七八年級數(shù)學(xué)定理知識點匯總

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北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識點匯總[七年級上冊(北師大版)]第一章豐富的圖形世界

?圓柱:底面是圓面，側(cè)面是曲面¤1..柱體??棱體:底面是多邊形，側(cè)面是正方形或長方形

圓錐:底面是圓面，側(cè)面是曲面錐體???棱錐:底面是多邊形，側(cè)面都是三角形¤2.

¤3.球體：由球面圍成的（球面是曲面）

¤4.幾何圖形是由點、線、面構(gòu)成的。

①幾何體與外界的接觸面或我們能看到的外表就是幾何體的表面。幾何的表面有平面和曲面；②面與面相交得到線；③線與線相交得到點。

※5.棱：在棱柱中，任何相鄰兩

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個面的交線都叫做棱。．

※6.側(cè)棱：相鄰兩個側(cè)面的交線叫做側(cè)棱，所有側(cè)棱長都相等。．．¤7.棱柱的上、下底面的形狀一致，側(cè)面的形狀都是長方形?！?.根據(jù)底面圖形的邊數(shù)，人們將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱??它們底面圖形的形狀分別為三邊形、四邊形、五邊形、六邊形??¤9.長方體和正方體都是四棱柱。

¤10.圓柱的表面展開圖是由兩個一致的圓形和一個長方形連成。¤11.圓錐的表面展開圖是由一個圓形和一個扇形連成。※12.設(shè)一個多邊形的邊數(shù)為n(n≥3，且n為整數(shù))，從一個

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頂點出發(fā)的對角線有(n-3)條；可以把n邊形成(n-2)個三角形；這個n邊形共有n(n2?3)條對角線。

◎13.圓上兩點之間的部分叫做弧，弧是一條曲線。．

◎14.扇形，由一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形。

¤15.凸多邊形和凹多邊形都屬于多邊形。有弧或不封閉圖形都不是多邊形。

其次章有理數(shù)及其運算?正整數(shù)(如:1,2,3?)???整數(shù)?零(0)?負整數(shù)(如:1,2,3?)???有理數(shù)?11?正分數(shù)(如:,,5.3,3.8?)??23??分數(shù)?負分數(shù)(如:?1,?1,?2.3,?4.8?)??23?

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※數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度（三者缺一不可）。※任何一個有理數(shù)，都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。（反過來，不能說數(shù)軸上所有的點都表示有理數(shù)）

※假使兩個數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)。（0的相反數(shù)是0）※在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點，位于原點的側(cè)，且到原點的距離相等。

¤數(shù)軸上兩點表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)在原點的右邊，負數(shù)在原點的左邊。

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※絕對值的定義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離。數(shù)a的絕對值記作|a|。

※正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的數(shù)；0的絕對值是0。?a(a?0)?a(a?0)?|a|?0(a?0)或|a|???a(a?0)越來越大??a(a?0)?-3-2-10123※絕對值的性質(zhì)：除0外，絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)；

互為相反數(shù)的兩數(shù)（除0外）的絕對值相等；

任何數(shù)的絕對值總是非負數(shù)，即|a|≥0

※比較兩個負數(shù)的大小，絕對值大的反而小。比較兩個負數(shù)的大小的步驟如下：

①先求出兩個數(shù)負數(shù)的絕對值；

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②比較兩個絕對值的大??；③根據(jù)“兩個負數(shù)，絕對值大的反而小〞做出正確的判斷?！^對值的性質(zhì)：

①對任何有理數(shù)a，都有|a|≥0②若|a|=0，則|a|=0，反之亦然③若|a|=b，則a=±b

④對任何有理數(shù)a,都有|a|=|-a|※有理數(shù)加法法則：①同號兩數(shù)相加，取一致符號，并把絕對值相加。②異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大數(shù)的絕對值減去較小數(shù)的絕對值。

③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。※加法的交換律、結(jié)合律在有理數(shù)運算中同樣適用。

