人教版高中數(shù)學選修一第一單元《空間向量與立體幾何》測試題(含答案解析)

一、選擇題1．在棱長為1的正方體中，分別為的中點，點在正方體的表面上運動，且滿足，則下列說法正確的是（）A．點可以是棱的中點 B．線段的最大值為C．點的軌跡是正方形 D．點軌跡的長度為2．如圖，在三棱錐中，點是棱的中點，若，，，則等于（）A． B． C． D．3．在空間直角坐標系中，已知，，，，則直線AD與BC的位置關系是（）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．無法判定4．如圖，在四面體中，是的重心，是上的一點，且，若，則為（）A． B．C． D．5．已知給出下列等式：①；②；③④.其中正確的個數(shù)是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．在底面為銳角三角形的直三棱柱中，是棱的中點，記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（）A． B． C． D．7．已知，是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角是（）A． B． C． D．8．如圖，平行六面體中中，各條棱長均為1，共頂點A的三條棱兩兩所成的角為60°，則對角線的長為（）A．1 B． C． D．29．在空間直角坐標系中，，為的中點，為空間一點且滿足，若，，則（）A．9 B．7 C．5 D．310．棱長為1的正四面體中，點，分別是線段，上的點，且滿足，，則（）A． B． C． D．11．如圖所示，直三棱柱的側棱長為，底面邊長，且，點在棱上且，點在棱上，則的最小值為（）A． B． C． D．12．已知在四面體中，點是棱上的點，且，點是棱的中點，若其中為實數(shù)，則的值是（）A． B． C．－2 D．213．以下四個命題中正確的是（）A．空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示B．若為空間向量的一組基底，則構成空間向量的另一組基底C．為直角三角形的充要條件是D．任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一個基底二、填空題14．三棱錐中，、、兩兩垂直，且.給出下列四個命題：①；②；③和的夾角為；④三棱錐的體積為.其中所有正確命題的序號為______________.15．在長方體中，，，則與平面所成角的正弦值為______________．16．在空間直角坐標系中，,則=____17．的三個頂點分別是，，，則邊上的高長為__________．18．在空間直角坐標系中，已知，，點分別在軸，軸上，且，那么的最小值是______.19．已知向量，，若向量、的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是__________．20．如圖，在空間四邊形中，，分別為、的中點，點在線段上，且，用向量、、表示向量，設，則、、的和為______.21．若平面，的法向量分別為，，則這兩個平面所成的銳角的二面角的余弦值為________.22．已知，，，若，是________.23．如圖，在平行六面體中，以頂點為頂點的三條棱的長均為2，且兩兩所成角均為60°，則__________.24．如圖，在正四棱錐中，二面角為60°，E為的中點.已知F為直線上一點，且F與A不重合，若異面直線與所成角為60°，則=_____________.25．如圖，在三棱柱中，，，兩兩互相垂直，，，是線段，上的點，平面與平面所成（銳）二面角為，當最小時，__________.26．已知四棱柱的底面是矩形，，，，，則________.【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．D解析：D【分析】在正方體中，以點為坐標原點，分別以、、方向為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標系，根據(jù)，確定點的軌跡，在逐項判斷，即可得出結果.【詳解】在正方體中，以點為坐標原點，分別以、、方向為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標系，因為該正方體的棱長為，分別為的中點，則，，，，所以，設，則，因為，所以，，當時，；當時，；取，，，，連接，，，，則，，所以四邊形為矩形，則，，即，，又，且平面，平面，所以平面，又，，所以為中點，則平面，所以，為使，必有點平面，又點在正方體的表面上運動，所以點的軌跡為四邊形，因此點不可能是棱的中點，即A錯；又，，所以，則點的軌跡不是正方形；且矩形的周長為，故C錯，D正確；因為點為中點，則點為矩形的對角線交點，所以點到點和點的距離相等，且最大，所以線段的最大值為，故B錯.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：求解本題的關鍵在于建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用空間向量的方法，由，求出動點軌跡圖形，即可求解.2．A解析：A【分析】利用空間向量的加法和減法法則可得出關于、、的表達式.【詳解】，因此，.故選：A.【點睛】本題考查利用基底表示空間向量，考查計算能力，屬于中等題.3．B解析：B【分析】根據(jù)題意，求得向量和的坐標，再結合空間向量的數(shù)量積的運算，即可得到兩直線的位置關系，得到答案.