二重積分部分練習題

本文格式為Word版，下載可任意編輯——二重積分部分練習題題目部分，(卷面共有100題,405.0分,各大題標有題量和總分)一、選擇(16小題,共53.0分)(2分)[1](3分)[2]二重積分（A）

??xydxdy(其中D：0≤y≤x,0≤x≤1)的值為

2

D1111（B）（C）（D）612242xy??dxdy?=D答()(3分)[3]若區(qū)域D為0≤y≤x2,|x|≤2,則

（A）0；（B）

3264（C）（D）25633答()

(3分)[4]設D1是由ox軸，oy軸及直線x+y=1所圈成的有界閉域，f是區(qū)域D：|x|+|y|≤1上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分

??Df(x2,y2)dxdy?__________??f(x2,y2)dxdy

D1（A）2（B）4（C）8（D）

12答()(3分)[5]設f(x,y)是連續(xù)函數(shù)，則二次積分

?0?1dx?101?x2x?1f(x,y)dyf(x,y)dx??dy?12y2?1?1(A)(B)(C)(D)

?dy??dy?01y?1?1y?1f(x,y)dx

?1f(x,y)dx

?dy?01y?1?1f(x,y)dx??dy?12?y2?1?1f(x,y)dx

?20dy??y2?1?1f(x,y)dx

答()(3分)[6]設函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D：y2≤－x,y≥x2上連續(xù)，則二重積分化累次積分為(A)(C)

??f(x,y)dxdy可

D?0?11dx?x2?xf(x,y)dy(B)?dx??1100x2?xy2yf(x,y)dy

f(x,y)dx

?dy?0?y2?yf(x,y)dx(D)?dy?答()

(3分)[7]設f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則二次積分

12x33?x2?dy?013?y212y2f(x,y)dx可交換積分次序為

(A)(B)

?dx?002xf(x,y)dy??dx?1201f(x,y)dy

33?x2?1201dx?03?x22xf(x,y)dy??1dx?f(x,y)dy??dx?2023f(x,y)dy

(C)(D)

?dx?0f(x,y)dy

??20d??2cos?f(rcos?,rsin?)rdr

sin2?3答()(3分)[8]設f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則積分

?10dx?f(x,y)dy??dx?0122?yx222?x0f(x,y)dy

可交換積分次序為(A)(B)(C)(D)

?10dy?f(x,y)dx??dy?01y0f(x,y)dx

??101dy?f(x,y)dx??dy?01x222?x0f(x,y)dx

01dy?2?yy2?xf(x,y)dx

?0dy?2f(x,y)dx

x答()(4分)[9]若區(qū)域D為(x－1)2+y2≤1,則二重積分(A)

??f(x,y)dxdy化成累次積分為

D??0d??2cos?0F(r,?)dr(B)?d?????2cos?0F(r,?)dr

?(C)

??d??2?22cos??200F(r,?)dr(D)2?d??02cos?F(r,?)dr

其中F(r,θ)=f(rcosθ,rsinθ)r.答()(3分)[10]若區(qū)域D為x2+y2≤2x，則二重積分

?2cos?22(x?y)x?ydxdy化成累次積分為??D(A)

??d??2?20(cos??sin?)2rcos?rdr

2cos?(B)

??0(cos??sin?)d??0r3dr

?(C)2?2(cos??sin?)d??02cos?0r3dr

?(D)2??(cos??sin?)d??2?22cos?0r3dr答()(4分)[11]設I1?777[ln(x?y)]dxdy,I?(x?y)dxdy,I?sin23??????(x?y)dxdy其中D是DDD由x=0,y=0,x?y?1,x+y=1所圍成的區(qū)域，則I1，I2，I3的大小順序是2(A)I1＜I2＜I3;(B)I3＜I2＜I1;(C)I1＜I3＜I2;(D)I3＜I1＜I2.答()(5分)[12]設I?dxdy，則I滿足22??1?cosx?sinyx?y?12?I?2(B)2?I?331(C)D?I?(D)?1?I?0

2(A)答()(4分)[13]設x?y?1其中D是由直線x=0,y=0,2及x+y=1所圍成的區(qū)域，則I1，I2，

I3的大小順序為

(A)I3＜I2＜I1;(B)I1＜I2＜I3;(C)I1＜I3＜I2;(D)I3＜I1＜I2.答()(3分)[14]設有界閉域D1與D2關(guān)于oy軸對稱，且D1∩D2=?,f(x,y)是定義在D1∪D2上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分

??Df(x2,y)dxdy?

