；

∴0?S且0?A，即x?x?2x＝0，解得x1?0,x2??1,x3?2

當(dāng)x?0時，2x?1?1，為A中元素；當(dāng)x??1時，2x?1?3?S

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當(dāng)x?2時，2x?1?3?S

∴這樣的實數(shù)x存在，是x??1或x?2。另法：∵CSA?{0}∴0?S且0?A，3?A∴x?x?2x＝0且2x?1?3

∴x??1或x?2。

點評：該題考察了集合間的關(guān)系以及集合的性質(zhì)。分類探討的過程中“當(dāng)x?0時，

322x?1?1〞不能滿足集合中元素的互異性。此題的關(guān)鍵是理解符號CSA?{0}是兩層含義：

0?S且0?A。

2變式題：已知集合A?{m,m?d,m?2d},B?{m,mq,mq，其中m?0,且A?B,}求q的值。

解：由A?B可知，

?m?d?mq?m?d?mq2（1）?，或（2）?2m?2d?mqm?2d?mq??解（1）得q?1，解（2）得q?1,或q??1，22又由于當(dāng)q?1時，m?mq?mq與題意不符，

所以，q??1。2題型3：集合的運算

例5．(2023年河南省上蔡一中高三月考)已知函數(shù)f(x)?x?1的定義域集合是A,函數(shù)x?2g(x)?lg[x2?(2a?1)x?a2?a]的定義域集合是B

（1）求集合A、B

（2）若A?B=B,求實數(shù)a的取值范圍．解（1）A＝x|x??1或x?2B＝x|x?a或x?a?1（2）由A?B＝B得A

????a??1?B，因此???a?1?2

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所以?1?a?1,所以實數(shù)a的取值范圍是??1,1?

例6．（2023寧夏海南卷理）已知集合A?1,3,5,7,9?,B??0,3,6,9,12?,則AICNB?()A.1,5,7?B.3,5,7?C.1,3,9?D.1,2,3?答案A

解析易有A?CNB?1,5,7?，選A點評：該題考察了集合的交、補運算。題型4：圖解法解集合問題

2y2?xy??x?例7．（2023年廣西北海九中訓(xùn)練）已知集合M=?x|??1?，N=?y|??1?，則

?32??94???????M?N?（）

A．?

B．{(3,0),(2,0)}D．?3,2?

C．??3,3?答案C

例8．湖南省長郡中學(xué)2023屆高三第六次月考試卷數(shù)學(xué)（理）試卷

設(shè)全集??R，函數(shù)f(x)?lg(|x?1|?a?1)(a?1)的定義域為A，集合

B?{x|cos?x?1}，若(C?A)?B恰好有2個元素，求a的取值集合。

解：|x?1|?1?a?0?|x?1|?1?a

a?1時，1?a?0∴x??a或x?a?2

∴A?(??,a?2)?(?a,??)

cos?x?1,?x?2k?，∴x?2k(k?z)

∴B?{x|x?2k,k?z}

當(dāng)a?1時，C?A?[a?2,?a]在此區(qū)間上恰有2個偶數(shù)。

?a?1???2?a?0?a??a?2??4?a?2??2?輝騰的教育空間

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2、A??a1，a2，，2，?，k)，由A中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)?，ak?(k≥2)，其中ai?Z(i?1的集合：

S??(a，b)a?A，b?A，a?b?A?，T??(a，b)a?A，b?A，a?b?A?．其中

(a，b)是有序數(shù)對，集合S和T中的元素個數(shù)分別為m和n．若對于任意的a?A，總有?a?A，則稱集合A具有性質(zhì)P．

（I）對任何具有性質(zhì)P的集合A，證明：n≤k(k?1)；2（II）判斷m和n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

解：（I）證明：首先，由A中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(ai，aj)共有k個．由于0?A，所以(ai，ai)?T(i?1，2，?，k)；

