其次章第一節(jié)曲面的概念顯式方程和隱式方程表示

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第一節(jié)曲面的顯式方程和

隱式方程

一、由顯式方程表示的曲面

設(shè)D?R2是有界閉區(qū)域，函數(shù)f:D?R連續(xù)。我們稱函數(shù)f的圖像

G(f)?{(x,y,z)?R:z?f(x,y),(x,y)?D}為一張曲面，它展布在D上，稱這個(gè)曲面是由顯式方程

3z?f(x,y),(x,y)?D

所確定的。

尋常用?表示一個(gè)曲面。二、幾種常見的曲面

例1在空間直角坐標(biāo)系中，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為a、在xy平面上方的那個(gè)半球面（稱為上半球面），它的顯式方程為

1

z?a?x?y，(x,y)?D，

222222D?{(x,y):x?y?a}，即D是其中

xy平面上以原點(diǎn)為中心、半徑為a的圓盤。

顯然，下半球面的方程為

z??a2?x2?y2，(x,y)?D；

同樣可給出左半球面、右半球面的方程式。

例2點(diǎn)集

{(x,y,z):x,y,z?0,x?y?z?1}是R3中的一塊等邊三角形。這塊曲面有顯式表達(dá)

z?1?x?y，(x,y)?D，

其中D?{(x,y):x,y?0,x?y?1}。

2z?axy(x,y)?R例3由方程，，（常數(shù)a?0），所確定的曲面稱為

雙曲拋物面。

由于這曲面在在xy平面的上的，第一、第三象限中，在xy平面的上

2

方，而在其次、第四象限中是在xy平面的下方，因此在原點(diǎn)(0,0,0)的近旁，曲面呈鞍的形狀，俗稱馬鞍面。

例4旋轉(zhuǎn)曲面的方程

1?設(shè)想在xz平面上有一條顯式曲線

z?f(x),(0?a?x?b)。

假使固定z軸不動(dòng)，讓xz平面圍著z軸旋轉(zhuǎn)360?，那么這一條曲線就掃出一張曲面，稱之為旋轉(zhuǎn)曲面?。

設(shè)(x,y,z)??，它在過點(diǎn)(0,0,z)平行于xy平面的平面上，以(0,0,z)為中心，半徑為r的圓周上（z?f(r)），

x2?y2?r2，

于是得這個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面?的方程為

z?f(x2?y2),(D:a2?x2?y2?b2)。

3

?z?f(x),曲線??y?0,0?a?x?b

稱為這個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面?的發(fā)生線。

為了了解旋轉(zhuǎn)曲面的幾何形態(tài)，尋?？匆豢窗l(fā)生線的形狀就足夠了。

例如曲面

z?x2?y2,(x,y)?R2，

是一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面，這是一個(gè)圓錐面；

它的發(fā)生線是直線z?x,(x?0,y?0)。

曲面

z?x2?y2，(x,y)?R2，

是一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面，由于它的發(fā)

2z?x,(x?0,y?0)生線是拋物線

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2?把xz平面上曲線

z?f(x)(f(x)?0,a?x?b)

繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，那么這條曲線就掃出一張曲面，稱之為旋轉(zhuǎn)曲面?。設(shè)(x,y,z)??，它在過點(diǎn)(x,0,0)平行于yz平面的平面上，以(x,0,0)中心，半徑為f(x)的圓周上。顯然，曲面?的方程為

y?z?(f(x))，

222由此得旋轉(zhuǎn)曲面在z正方向的方程

22z?(f(x))?y為，(x,y)?D，

其中D是旋轉(zhuǎn)曲面在xy平面的投影區(qū)域，

D?{(x,y):?f(x)?y?f(x),a?x?b。例如把xz平面上曲線z?a2?x2，

繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面

2222x?y?z?a方程為。

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三、曲面的隱式表示

2222{(x,y,z):x?y?z?a?0}例如，

表示中心在原點(diǎn)，半徑為a的球面，這個(gè)球面上的點(diǎn)完全可以用方程x2?y2?z2?a2?0的解(x,y,z)來表示。

一般地，設(shè)三元函數(shù)F定義在區(qū)域D?R，區(qū)域D中所有滿足方程

3F(x,y,z)?0，（2）

的點(diǎn)集組成一張曲面，稱為由方程（2）所確定的隱式曲面。

x2y2z2例如，a2?b2?c2?1?0表示橢球面；

z?(x?y)?0表示錐面。

222四、曲面的切平面和法向量設(shè)p0?(x0,y0,z0)?D是隱式曲面（2）上的一點(diǎn)，任意作一條過點(diǎn)p0的曲面上的曲線?，設(shè)?有參數(shù)方程

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x?x(t),y?y(t),z?z(t)