(A)2??D1D1f(x2,y)dxdy(B)4??f(x2,y)dxdy

D2(C)4??f(x2,y)dxdy(D)

1f(x2,y)dxdy??2D2答()

(3分)[15]若區(qū)域D為|x|≤1,|y|≤1,則

??xeD－

cos(xy)sin(xy)dxdy?

(A)e;(B)e1;

(C)0;(D)π.答()(4分)[16]設D：x2+y2≤a2(a＞0),當a=___________時，

??Da2?x2?y2dxdy??.

3(A)1(B)23313(C)4(D)23答()二、填空(6小題,共21.0分)

(4分)[1]設函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上有界，把D任意分成n個小區(qū)域Δσi(i=1,2,…,n),在每一個小區(qū)域Δσi任意選取一點(ξi,ηi),假使極限lim??0?f(?,?)??iii?1ni(其中入是Δσi(i=1,2,…,n)的最大直徑)存在，則稱此極限

值為______________的二重積分。

(4分)[2]若D是以(0，0)，(1，0)及(0，1)為頂點的三角形區(qū)域，由二重積分的幾何意義知

??(1?x?y)=___________.

D(3分)[3]設D:0?y?

a2?x2,0?x?0，由二重積分的幾何意義知

??Da2?x2?y2dxdy?___________.

(3分)[4]設D：x2+y2≤4,y≥0,則二重積分

??sin(xy)d??__________。

D32(4分)[5]設區(qū)域D是x2+y2≤1與x2+y2≤2x的公共部分，試寫出下_

先

???f(x,y)dxdy在極坐標系

D對r

?積

?1分

?的

2cos?累次積分

?3???2d??2cos?0F(r,?)dr???3d??F(r,?)dr???2d???303?F(r,?)dr_.

(3分)[6]設D：0≤x≤1,0≤y≤2(1－x),由二重積分的幾何意義知

y??1?x???dxdy=_______________.??2?D?三、計算(78小題,共331.0分)

(3分)[1]設f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分

?20dy?1f(x,y)dx

2yy的積分次序。

(3分)[2]設f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分

?dx?022xxf(x,y)dy

的積分次序。

(3分)[3]設f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分

??1?2dy?02?y?f(x,ydx)??dy??100??yfx(y,dx)

的積分次序。

(3分)[4]設f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分

?10dx?11?x2f(x,y)dx??dx?1e1lnxf(x,y)dy

的積分次序。

(4分)[5]計算二重積分

2(x?y)dxdy??D其中D：0≤y≤sinx,0≤x≤π.(3分)[6]計算二重積分

??xydxdy

D其中D是由曲線y=x2,直線y=0,x=2所圍成區(qū)域。(3分)[7]計算二重積分

??Dxydxdy

其中D為由y=x,y=2x,x=4所圍成的區(qū)域。(3分)[8]計算二重積分

??xydxdy

D其中D：x≤y≤x,1≤x≤2.

(3分)[9]計算二重積分

??cos(x?y)dxdy

D其中D是由直線x=0,y=π和y=x圍成的區(qū)域。(4分)[10]計算二重積分

22(x?y?y)dxdy??D其中D是由直線y=x,y=x+1,y=1及y=3所圍成的區(qū)域。(3分)[11]計算二重積分

??xcos(2xy)dxdy

D其中D:0?x??4,?1?y?1

(3分)[12]計算二重積分

??(x?y)dxdy

D其中D為由y=x,x=0,y=1所圍成的區(qū)域。(3分)[13]計算二重積分

??(x?6y)dxdy

D

其中D是由直線y=x,y=5x及x=1所圍成的區(qū)域。(3分)[14]計算二重積分

??xydxdy

D其中D是由雙曲線y?1，直線y=x及x=2所圍成的區(qū)域。x(3分)[15]計算二重積分

??Dydxdyx其中D是由直線y=2x,y=x,x=2及x=4所圍成的區(qū)域。(3分)[16]計算二重積分

??ydxdy

D其中D：|x|+|y|≤1.

(3分)[17]計算二重積分

??xyd?

D其中D：|x|+|y|≤1.