【詳解】由題意，點，，，，可得，，又由，所以，所以直線AD與BC垂直.故選：B.【點睛】本題主要考查了空間向量的數(shù)量積的運算及其應用，其中解答中熟記空間向量的坐標運算，以及空間向量的數(shù)量積的運算是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.4．D解析：D【分析】根據(jù)空間向量線性運算進行計算，用表示出．【詳解】因為是中點，所以，是的重心，則，所以，因為所以，若，則．故選：D．【點睛】本題考查空間的向量的線性運算，掌握向量線性運算的運算法則是解題關鍵．5．D解析：D【詳解】由題設可得，則；，，則①正確；因，，故②正確；又因，而，所以，即③正確；又，則，而，故，也即④正確.故選：D．6．A解析：A【分析】以為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，分別求出直線的方向向量以及平面的法向量，通過向量法即可求得各個角度的余弦值，再結合余弦函數(shù)的單調性即可判斷.【詳解】由題可知，直三棱柱的底面為銳角三角形，是棱的中點，設三棱柱是棱長為2的正三棱柱，以為原點，在平面中，過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，因為直線與直線所成的角為，，，因為直線與平面所成的角為，，平面的法向量，，，設平面的法向量，則，取，得，因為二面角的平面角為，由圖可知，其為銳角，，，由于在區(qū)間上單調遞減，故，則.故選：A.【點睛】本題考查利用向量法研究空間中的線面角以及二面角，屬綜合基礎題.7．B解析：B【分析】利用平面向量的數(shù)量積公式先求解，再計算與，根據(jù)數(shù)量積夾角公式，即可求解.【詳解】由題意得：，，.設夾角為，∴.故選：B.【點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積計算向量的夾角問題，難度一般，準確運用向量的數(shù)量積公式即可.8．B解析：B【分析】在平行六面體中中，利用空間向量的加法運算得到，再根據(jù)模的求法，結合各條棱長均為1，共頂點A的三條棱兩兩所成的角為60°，由求解.【詳解】在平行六面體中中，因為各條棱長均為1，共頂點A的三條棱兩兩所成的角為60°，所以，所以，所以，，，所以，故選：B【點睛】本題主要考查空間向量的運算以及向量模的求法，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.9．D解析：D【分析】利用中點坐標公式可得點的坐標，設，利用，可解出點的縱坐標，最后利用數(shù)量積的坐標運算可得的值.【詳解】設，，，，，由，整理可得：，由，得，化簡得，以上方程組聯(lián)立得，則.故選：D.【點睛】本題主要考查了空間直角坐標系下向量數(shù)量積的運算,解題關鍵是掌握向量數(shù)量積運算的基礎知識,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.10．A解析：A【分析】設，，，以這3個向量為空間中的基底，將轉化為基底的數(shù)量積運算，即可得答案.【詳解】設，，，由題意可得，，則.故選：A.【點睛】本題考查空間向量基本定理的運用、數(shù)量積運算，考查空間想象能力和運算求解能力，求解時注意基底思想的運用.11．B解析：B【分析】由題易知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，可知，進而可得的坐標，然后求得的表達式，求出最小值即可.【詳解】由題意可知，兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，則，所以，，則，當時，取得最小值.故選：B.【點睛】本題考查兩個向量的數(shù)量積的應用，考查向量的坐標運算，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.12．B解析：B【分析】利用向量運算得到得到答案.【詳解】故故選：【點睛】本題考查了空間向量的運算，意在考查學生的計算能力.13．B解析：B【分析】根據(jù)空間向量基底的定義：任何三個不共面的向量都可構成空間向量的一組基底，逐一分析，，可判斷這三個結論的正誤；根據(jù)向量垂直的充要條件，及直角三角形的幾何特征，可判斷的真假.【詳解】對A，空間的任何一個向量都可用其他三個不共面的向量表示，中忽略三個基底不共面的限制，故A錯誤；對B，若為空間向量的一組基底，則三個向量互不共面；則，也互不共面，故可又構成空間向量的一組基底，故正確；對C，的為直角為直角三角形，但為直角三角形時，可能為銳角，此時，故C錯誤；對D，任何三個不共面的向量都可構成空間向量的一組基底，三個向量不共線時可能共面，故D錯誤；故選：B．【點睛】本題以命題的真假判斷為載體考查空間向量的基底概念、向量垂直的充要條件，考查對概念的理解與應用，屬基礎題．二、填空題14．①②③【分析】設以點為坐標原點所在直線分別為軸建立空間直角坐標系利用空間向量數(shù)量積的坐標運算可判斷①②③④的正誤【詳解】設由于兩兩垂直以點為坐標原點所在直線分別為軸建立空間直角坐標系如下圖所示：則對解析：①②③【分析】設，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積的坐標運算可判斷①②③④的正誤.【詳解】設，由于、、兩兩垂直，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則、、、.