2線性變換的基本性質與矩陣的乘法

本文格式為Word版，下載可任意編輯——2線性變換的基本性質與矩陣的乘法其次講線性變換的性質·復合變換與二階矩陣的乘法一、數(shù)乘平面向量與平面向量的加法運算

??x???x?1.數(shù)乘平面向量：設????，?是任意一個實數(shù)，則?????

?y???y?????x1???x2??x1?x2?2.平面向量的加法：設????，????，則??????yy?1??2??y1?y2??③切變變換：??12???01?性質1：設A是一個二階矩陣，?,?是平面上的任意兩個向量，?是

任意一個實數(shù)，則①數(shù)乘結合律：A(??)??A?；②分派律：

????????④特別地：直線x=a關于x軸的投影變換？

性質2：二階矩陣對應的變換（線性變換）把平面上的直線變成.（證明見課本P19）

三、平面圖形在線性變換下的像所形成的圖形

分別研究單位正方形區(qū)域在線性變換下的像所形成的圖形。①恒等變換：?

②旋轉變換：?

③切變變換：?

④反射變換：?

A(???)?A??A?

對以上的性質進行證明，并且說明其幾何意義。

二、直線在線性變換下的圖形

研究y?kx?b分別在以下變換下的像所形成的圖形。

?10??01???cos??sin????sin?cos???1k???01??10???02?1??3??2?2?②旋轉變換：?3??1??22??①伸縮變換：??10??0?1???10?⑤投影變換：??

00??

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2.二階矩陣的乘積

??1

試研究函數(shù)y?在旋轉變換?x???方程。

四、復合變換與二階矩陣的乘法

22???22?作用下得到的新曲線的22??22??a1b1??a2b2?定義：設矩陣A＝??，B＝?cd?，則A與B的乘積

cd?11??22??a1b1??a2b2?AB＝???cd?＝

cd?11??22?

1-1??10?＝

2121????????n?n??cos?-si??cos?-si?2.A＝?，B＝??sin?co??，求AB

sin?co?ss????1.計算?

????x?1.研究任意向量????先在旋轉變換R30o：???y????x'??12?過切變變換?：??作用的向量?y'?

01????

3?1?2?2?作用，再經(jīng)13?22???1??10?3.求????在經(jīng)過切變變換?：A=?，及切變變換?：??3???21???12?B=?兩次變換后的像?。??01??

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?1?0??0?1?4.設壓縮變換?：A＝?2，旋轉變換R90o：B＝?，將兩個??1??10??0???2?變換進行復合??R90o，①求向量????在復合變換下的像；②求

?3???x?????在復合變換下的像；③在復合變換下單位正方形變成什么圖

?y?形？

?0.50?x2y2??1①伸縮變換：?5.試研究橢圓②旋轉變換：?34?01?1??3???12??10?2?2??；③切變變換：??；④反射變換：?0?1?；⑤投影

0113????????22??變換：??10?五種變換作用下的新曲線方程。??00?進一步研究在④②，①④等變換下的新曲線方程。

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A.B.C.D.

1.以下線性變換中不會使正方形變?yōu)槠渌麍D形的是（）A.反射變換B.投影變換C.切變變換D.伸縮變換

10.向量??3?oo

?先逆時針旋轉45，再順時針旋轉15得到的向量為?1??10?2.在切變變換?：??作用下，直線y=2x-1變?yōu)?/p>

?21???0.5?1?3.在A＝?作用下，直線l變?yōu)閥=-2x-3,則直線l為??21??10?x2y24.在??對應的線性邊變換作用下，橢圓2?4?1變?yōu)?/p>

?10??5.已知平面內(nèi)矩形區(qū)域為x1i?x2j（0≤x1≤1,0≤x2≤2）,若一個線

??11.函數(shù)y?sin(x???20???10?)的圖像經(jīng)過?的伸縮變換，和的???3?01??01?反射變換后的函數(shù)是

?01??10?x2y2??1先后經(jīng)過反射變換?12.橢圓和伸縮變換???4300.510????后得到的曲線方程為

?21??12?

13.已知Ｍ＝??，且ＭＮ＝??，求矩陣Ｎ。

1101????

性變換將該矩形變?yōu)檎叫螀^(qū)域，則該線性變換對應的矩陣為

x2y2ｏ

??1繞原點順時針旋轉45后得到新的橢圓方程為6.將橢圓347.在??10?對應的線性邊變換作用下，圓(x+1)2+(y+1)2=1變?yōu)??10?14.分別求出在?8.計算：

?10??0.50??10?、?、?對應的線性邊變換作用?????20??01??00??13???11?①????＝

2404?????21???10?②????＝?11??1?1???10??21?③????＝

1?111?????1??11??10?9.向量??經(jīng)過??和??兩次變換后得到的向量為

?01??11??2?x2?y2?1變換后的方程，并作出圖形。下，橢圓4

1x2y2??1？寫出相應15.函數(shù)y?先后經(jīng)過怎樣的變換可以得到

x44的矩陣。

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?0?1?答案：1.Ａ2.y=-13.3x-y+3=04.y=-x5.?

?01??2???113?6.7x2?7y2?2xy?24?07.y=x（－2≤x≤0）8.??、

??218??1???1?1???2?1??3?x?y??sin(?)、9.10.11.????????23?0?1??01??5??3??11