¤靈活運用運算律，使用運算簡

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化，尋常有以下規(guī)律：①互為相反的兩個數(shù)，可以先相加；

②符號一致的數(shù)，可以先相加；③分母一致的數(shù)，可以先相加；④幾個數(shù)相加能得到整數(shù)，可以先相加。

※有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)?！栌欣頂?shù)減法運算時注意兩“變〞：①改變運算符號；②改變減數(shù)的性質(zhì)符號（變?yōu)橄喾磾?shù)）

有理數(shù)減法運算時注意一個“不變〞：被減數(shù)與減數(shù)的位置不能變換，也就是說，減法沒有交換律。

¤有理數(shù)的加減法混合運算的步驟：

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①寫成省略加號的代數(shù)和。在一個算式中，若有減法，應(yīng)由有理數(shù)的減法法則轉(zhuǎn)化為加法，然后再省略加號和括號；②利用加法則，加法交換律、結(jié)合律簡化計算。（注意：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，當有減法統(tǒng)一成加法時，減數(shù)應(yīng)變成它本身的相反數(shù)。）※有理數(shù)乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。②任何數(shù)與0相乘，積仍為0?！偈箖蓚€數(shù)互為倒數(shù)，則它們的

35與?乘積為1。（如：-2與12、53等）

※乘法的交換律、結(jié)合律、分派律在有理數(shù)運算中同樣適用?！栌欣頂?shù)乘法運算步驟：①先確定

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積的符號；

②求出各因數(shù)的絕對值的積。¤乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。注意：①零沒有倒數(shù)②求分數(shù)的倒數(shù)，就是把分數(shù)的分子分母顛倒位置。一個帶分數(shù)要先化成假分數(shù)。

③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)。

※有理數(shù)除法法則：①兩個有理數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。

②0除以任何非0的數(shù)都得0。0不可作為除數(shù)，否則無意義。

?????????指數(shù)

※有理數(shù)的乘方a?a?a????a?a底數(shù)

冪

n個an-9-

※注意：①一個數(shù)可以看作是本身

1

的一次方，如5=5；

②當?shù)讛?shù)是負數(shù)或分數(shù)時，要先用括號將底數(shù)括上，再在右上角寫指數(shù)。

※乘方的運算性質(zhì)：

①正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；②負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；

③任何數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負數(shù)；④1的任何次冪都得1，0的任何次冪都得0；

⑤-1的偶次冪得1；-1的奇次冪得-1；

⑥在運算過程中，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值?！欣頂?shù)混合運算法則：①先算乘

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方,再算乘除,最終算加減。

②假使有括號,先算括號里面的。

第三章字母表示數(shù)※代數(shù)式的概念：

用運算符號（加、減、乘除、乘方、開方等）把數(shù)與表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)．．式。單獨的一個數(shù)或一個字母也．

是代數(shù)式。注意：①代數(shù)式中除了含有數(shù)、字母和運算符號外，還可以有括號；

②代數(shù)式中不含有“=、>、

號前面是“－〞號看成-1，根據(jù)乘法的分派律用+1或-1去乘括號里的每一項以達到去括號的目的。

※注意：①去括號時，要連同括號前面的符號一起去掉；②去括號時，首先要弄明白括號前是“+〞號還是“－〞號；③改變符號時，各項都變號；不改變符號時，各項都不變號。

第四章平面圖形及位置關(guān)系一.線段、射線、直線

※1.正確理解直線、射線、線段的概念以及它們的區(qū)別：名表示方端長

圖形稱法點度

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無直線

無

直法AB(或

端度線BA)

點

直線l量

無

射OM射線1法

線OM個度

量可

線段

度

線AB(或2

量個段BA)

長

線段l

度

※2.直線公理:經(jīng)過兩點有且只有一條直線.

二.比較線段的長短

※1.線段公理:兩點間線段最短;兩之間線段的長度叫做這兩點之

lABlAB

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間的距離.

