冪級數(shù)展開課件

數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開冪級數(shù)展開復(fù)級數(shù)冪級數(shù)和泰勒展開雙邊冪級數(shù)和羅朗展開孤立奇點本章小結(jié)復(fù)級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)形式：i=1ui

通項：ui為復(fù)數(shù)部分和：sn=nui

和：s=limsn

余項：rn=s-sn=un+1+un+2+…收斂：s存在>0,N(),s.t.n>N()=>|s-sn|<

絕對收斂定義：s

=i=1|ui|收斂性質(zhì)：絕對收斂=>收斂復(fù)級數(shù)復(fù)函項級數(shù)形式：∑i=1ui(z)通項：ui(z)部分和函數(shù)：sn(z)

=∑i=1nui(z)

和函數(shù)：s(z)=limsn(z)

收斂域：{z|s(z)存在}定義：>0,N(,z),s.t.n>N(,z)|s(z)-sn(z)|<

一致收斂性：定義：>0,N(),,s.t.n>N()|s(z)-sn(z)|<性質(zhì)：各項連續(xù)和連續(xù)，和的積分=各項積分之和；各項可導(dǎo)和可導(dǎo)，和的導(dǎo)數(shù)=各項導(dǎo)數(shù)之和冪級數(shù)和泰勒展開冪級數(shù)形式：s(z)=∑k=0ak(z-b)k收斂域：R=limk|ak/ak+1|=limk|ak+1(z-b)k+1/ak(z-b)k|=|z-b|/R|z-b|<R<1，絕對收斂；|z-b|=R=1，不確定；|z-b|>R>1，發(fā)散。一致收斂性：s(z)dz=k=0

ak(z-b)kdzs’(z)=k=0[ak(z-b)k]’冪級數(shù)和泰勒展開泰勒展開問題：一個冪級數(shù)是其收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)，反之如何？泰勒定理：一個在圓|z-b|=R內(nèi)解析的函數(shù)f(z)可以展開為冪級數(shù)f(z)=∑k=0ak(z-b)k該冪級數(shù)在圓|z-b|=R內(nèi)收斂；以b為中心的展開式是唯一的；系數(shù)ak=f(n)(b)/n!應(yīng)用柯西積分公式，系數(shù)也可以表示為冪級數(shù)和泰勒展開例2：題目：在b=0的鄰域上把f(z)=1/(1-z)展開。解答：f(z)=1/(1-z)f’(z)=1/(1-z)2f”(z)=2/(1-z)3f(n)(z)=n!/(1-z)n+1f(n)(0)=n!an=1f(z)=∑k=0zk該冪級數(shù)在圓|z|<1內(nèi)收斂；冪級數(shù)和泰勒展開發(fā)散方法（用性質(zhì)）線性組合的展開=展開之線性組合。和函數(shù)的積分=各項積分之和；和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)=各項導(dǎo)數(shù)之和；例3：題目：在b=0的鄰域上把f(z)=cosh(z)展開。解答：cosh(z)=[exp(z)+exp(-x)]/2exp(z)=∑k=0zk/k!exp(-z)=∑k=0(-z)k/k!cosh(z)=∑k=0[zk/k!+(-z)k/k!]/2=∑k=0z2k/(2k)!該冪級數(shù)在圓|z|<內(nèi)收斂；冪級數(shù)和泰勒展開例4：題目：在b=0的鄰域上把f(z)=ln(1-z)展開。解答：ln(1-z)=-∫(1-z)-1dz(1-z)-1=∑k=0zkln(1-z)=-∫∑k=0zkdz=-∑k=0zk+1/(k+1)例5：題目：在b=0的鄰域上把f(z)=(1-z)-2展開。解答：(1-z)-2=[(1-z)-1]’(1-z)-1=∑k=0zk(1-z)-2=[∑k=0zk]’=∑k=0kzk-1雙邊冪級數(shù)和羅朗展開羅朗展開問題：一個雙邊冪級數(shù)是其收斂環(huán)內(nèi)的解析函數(shù)，反之如何？羅朗定理：一個在環(huán)R1<|z-b|<R2內(nèi)解析的函數(shù)f(z)可以展開為雙邊冪級數(shù)f(z)=k=

ak(z-b)k該冪級數(shù)在環(huán)R1<|z-b|<R2內(nèi)收斂；同一環(huán)域中的羅朗展開式是唯一的；羅朗系數(shù)為雙邊冪級數(shù)和羅朗展開羅朗展開舉例例1：題目：在|z|>0的區(qū)域上把f(z)=cosh(z)/z展開。解答：cosh(z)=∑k=0z2k/(2k)!cosh(z)/z=∑k=0z2k-1/(2k)!例2：題目：在|z|>0的區(qū)域上把f(z)=exp(1/z)展開。解答：exp(t)=∑k=0tk/k!exp(1/z)=∑k=0z-k/k!雙邊冪級數(shù)和羅朗展開例3：題目：以b=0為中心把f(z)=1/[z(z-1)]展開。分析因為f(z)有兩個單極點z=0和z=1,所以它以b=0為中心的解析環(huán)有兩個0<|z|<1和1<|z|<∞，需要分別展開解答：在環(huán)域0<|z|<1中f(z)=1/[z(z-1)]=-1/[z(1-z)]=-1/z∑k=0zk=-∑k=0zk-1在環(huán)域1<|z|<∞中f(z)=1/[z(z-1)]=1/[z2(1-z-1)]=1/z2∑k=0z-k

=∑k=0z-k-2孤立奇點分類原則：根據(jù)函數(shù)趨向于孤立奇點時的極限行為的不同來分類；分類：極限為有限值，稱為可去奇點，例如sinz/z；極限為(n階)無窮大，稱為(n階)極點，例如1/zn；極限不存在，稱為本性奇點，例如exp(1/z)；性質(zhì)奇點鄰域羅朗展開式可去奇點：無負(fù)冪項；(n階)極點：有限個負(fù)冪項，(最高為n次)；本性奇點：無限多個負(fù)冪項；本章小結(jié)雙邊冪級數(shù)形式：s(z)=k=-

ak(z-b)k性質(zhì)：在環(huán)域內(nèi)一致收斂羅朗展開條件：在環(huán)R1<|z-b|<