高數(shù)部分知識點總結

本文格式為Word版，下載可任意編輯——高數(shù)部分知識點總結1高數(shù)部分

1.1高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》

求極限題最常用的解題方向：1.利用等價無窮?。?.利用洛必達法

0??0?則，對于型和型的題目直接用洛必達法則，對于0、?、1型

0?的題目則是先轉化為型或限，包括limx?000?型，再使用洛比達法則；3.利用重要極?1x)x?e；4.夾逼定理。?1、lim(1?x)x?e、lim(1?1xsinxx??x?01.2高數(shù)其次章《導數(shù)與微分》、第三章《不定積分》、第四

章《定積分》

其次章《導數(shù)與微分》與前面的第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》、后面的第三章《不定積分》、第四章《定積分》都是基礎性知識，一方面有單獨出題的狀況，如歷年真題的填空題第一題往往是求極限；更重要的是在其它題目中需要做大量的靈活運用，故十分有必要打牢基礎。

對于第三章《不定積分》，陳文燈復習指南分類探討的十分全面，范圍遠大于考試可能涉及的范圍。在此只提醒一點：不定積分

?f(x)dx?F(x)?C中的積分常數(shù)C簡單被忽略，而考試時假使在答

案中少寫這個C會失一分。所以可以這樣建立起二者之間的聯(lián)系以加深印象：定積分?f(x)dx的結果可以寫為F(x)+1，1指的就是那一分，

把它折彎后就是?f(x)dx?F(x)?C中的那個C,漏掉了C也就漏掉了這1分。

第四章《定積分及廣義積分》可以看作是對第三章中解不定積分方法的應用，解題的關鍵除了運用各種積分方法以外還要注意定積分與不定積分的差異——出題人在定積分題目中首先可能在積分上下限上做文章：對于??af(x)dx型定積分，若f(x)是奇函數(shù)則有

a??a?a?2f(x)dx=0；若f(x)為偶函數(shù)則有?f(x)dx=2?f(x)dx；對于

0?af(x)dx型積分，f(x)一般含三角函數(shù)，此時用t?aa?20?x的代換是常

用方法。所以解這一部分題的思路應當是先看是否能從積分上下限中入手，對于對稱區(qū)間上的積分要同時考慮到利用變量替換x=-u和利用性質??a奇函數(shù)?0、??a偶函數(shù)?2?0偶函數(shù)。在處理完積分上下限的問題后就使用第三章不定積分的套路化方法求解。這種思路對于證明定積分等式的題目也同樣有效。

aaa1.3高數(shù)第五章《中值定理的證明技巧》

由本章《中值定理的證明技巧》探討一下證明題的應對方法。用以下這組規(guī)律公式來作模型：假使有規(guī)律推導公式A?E、(A?B)?C、(C?D?E)?F,由這樣一組規(guī)律關系可以構造出若干難易程度不等的證明題，其中一個可以是這樣的：條件給出A、B、D，求證F成立。

為了證明F成立可以從條件、結論兩個方向入手，我們把從條件入手證明稱之為正方向，把從結論入手證明稱之為反方向。正方向入手時可能遇到的問題有以下幾類：1.已知的規(guī)律推導公式太多，難以從中找出有用的一個。如對于證明F成立必備規(guī)律公式中的A?E就可能有A?H、A?(I?K)、(A?B)?M等等公式同時存在，有的規(guī)律公式看起來最有可能用到，如(A?B)?M，由于其中涉及了題目所給的3個條件中的2個，但這恰恰走不通；2.對于解題必需的關鍵規(guī)律推導關系不明白，在該用到的時候想不起來或者弄錯。如對于模型中的(A?B)?C，假使不知道或弄錯則一定無法得出結論。從反方向入手證明時也會遇到同樣的問題。

通過對這個模型的分析可以看出，對可用知識點把握的不穩(wěn)固、不熟練和無法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大原因。

針對以上分析，解證明題時其一要靈活，在一條思路走不通時必需迅速轉換思路，而不應當再從頭開始反復地想自己的這條思路是不是哪里出了問題；另外更重要的一點是如何從題目中盡可能多地獲取信息。

當我們解證明題遇到困難時，最常見的狀況是拿到題莫名其妙，感覺條件與欲證結論簡直是風馬牛不相及的東西，長時間無法入手；好不簡單找到一個大致方向，在做若干步以后卻再也無法與結論拉近距離了。從出題人的角度來看，這是由于沒能夠有效地從條件中獲取信息?！氨M可能多地從條件中獲取信息〞是最明顯的一條解題思路，同時出題老師也正是這樣安排的，但從題目的“欲證結論〞中獲取信息有時也十分有效。如在上面提到的模型中，假使做題時一開始就想到了公式(C?D?E)?F再倒推想到(A?B)?C、A?E就可以證明白。