又由于當(dāng)a?A時，?a?A時，?a?A，所以當(dāng)(ai，aj)?T時，

2(aj，ai?)Ti，(j?，，?1，2k．

從而，集合T中元素的個數(shù)最多為即n≤12k(k?1)(k?k)?，22k(k?1)．2（II）解：m?n，證明如下：

（1）對于(a，b)?S，根據(jù)定義，a?A，b?A，且a?b?A，從而(a?b，b)?T．假使(a，b)與(c，d)是S的不同元素，那么a?c與b?d中至少有一個不成立，從而

a?b?c?d與b?d中也至少有一個不成立．

故(a?b，b)與(c?d，d)也是T的不同元素．

可見，S中元素的個數(shù)不多于T中元素的個數(shù)，即m≤n，

（2）對于(a，b)?T，根據(jù)定義，a?A，b?A，且a?b?A，從而(a?b，b)?S．假使(a，b)與(c，d)是T的不同元素，那么a?c與b?d中至少有一個不成立，從而

a?b?c?d與b?d中也不至少有一個不成立，

故(a?b，b)與(c?d，d)也是S的不同元素．

可見，T中元素的個數(shù)不多于S中元素的個數(shù)，即n≤m，由（1）（2）可知，m?n．

例9．向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成

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的學(xué)生數(shù)比對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人。問對A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？

解：贊成A的人數(shù)為50×

3=30，贊成B的人數(shù)為5AX30-XUB33-XX+1330+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集B。

設(shè)對事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對A、B不贊成的學(xué)生人數(shù)為

事合都

x+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為3x33－x。依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對A、B都贊成的同學(xué)有21人，

3都不贊成的有8人。

點評：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實把握。此題主要加強(qiáng)學(xué)生的這種能力。解答此題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。此題難點在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯綜繁雜，一時理不清頭緒，不好找線索。畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系。

例10．求1到200這200個數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個？

解：如圖先畫出Venn圖，不難看出不符合條件的數(shù)共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)5的倍數(shù)－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)

2的倍數(shù)＋(200÷30)＝1463的倍數(shù)所以，符合條件的數(shù)共有200－146＝54（個）

點評：分析200個數(shù)分為兩類，即滿足題設(shè)條件的和不滿足題設(shè)條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標(biāo)準(zhǔn)明確而簡單，可考慮用扣除法。題型7：集合綜合題

例11．（1999上海，17）設(shè)集合A={x||x－a|0,

Sn>0，這時集合nA中的元素作為點的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a1=1≠0假使A∩B≠?，那么

?4?a1a?x032據(jù)(2)的結(jié)論，A∩B中至多有一個元素(x0,y0),而x0=??＜0,y0=1?＜0，這

2a1524樣的(x0,y0)?A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時A∩B=?，所以a1≠0時，一定有A∩B≠?是不正確

的。

點評：該題融合了集合、數(shù)列、直線方程的知識，屬于知識交匯題。變式題：解答下述問題：（Ⅰ）設(shè)集合A?{x|x?2x?2m?4?0},B?{x|x?0},，若A?B??,求實數(shù)m的取值范圍.

分析：關(guān)鍵是確鑿理解A?B?的具體意義，首先要從數(shù)學(xué)意義上解釋A?B?意義，然后才能提出解決問題的具體方法。解：

的

22命題?方程x2?2x?2m?4?0至少有一個負(fù)實數(shù)根,設(shè)M?{m|關(guān)于x的方程x2?2x?2m?4?0兩根均為非負(fù)實數(shù)},???4(?2m?3)?0?3?則?x1?x2?2?0??2?m??,2???x1x2?2m?4?0輝騰的教育空間

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33?M?{m|?2?m??}設(shè)全集U?{m|??0}?{m|m??}22?m的取值范圍是

UM={m|m王氏資料庫

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?4x2?2x?2y?5?0又由??4x2?2(1?k)x?5?2b?0,

?y?kx?b20?(k?1)2由?2?4(1?k)?16(5?2b)?0得b?②，

82由①、②得b?k?120?1,而b?,4k8∵b為自然數(shù)，∴b=2，代入①、②得k=1

點評：這是一組關(guān)于集合的“交、并〞的常規(guī)問題，解決這些問題的關(guān)鍵是確鑿理解問題條件的具體