對于①，，所以，，①正確；對于②，，，則，②正確；對于③，，，，，所以，和的夾角為，③正確；對于④，，，，則，所以，，而三棱錐的體積為，④錯誤.故答案為：①②③.【點睛】關鍵點點睛：在立體幾何中計算空間向量的相關問題，可以選擇合適的點與直線建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算即可.15．【詳解】如圖建立空間直角坐標系則所以設平面的一個法向量為由題可得令可得設與平面所成角為則故直線與平面所成角的正弦值為故答案為：解析：【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，設平面的一個法向量為，由題可得，令，可得，設與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．故答案為：．16．【分析】利用空間向量的結論將垂直的問題轉化為向量數(shù)量積等于零的問題然后利用向量的數(shù)量積坐標運算計算的值即可【詳解】又即解得故答案為【點睛】本題主要考查空間向量的應用向量垂直的充分必要條件等知識意在考解析：【分析】利用空間向量的結論將垂直的問題轉化為向量數(shù)量積等于零的問題，然后利用向量的數(shù)量積坐標運算計算的值即可.【詳解】，，又，即，解得，故答案為.【點睛】本題主要考查空間向量的應用，向量垂直的充分必要條件等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.17．5【解析】分析：設則的坐標利用求得即可得到即可求解的長度詳解：設則所以因為所以解得所以所以點睛：(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減或數(shù)乘運算(2)解析：5【解析】分析：設，則的坐標，利用，求得，即可得到，即可求解的長度.詳解：設，則，所以，因為，所以，解得，所以，所以.點睛：(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.18．【分析】設0則由知所以由此能求出其最小值【詳解】設001-即（當時取最小值）故答案為：【點睛】方法點睛：求最值常用的方法有：（1）函數(shù)法；（2）數(shù)形結合法；（3）導數(shù)法；（4）基本不等式法要根據(jù)已知解析：【分析】設，0，，，，，則，，由，知．所以，由此能求出其最小值．【詳解】設，0，，，，，，0，，，1，-，，，，，即．，．（當時取最小值）故答案為：【點睛】方法點睛：求最值常用的方法有：（1）函數(shù)法；（2）數(shù)形結合法；（3）導數(shù)法；（4）基本不等式法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.19．【分析】根據(jù)向量夾角為鈍角可知且解不等式可求得結果【詳解】由題意可知：且解得：且即本題正確結果：【點睛】本題考查向量夾角的相關問題的求解易錯點是忽略夾角為的情況造成出現(xiàn)增根解析：【分析】根據(jù)向量夾角為鈍角，可知且，解不等式可求得結果.【詳解】由題意可知：且解得：且，即本題正確結果：【點睛】本題考查向量夾角的相關問題的求解，易錯點是忽略夾角為的情況，造成出現(xiàn)增根.20．【分析】利用向量的加法公式得出再由得出的值即可得出的和【詳解】即故答案為：【點睛】本題主要考查了用空間基底表示向量屬于中檔題解析：【分析】利用向量的加法公式得出，再由，得出的值，即可得出的和.【詳解】即故答案為：【點睛】本題主要考查了用空間基底表示向量，屬于中檔題.21．【分析】直接利用空間向量的數(shù)量積求解兩個平面的二面角的大小即可【詳解】解：兩個平面的法向量分別為則這兩個平面所成的銳二面角的大小是這兩個平面所成的銳二面角的余弦值為故答案為：【點睛】本題考查空間二面解析：【分析】直接利用空間向量的數(shù)量積求解兩個平面的二面角的大小即可．【詳解】解：兩個平面，的法向量分別為，，則這兩個平面所成的銳二面角的大小是，，這兩個平面所成的銳二面角的余弦值為.故答案為：.【點睛】本題考查空間二面角的求法，空間向量的數(shù)量積的應用，考查計算能力．22．-4【分析】由題可知可得運用向量數(shù)量積的坐標運算即可求出【詳解】解：根據(jù)題意得解得：故答案為：【點睛】本題考查空間向量垂直的數(shù)量積關系運用空間向量數(shù)量積的坐標運算考查計算能力解析：-4【分析】由題可知，，可得，運用向量數(shù)量積的坐標運算，即可求出．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查空間向量垂直的數(shù)量積關系，運用空間向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力．23．【分析】設且利用數(shù)量積運算即得解【詳解】設故答案為：【點睛】本題考查了空間向量的模長數(shù)量積運算考查了學生空間想象數(shù)學運算能力屬于中檔題解析：【分析】設,且，利用數(shù)量積運算即得解.【詳解】設故答案為：【點睛】本題考查了空間向量的模長，數(shù)量積運算，考查了學生空間想象，數(shù)學運算能力，屬于中檔題.24．11【分析】由題意建立空間直角坐標系由二面角的定義得出從而寫出的坐標由向量共線的性質設利用向量的加法得出由異面直線與所成角利用向量法得出的值從而得出的值【詳解】取的中點G與的交點為以O為坐標原點分別解析：11【分析】由題意建立空間直角坐標系，由二面角的定義得出，從而寫出的坐標