并且參數(shù)t0對(duì)應(yīng)著點(diǎn)p0，將參數(shù)方程的三個(gè)分量代入（2），得到一個(gè)關(guān)于t的恒等式

F(x(t),y(t),z(t))?0，

對(duì)上式雙方在點(diǎn)t0處求導(dǎo)，得到

?F?F?F(p0)x?(t0)?(p0)y?(t0)?(p0)z?(t0)?0?x?y?z用向量的內(nèi)積來表示，上式乃是

??F??F?F???x(p0),?y(p0),?z(p0)???x?(t0),y?(t0),z?(t0)??0，??這說明：曲線?在點(diǎn)p0的切向量與向量

??F??F?F?F(p0)????x(p0),?y(p0),?z(p0)??（3）??垂直，由于?是曲面上過點(diǎn)p0的任一條曲線，而（3）是一個(gè)固定的向量，這說明：曲線上過點(diǎn)p0的任何曲線在點(diǎn)p0的切線是共面的。這個(gè)平面稱為曲面（2）在p0的切平面，

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而向量（3）稱為曲面（2）在點(diǎn)p0處的一個(gè)法向量，所以，曲面（2）在點(diǎn)p0處的切平面的方程是

(x?x0)?F?F?F(p0)?(y?y0)(p0)?(z?z0)(p0)?0?x?y?z（4）

這里(x,y,z)是切平面上的滾動(dòng)坐標(biāo)。

曲面在一點(diǎn)處的法線方程亦可寫出。

例如：考察球面

F(x,y,z)?x?y?z?a?0，

2222在點(diǎn)(x0,y0,z0)處，由（3）可得法向量(x0,y0,z0)，這是一個(gè)指向球外的法向量，可以叫做外法向量。為了求球的切平面方程，由（4）可得

(x?x)x?(y?y)y?(z?z)z?0，

注意到(x0,y0,z0)是球面上的點(diǎn)，

0000008

?x20?y0?z0?a222?2

上式又可寫作

xx0?yy0?zz0?a；

例考察橢球面

x2y2z2F(x,y,z)?2?2?2?1?0，

abc在點(diǎn)p0?(x0,y0,z0)處，

法向量

??F??F?F??F(p0)??(p0),(p0),(p0)???y?z??x?2x02y02z0?(2,2,2)，abc切平面

x0y0z0(x?x0)?2(y?y0)?2(z?z0)?0，2abc注意到(x0,y0,z0)是橢球面上的點(diǎn)，上式又可寫作

x0y0z0x?2y?2z?1。2abc例由方程F(x,y)?0所確定的隱函數(shù)y?f(x),x?I。

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在F(x,f(x))?0,x?I中對(duì)x求導(dǎo)得

?F?F?f?(x)?0?x?y(1,f?(x))?(，

，（兩向量正交）；

?F?F,)?0?x?y?r?(x)?(1,f?(x))?正是曲線r(x)?(x,f(x))的切?r曲線(x)?(x,f(x))的法向

向量，

(?F?F,)?x?y量。切線方程為

(x?x0)?F?F(x0,y0)?(y?y0)(x0,y0)?0?x?y。

例橢圓或雙曲線

xyF(x,y,z)?2?2?1?0，

ab22在點(diǎn)p0?(x0,y0)處的的法向量

法向量

2x02y0??F??F?F(p0)????x(p0),?y(p0)???(a2,b2)，??切線方程為

x0y0x?2y?1。2ab

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五、顯式曲面的切平面和法向量

曲面?:z?f(x,y),(x,y)?D，

令F(x,y,z)?z?f(x,y)，則此曲面的方程為

F(x,y,z)?z?f(x,y)?0，(x,y)?D；任取(x0,y0)?D，再置z0?f(x0,y0)，依（3）可得曲面的一個(gè)法向量

(??f?f(x0,y0),?(x0,y0),1)（5）?x?y由（5）看出：這法向量的第三個(gè)分量為1，所以它同z軸的正向的夾角不超過?，可以稱（5）為上法向量，2相應(yīng)地

?f?f((x0,y0),(x0,y0),?1)?x?y可稱為曲面z?f(x,y)的下法向量，這兩個(gè)法向量只是有相反的方向，所以它們都是垂直于過p0?(x0,y0,z0)的切平面。這時(shí)切平面的方程為

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??f?f(x0,y0)(x?x0)?(x0,y0)(y?y0)?(z?z0)?0?x?yz?f(x0,y0)??f?f(x0,y0)(x?x0)?(x0,y0)(y?y0)?x?y，，

(6)

六、對(duì)隱式曲面F(x,y,z)?0，在一定條件下，可以解成顯式曲面。例如，

?F(p0)?0?z，F(xiàn)?C。

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補(bǔ)充：平面方程，

平面的法線方向。

由兩個(gè)曲面相交的曲線的切線方程和法平面方程

設(shè)曲面?1:F(