※2.比較線段長短的兩種方法:①圓規(guī)截取比較法;②刻度尺度量比較法.

※3.用刻度尺可以畫出線段的中點,線段的和、差、倍、分;用圓規(guī)可以畫出線段的和、差、倍.

三.角的度量與表示

※1.角:有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角;

A這個公共端點叫做角的頂點;BO這兩條射線叫做角的邊.※2.角的表示法：角的符號為“∠〞

①用三個字母表示，如圖1所示∠AOB

②用一個字母表示，如圖2所示鵬翔教圖11

-18-

b鵬翔教圖2

β

∠b

③用一個數(shù)字表示，如圖3所示∠1

④用希臘字母表示，如圖4所示∠β平角周角

※經(jīng)過兩點有且只有一條直線?！鶅牲c之間的所有連線中，線段最短。

※兩點之間線段的長度，叫做這兩．．

終邊始邊

ACOB

點之間的距離。．．．．．．

1o=60’1’=60〞

※角也可以看成是由一條射線圍著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的。如圖5所示：

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※一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)，當終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角。如圖6所示：．．※終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當它又和始邊重合時，所成的角叫做周角。如圖7．．所示：

※從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。．．．．．※經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

※假使兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線相互平行。※相互垂直的兩條直線的交點叫做垂足。．．※平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

-20-

※如圖8所示，過點C作直線AB的垂線，垂足為O點，線段CO的長度叫做點到直線的距離。．C．．．．AB．．．．．第五章一元一次方程※在一個方程中，只含有一個未知數(shù)x（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）,這樣的方程叫做一元一．．．次方程。．．．

※等式兩邊同時加上(或減去)同一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式。※等式兩邊同時乘同一個數(shù)（或除以同一個不為0的數(shù)），所得結(jié)果仍是等式。

※解方程的步驟：解一元一次方程，一般要通過去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)的系數(shù)化為1等幾個步驟，把一個一

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元一次方程“轉(zhuǎn)化〞成x=m的形式。

第六章生活中的數(shù)據(jù)※科學(xué)記數(shù)法：一般地，一個大于

n

10的數(shù)可以表示成a310的形式，其中1≤a

①法則使用的前提條件是：冪的底數(shù)一致而且是相乘時，底數(shù)a可以是一個具體的數(shù)字式字母，也可以是一個單項或多項式；

②指數(shù)是1時，不要誤以為沒有指數(shù)；

③不要將同底數(shù)冪的乘法與整式的加法相混淆，對乘法，只要底數(shù)一致指數(shù)就可以相加；而對于加法，不僅底數(shù)一致，還要求指數(shù)一致才能相加；

④當三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，法則可推廣為a?a?a?a（其中m、n、p均為正數(shù)）；

⑤公式還可以逆用：a?a?a（m、n均為正整數(shù)）

四．冪的乘方與積的乘方

※1.冪的乘方法則：(a)?a(m,nmnpm?n?pm?nmnmnmn-26-

都是正數(shù))是冪的乘法法則為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的,但兩者不能混淆.

※2.(a)?(a)?a(m,n都為正數(shù)).

※3.底數(shù)有負號時,運算時要注意,底數(shù)是a與(-a)時不是同底，但可以利用乘方法則化成同底，

33

如將（-a）化成-a

mnnmmn

※4．底數(shù)有時形式不同，但可以化成一致。

n

※5．要注意區(qū)別（ab）與（a+b）n

意義是不同的，不要誤以為

nnn

（a+b）=a+b（a、b均不為零）?！?．積的乘方法則：積的乘方，等于把積每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即(ab)?ab（n為正整數(shù)）。

nnn?an(當n為偶數(shù)時),一般地,(?a)??n??a(當n為奇數(shù)時).n-27-

※7．冪的乘方與積乘方法則均可逆向運用。

五.同底數(shù)冪的除法

※1.同底數(shù)冪的除法法則:同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減,即a?a?a(a≠0,m、n都是正數(shù),且m>n).

