Chebyshev多項(xiàng)式最正確一致迫近最正確平方迫近

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課程名稱數(shù)學(xué)軟件試驗(yàn)班級試驗(yàn)課題Chebyshev多項(xiàng)式最正確一致迫近，最正確平方迫近試驗(yàn)?zāi)康氖煜hebyshev多項(xiàng)式最正確一致迫近，最正確平方迫近運(yùn)用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中試驗(yàn)要求一種語言完成試驗(yàn)內(nèi)容Chebyshev多項(xiàng)式最正確一致迫近，最正確平方迫近成績教師

試驗(yàn)1Chebyshev多項(xiàng)式最正確一致迫近

1試驗(yàn)原理

設(shè)f(x)是定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，尋求另一個(gè)構(gòu)造簡單，計(jì)算量小的函數(shù)?(x)來近似的代替f(x)的問題就是函數(shù)迫近問題。尋常我們會(huì)取一些線性無關(guān)的函數(shù)系來達(dá)到函數(shù)迫近的目的：

對于給定的函數(shù){?j(x)}，尋求函數(shù)

?(x)??cj?j(x)

j?0n使limmaxf(x)??(x)?0的函數(shù)稱為一致迫近。使

n??a?x?blim?n??baf(x)??(x)W(x)dx?0

p的函數(shù)稱為關(guān)于權(quán)W(x)的Lp迫近。比較常用的p=2，稱為平方迫近。

設(shè)f(x)是定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，則任給定?，存在一多項(xiàng)式P?使不等式

f(x)?P???

對所有x?[a,b]一致成立

maxa?x?bf(x)?Pn(x)

則Pn(x)稱為f(x)的n次最正確一致迫近多項(xiàng)式。

求最正確一次迫近多項(xiàng)式的一種方法是可以采用Chebyshev節(jié)點(diǎn)插值，Chebyshev節(jié)點(diǎn)為

1(2j?1)xj?[(b?a)cos_?b?a],j?0,1,2,?,n

22(n?1)2試驗(yàn)數(shù)據(jù)

求函數(shù)f(x)?xex在區(qū)間[6,6]上的3，5和12次近似最正確迫近多

項(xiàng)式（Chebyshev插值多項(xiàng)式）3試驗(yàn)程序

functiong=cheby(f,n,a,b)forj=0:n

temp1=(j*2+1)*pi/2/(n+1);temp2=(b-a)*cos(temp1)+b+a;temp3(j+1)=temp2/2;end

x=temp3;y=f(x);g=lag(x,y);

functions=lag(x,y,t)symsp;

n=length(x);s=0;

for(k=1:n)la=y(k);%構(gòu)造基函數(shù)for(j=1:k-1)

la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j));end;

for(j=k+1:n)

la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j));end;s=s+la;

simplify(s);end

if(nargin==2)

s=subs(s,'p','x');s=collect(s);s=vpa(s,4);else

m=length(t);fori=1:m

temp(i)=subs(s,'p',t(i));end

s=temp;end

f=inline('x.*exp(x)','x');z1=cheby(f,3,-6,6)z2=cheby(f,5,-6,6)z3=cheby(f,12,-6,6)%作出迫近函數(shù)圖形

subplot(2,2,1),ezplot('x*exp(x)'),gridsubplot(2,2,2),ezplot(z1),gridsubplot(2,2,3),ezplot(z2),gridsubplot(2,2,4),ezplot(z3),grid%改變背景為白色

set(gcf,'color','white')4試驗(yàn)結(jié)果z1=

-133.0+4.822*x^3+27.38*x^2-20.40*xz2=

.2023*x^5+1.359*x^4-2.020*x^3-18.56*x^2+6.126*x+40.25z3=

-.2405e-16+.5187e-7*x^12+.6439e-6*x^11+.1420e-5*x^10+.6201e-5*x^9+.2287e-3*x^8+.1

813e-2*x^7+.8007e-2*x^6+.3709e-1*x^5+.1682*x^4+.5209*x^3+.9981*x^2+.9729*x

試驗(yàn)2Chebyshev最正確平方迫近

1試驗(yàn)數(shù)據(jù)

?1?x?1)關(guān)于權(quán)函數(shù)求函數(shù)f(x)?arccosx,(11?x2的5次最正確

平方迫近。

2試驗(yàn)程序程序1

functionf=ping_che(n)symsxpip%計(jì)算系數(shù)fori=2:n+1

a(i)=((-1)^i-1)*2/pip/i^2;end

a=[pip,-4/pip,a(2:n)]%調(diào)用chebyshev多項(xiàng)式che=cheby_p(x,n);f=a(1)/2;fori=2:n+1

f=f+a(i)*che(i);end%化簡

f=simplify(f);程序2

functiont=cheby_p(x,n)t(1:n+1)=x;t(1)=1;t(2)=x;%計(jì)算一般項(xiàng)fori=3:n+1

t(i)=2*x*t(i-1)-t(i-2);end;

t=simplify(t);程序3

f=@(x)acos(x);t=-1:0.01:1;f1=f(t);

subplot(1,2,1)plot(t,f1,'*')holdon

%5次最正確平方迫近%畫出迫近圖象f5=ping_che(5);

f5=subs(f5,'pip',pi)

ezplot(f5),title('5次最正確平方迫近'),gridsubplot(1,2,2),f7=ping_che(7);

f7=subs(f7,'pip',pi)

ezplot(f7),grid,title('7次迫近')3試驗(yàn)結(jié)果f5=

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