(4分)[18]計算二重積分

2xy??dxdy

其中D:1?y?x,1?x?2x(4分)[19]計算二重積分

22(x?y)dxdy??D其中D是由直線y=x,y=x+a,y=a及y=3a(a>0)所圍成的區(qū)域。(4分)[20]計算二次積分

?dx?033?x0(2x?y)dy

(4分)[21]計算二重積分

??xydxdy

D其中D是由y=x,xy=1,x=3所圍成的區(qū)域。(4分)[22]計算二重積分

22(x?y?x)dxdy??D其中D是由y=2,y=x,y=2x所圍成的區(qū)域。(4分)[23]計算二重積分

??(x?1)ydxdy

D其中D是由曲線x?1?y,y=1－x及y=1所圍成的區(qū)域。

(4分)[24]計算二重積分

1dxdy4??1?xD其中D是由y=x,y=0,x=1所圍成的區(qū)域。

(4分)[25]計算二重積分

2xy??dxdyD其中D為與x=0所圍成的區(qū)域。

(4分)[26]計算二重積分

??xdxdy

D其中D是由拋物線y?12x及直線y=x+4所圍成的區(qū)域。2(4分)[27]計算二重積分

x?ye??dxdyD其中D為由y=x,y=0,x=1所圍成的區(qū)域。(4分)[28]計算二重積分

??Dx2dxdyy2其中D是由曲線xy=1,y=x2與直線x=2所圍成的區(qū)域。(5分)[29]計算二重積分

??4yD2sin(xy)dxdy

其中D是由x=0,y?(4分)[30]計算二重積分

?2,y=x所圍成的區(qū)域。

??(x?y)dxdy

D2其中D：0≤y≤sinx,(5分)[31]計算二重積分

22xycos(xy)dxdy??D.

其中D：,0≤y≤2.

(4分)[32]計算二重積分

??xDydxdy

x及y=x2所圍成的區(qū)域。

其中D是由拋物線y?(4分)[33]計算二重積分

??ydxdy

Dx2y2其中D:2?2?1

ab(4分)[34]計算二重積分

??xdxdy

D其中D:2?x?y?1?1?x2,0?x?1(5分)[35]計算二重積分

2r??drd?D其中D:acos??r?a,0????2(a?0)

(4分)[36]利用極坐標計算二次積分

?2?2dx?4?x20x2?y2dy

(5分)[37]利用極坐標計算二重積分

yarctgxdxdy??D其中D：1≤x2+y2≤4,y≥0,y≤x.

(4分)[38]利用極坐標計算二重積分

yarctgdxdy??xD其中D：a2≤x2+y2≤1,x≥0,y≥0,a＞0,x=0處廣義。

(5分)[39]試求函數(shù)f(x,y)=2x+y在由坐標軸與直線x+y=3所圍成三角形內(nèi)的平均值。(6分)[40]試求函數(shù)f(x,y)=x+6y在由直線y=x,y=5x和x=1所圍成三角形內(nèi)的平均值。(4分)[41]由二重積分的幾何意義，求

x?y2?12??(1?x2?y2?1)dxdy

(4分)[42]計算二重積分

??xdxdy

D

其中D：x2+y2≤2及x≥y2.原式=

?1?1dy?102?y2y2xdx??(2?y2?y4)dy?22152(3分)[43]計算二重積分

xe??dxdyD

其中D是第一象限中由y=x和y=x3所圍成的區(qū)域。

??edx?3dy0x1x2x??(xex?x3ex)dx

0122?1e?12(4分)[44]計算二重積分

??xdxdy

D

其中D：x2+(y－1)2≥1,x2+(y－2)2≤4,y≤2,x≥0.

??dy?024y?y22y?y2xdx

??ydy02?2(5分)[45]計算二重積分

2xy??dxdyD其中D：x2+y2≤5,x－1≥y2.

(5分)[46]計算二重積分

??xydxdy

D4x?x2?3其中D是由(x－2)2+y2=1的上半圓和x軸所圍成的區(qū)域。

??xdx?130ydy13??x(4x?x2?3)dx214?3(4分)[47]計算二重積分

22xy?xdxdy??D

其中D是由直線x=0,y=1及y=x所圍成的區(qū)域。(3分)[48]計算二重積分

??xydxdy

D32

其中D：x2+y2≤R2.(5分)[49]計算二重積分

xdxdy22??x?yD??x2其中區(qū)域D??1?x?2,?y?x?