※2.在應(yīng)用時需要注意以下幾點:

①法則使用的前提條件是“同底數(shù)冪相除〞而且0不能做除數(shù),所以法則中a≠0.

②任何不等于0的數(shù)的0次冪等

0

a?1(a?0)10?1于1,即,如,(-2.5=1),0

則0無意義.

③任何不等于0的數(shù)的-p次冪(p是正整數(shù)),等于這個數(shù)的p的次

1a?冪的倒數(shù),即a(a≠0,p是正

mnm?n00?pp-28-

整數(shù)),而0,0都是無意義的;

-p

當a>0時,a的值一定是正的;當

-p

a

同；

②運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號；③在混合運算時，要注意運算順序。

※3．多項式與多項式相乘多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。多項式與多項式相乘時要注意以下幾點：

①多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是：在沒有合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原兩個多項式項數(shù)的積；②多項式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類項；

③對含有同一個字母的一次項

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系數(shù)是1的兩個一次二項式相乘(x?a)(x?b)?x?(a?b)x?ab，其二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)等于兩個因式中常數(shù)項的和，常數(shù)項是兩個因式中常數(shù)項的積。對于一次項系數(shù)不為1的兩個一次二項式

（mx+a）和（nx+b）相乘可以得到(mx?a)(nx?b)?mnx?(mb?ma)x?ab七．平方差公式

¤1．平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差，※即(a?b)(a?b)?a?b。¤其結(jié)構(gòu)特征是：

①公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項一致，其次項互為相反數(shù)；

②公式右邊是兩項的平方差，即一致項的平方與相反項的平方之差。

2222-32-

八．完全平方公式

¤1．完全平方公式：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍，¤即(a?b)?a?2ab?b；

¤口決：首平方，尾平方，2倍乘積在中央；

¤2．結(jié)構(gòu)特征：

①公式左邊是二項式的完全平方；②公式右邊共有三項，是二項式中二項的平方和，再加上或減去這兩項乘積的2倍。

¤3．在運用完全平方公式時，要注意公式右邊中間項的符號，以及避免出現(xiàn)(a?b)?a?b這樣的錯誤。

九．整式的除法

¤1．單項式除法單項式

222222-33-

單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式；

¤2．多項式除以單項式

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加，其特點是把多項式除以單項式轉(zhuǎn)化成單項式除以單項式，所得商的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，另外還要特別注意符號。

其次章平行線與相交線一．臺球桌面上的角

※1．互為余角和互為補角的有關(guān)概念與性質(zhì)

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假使兩個角的和為90°（或直角），那么這兩個角互為余角；假使兩個角的和為180°（或平角），那么這兩個角互為補角；

注意：這兩個概念都是對于兩個角而言的，而且兩個概念強調(diào)的是兩個角的數(shù)量關(guān)系，與兩個角的相互位置沒有關(guān)系。它們的主要性質(zhì)：同角或等角的余角相等；

同角或等角的補角相等。二．摸索直線平行的條件

※兩條直線相互平行的條件即兩條直線相互平行的判定定理，共有三條：

①同位角相等，兩直線平行；②內(nèi)錯角相等，兩直線平行；

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③同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。三．平行線的特征

※平行線的特征即平行線的性質(zhì)定理，共有三條：

①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內(nèi)錯角相等；③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。四．用尺規(guī)作線段和角※1．關(guān)于尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖是指只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺來作圖。※2．關(guān)于尺規(guī)的功能直尺的功能是：在兩點間連接一條線段；將線段向兩方向延長。

圓規(guī)的功能是：以任意一點為圓心，任意長度為半徑作一個圓；以任意一點為圓心，任意長度為半徑

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畫一段弧。

第三章生活中的數(shù)據(jù)