2??(4分)[50]計算二重積分

??Dx2dxdy2y

其中D是由直線x=2,y=x和雙曲線xy=1所圍成的區(qū)域。(4分)[51]計算二重積分

??xdxdy

D

其中D：x2+y2≤a2,y≥0.(5分)[52]計算二重積分

??xdxdy

D

x2y2其中D：2?2?1

ab(5分)[53]計算二重積分

??D4?x2?y2dxdy

其中D為由y=0,x=1,y=2x圍成的區(qū)域。(5分)[54]計算二重積分

??yeDxydxdy

其中D是由y=ln2,y=ln3,x=2,x=4所圍成的區(qū)域。(5分)[55]計算二重積分

??dy?(x2?y2?y)dx1y?13?1?????y3?(y?1)3??y2?y?dy13??3?1????2y2?2y??dy13???103y(3分)[11][答案]原式

??40dx?xcos2xydy?11???4sin2xdx0

?12(3分)[12][答案]原式

=?dy??(x?y)dx001x1??(x?y)20231?y31?0221y0dy??(2y2?0112y)dy2或解原式

=?dx?(x?y)dy0x1113??(?x?x2)dx0221?21(3分)[13][答案]原式

?dx?(x?6y)dy??76xdx0x12023x?2513(3分)[14][答案]原式

??xdx?1ydy1x2x121??x(x2?2)dx21x151??ln282(3分)[15][答案]原式

2x1dx?ydy2xx43??xdx22?9??4(3分)[16][答案]原式

?4?dx?01011?x0ydy?2?(1?x2)dx?23(3分)[17][答案]原式

?4?xdx?01011?x0ydy?2?x(1?x)2dx?16(4分)[18][答案]原式

?21xdx?1y2dyxx1241??(x?2)dx31x9?110(4分)[19][答案]原式

?3aady?3ayy?a(x2?y2)dx1??(2ay2?a2y?a3)dya3?14a4(4分)[20][答案]原式

393??(?3x?x2)dx022

27?2(4分)[21][答案]原式

??xdx?1ydy1x3x1331(x?)dx?12x1?10?ln32?(4分)[22][答案]原式

??dy?y(x2?y2?x)dx022y?19332????y?y?dy0248??13?62

(4分)[23][答案]原式

??ydy?011?y1?y(x?1)dx

112y(y?y)dy?021?24?(4分)[24][答案]原式

x1?01?x4dx?0dy1x??dx01?x4211d(x)??201?x41??8(4分)[25][答案]原式

?2?2ydy?2024?y20xdx??y2(4?y2)dy?6415(4分)[26][答案]原式

??xdx?12dy?22x41??(x2?4x?x3)dx?22?184x?4(4分)[27][答案]原式

??exdx?eydy001x??ex(ex?1)dx

01e21??e?22(4分)[28][答案]

交點為(1,1)?2,?(2,4)原式

??1?2?1??=?x2?x?2?dx1x??3?242(5分)[29][答案]

原式

??4??4?20ydy?ysin(xy)dx0y?20y(1?cosy2)dy

???2(4分)[30][答案]原式

???2dx?0sinx0(x?y2)dy1??2(xsinx?sin3x)dx037?9(5分)[31][答案]原式

?0???2dx?x2ycos(xy2)dy02x??2sin4xdx02???

?16(4分)[32][答案]交點為(0，0)，(1，1)原式

??10ydy?yy2xdx11??(yy?y4y)dy206?55(4分)[33][答案]

由對稱性知，此積分等于D域位于第一象限中的部分D1上積分的4倍，在第一象限|y|=y.原式

?4?ax?0ab22a?xa0ydy?2?a0b222(a?x)dx2a4?ab23

(5分)[63][答案]

?0??2d??ln(1?r2)rdr02????4?4?51lnudu

(5ln5?4)(5分)[64][答案]

???d??2?24cos?2cos?r3dr??2?260cos4?d?

0?45?2(5分)[65][答案]

???r?rdrd?D???2?d???22cos?0r2dr8???2?cos3?d?3?216???2cos3?d?3016232???339(4分)[66][答案]原式=

?

?2?0d??sinr2?rdr

?2?=π(cosπ2－cos4π2).(4分)[67][答案]

???1?r2rdrd?D?0??2d??1?r2rdr

01??6(7分)[68][答案]

?x2?y2?ax?0,y?0??exa2?y2dxdy?20??d??erdr0r2?1?r?a??e22??0?a2

?4(e?1)2(4分)[69][答案]

???rsin??rdrd?D?20??sin?d???r2dr0aa3?1?3a3?3(3分)[70][答案]

53

??d??02?221rdr2382?2??(r3)1845??4?4