※1．科學(xué)記數(shù)法：對任意

n

一個正數(shù)可能寫成a310的形式，其中1≤a＜10，n是整數(shù)，這種記數(shù)的方法稱為科學(xué)記數(shù)法。

¤2．利用四舍五入法取一個數(shù)的近似數(shù)時，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)確切到哪一位；對于一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到確切到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字?！?．統(tǒng)計工作包括：①設(shè)定目標；②收集數(shù)據(jù)；③整理數(shù)據(jù)；④表達與描述數(shù)據(jù)；⑤分析結(jié)果。

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第四章概率

¤1．隨機事件發(fā)生與不發(fā)生的可能性不總是各占一半，都為50%。

※2．現(xiàn)實生活中存在著大量的不確定事件，而概率正是研究不確定事件的一門學(xué)科。

※3．了解必然事件和不可能事件發(fā)生的概率。

必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）=1；不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可能事件）=0；假使A為不確定事件，那么0

b+c成立；反之，只有|b-c|＜a＜b+c成立，a、b、c三條線段才能構(gòu)成三角形；

②特別地，假使已知線段a最大，只要滿足b+c＞a，那么a、b、c三條線段就能構(gòu)成三角形；假使已知線段a最小，只要滿足|b-c|＜a，那么這三條線段就能構(gòu)成三角形。

3．關(guān)于三角形的內(nèi)角和

三角形三個內(nèi)角的和為180°①直角三角形的兩個銳角互余；

②一個三角形中至多有一個直角或一個鈍角；

③一個三角中至少有兩個內(nèi)角是銳角。

4．關(guān)于三角形的中線、高和中

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線

①三角形的角平分線、中線和高都是線段，不是直線，也不是射線；

②任意一個三角形都有三條角平分線，三條中線和三條高；③任意一個三角形的三條角平分線、三條中線都在三角形的內(nèi)部。但三角形的高卻有不同的位置：銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部，如圖1；直角三角形有一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高恰好是它兩條邊，如圖2；鈍角三角形一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高在三角形的外部，如圖3。④一個三角形中，三條中線交于一點，三條角平分線交于一

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點，三條高所在的直線交于一點。

AFECBFA二．圖形的全等

¤能夠完全重合的圖形稱為全等形。全等圖形的形狀和大小都一致。只是形狀一致而大小不同，或者說只是滿足面積一致但形狀不同的兩個圖形都不是全等的圖形。三．全等三角形

¤1．關(guān)于全等三角形的概念能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。相互重合的頂點叫做對應(yīng)點，相互重合的邊叫做對應(yīng)邊，相互重合的角叫做對應(yīng)角

BDCADBE銳角三角形直角三角形鈍角三角形C

D鵬翔教圖1-43-

所謂“完全重合〞，就是各條邊對應(yīng)相等，各個角也對應(yīng)相等。因此也可以這樣說，各條邊對應(yīng)相等，各個角也對應(yīng)相等的兩個三角形叫做全等三角形。

※2．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。

¤3．全等三角形的性質(zhì)經(jīng)常用來證明兩條線段相等和兩個角相等。四．探三角形全等的條件

※1．三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊〞或“SSS〞

※2．有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊〞或“SAS〞

※3．兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊

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角〞或“ASA〞

※4．兩角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊〞或“AAS〞五．作三角形

1．已知兩個角及其夾邊，求作三角形，是利用三角形全等條件“角邊角〞即（“ASA〞）來作圖的。2．已知兩條邊及其夾角，求作三角形，是利用三角形全等條件“邊角邊〞即（“SAS〞）來作圖的。3．已知三條邊，求作三角形，是利用三角形全等條件“邊邊邊〞即（“SSS〞）來作圖的。

六．摸索直三角形全等的條件※1．斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。簡稱為

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“斜邊、直角邊〞或“HL〞。這只對直角三角形成立。

※2．直角三角形是三角形中的一類，它具有一般三角形的性質(zhì)，因而也可用“SAS〞、“ASA〞、“AAS〞、“SSS〞來判定。直角三角形的其他判定方法可以歸納如下：

①兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；

②有一個銳角和一條邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。

③三條邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。

第七章生活中的軸對稱※1．假使一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠相互重