假使把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發(fā)型〞的證明題，那么主要靠“倒推結論〞入手的“結論啟發(fā)型〞證明題在中值定理證明問題中有很典型的表現(xiàn)。其中的規(guī)律性很明顯，甚至可以以表格的形式表示出來。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型：條件欲證結論可用定理A關于閉區(qū)間存在一個介值定理（結論部分為：存在一個?使上的連續(xù)函?滿足某得f數(shù)，往往是個式子只有連續(xù)性已知(?)?k）零值定理（結論部分為：存在一個?使得f(?)?0）B條件包括函存在一個費爾馬定理（結論部分為：f(?x0)?0）數(shù)在閉區(qū)間?上連續(xù)、在f滿足洛爾定理（結論部分為：存在一個?使(n)(?)?0得f(??)?0）開區(qū)間上可導C條件包括函存在一個拉格朗日中值定理（結論部分為：存在數(shù)在閉區(qū)間?上連續(xù)、在f滿足一個?使得f(??)?(n)(?)f(b)?f(a)b?a）（結論部分為：存在一個??k柯西中值定理開區(qū)間上可導f(??)使得??g(?)f(b)?f(a)g(b)?g(a)）另外還常利用構造輔助函數(shù)法，轉化為可用費爾馬或洛爾定理的形式來證明從上表中可以發(fā)現(xiàn)，有關中值定理證明的證明題條件一般比較薄弱，如表格中B、C的條件是一樣的，同時A也只多了一條“可導性〞而已；所以在面對這一部分的題目時，假使把與證結論與可能用到的幾個定理的的結論作一比較，會比從題目條件上挖掘信息更簡單找到入手處。故對于本部分的定理如介值、最值、零值、洛爾和拉格朗日中值定理的把握重點應當放在熟記定理的結論部分上；假使能夠做到想到介值定理時就能同時想起結論“存在一個?使得f到題目欲證結論中出現(xiàn)類似“存在一個?使得f(?)(?)?k〞、看

?k〞的形式時也

能立刻想到介值定理；想到洛爾定理時就能想到式子f(??)?0；而見

f(??)到式子??g(?)f(b)?f(a)g(b)?g(a)也宛如見到拉格朗日中值定理一樣，那么在處

理本部分的題目時就會輕松的多，時常還會收到“豁然開朗〞的效果。所以說，“牢記定理的結論部分〞對作證明題的好處在中值定理的證

明問題上表達的最為明顯。

綜上所述，針對包括中值定理證明在內的證明題的大策略應當是“盡一切可能挖掘題目的信息，不僅僅要從條件上充分考慮，也要重視題目欲證結論的提醒作用，正推和倒推相結合；同時保持清醒理智，降低出錯的可能〞。希望這些想法對你能有一點啟發(fā)。不過僅僅弄明白這些離實戰(zhàn)要求還差得很遠，由于在實戰(zhàn)中證明題難就難在答案中用到的變形轉換技巧、性質甚至定理我們當時想不到；好多結論、性質和定理自己感覺確實是弄懂了、也差不多記住了，但是在做題時那種沒有提醒、或者提醒很少的條件下還是無法做到靈活運用；這也就是自身感覺與實戰(zhàn)要求之間的區(qū)別。

這就像在記英語單詞時，看到英語能想到漢語與看到漢語能想到英語的把握程度是不同的一樣，對于考研數(shù)學大綱中“理解〞和“把握〞這兩個詞的認識其實是在做題的過程中才漸漸明了的。我們需要做的就是靠足量、高效的練習來透徹把握定理性質及熟練運用各種變形轉換技巧，從而達到大綱的相應要求，提高實戰(zhàn)條件下解題的勝算。依我看，最大的技巧就是不依靠技巧，做題的問題必需要靠做題來解決。

1.4高數(shù)第六章《常微分方程》

本章常微分方程部分的結構簡單，陳文燈復習指南對一階微分方程、可降階的高階方程、高階方程都列出了方程類型與解法對應的表格。歷年真題中對于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現(xiàn)的，也經常以大題的形式出現(xiàn)，一般是通過函數(shù)在某點處的切線、法線、積分方程等問題來引出；從歷年考察狀況和大綱要求來看，高階部分不太可能考大題，而且考察到的類型一般都不是很繁雜。

對于本章的題目，第一步應當是辨明類型，實踐證明這是必需放在第一位的；分清類型以后依照對應的求解方法按部就班求解即可。這是由于其實并非所有的微分方程都是可解的，在大學高等數(shù)學中只探討了有限的可解類型，所以出題的靈活度有限，很難將不同的知識點緊湊結合或是靈活轉換。這樣的知識點特點就決定了我們可以采取相對機械的“辨明類型——〉套用對應方法求解〞的套路，而且各種類型的求解方法正好也都是格式化的，便于以這樣的方式使用。

先探討一下一階方程部分。這一部分結構明了，對于各種方程的通式必需牢記，還要能夠對易混淆的題目做出確鑿判斷。各種類型都有自己對應的格式化解題方法，這些方法死記硬背并不簡單，但有規(guī)律可循——這些方法最終的目的都是統(tǒng)一的，就是把以各種形式出現(xiàn)的方程都化為f(x)dx=f(y)dy這樣的形式，再積分得到答案。對于可分開變量型方程f1(x)g1(y)dx?f2(x)g2(y)dy?0，就是變形為

f1(x)g(y)dx=-2dy，再積分求解；對于齊次方程f2(x)g1(y)yy??f(x)則做變量

替換u?yxdu，則y?化為u?x，原方程就可化為關于u和x的可分

dx離變量方程，變形積分即可解；對于一階線性方程y??p(x)y?q(x)dy?y?p(x)y?0第一步先求的通解，然后將變形得到的y??p(x)dx積分，其次步將通解中的C變?yōu)镃(x)代入原方程y??p(x)y?q(x)解出C(x)后代入即可得解；對于貝努利方程y??p(x)y?q(x)yn，先做變量代換z?y1?n代入可得到關于z、x的一階線性方程，求解以后將z還原即可；全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy比較特別，由于其有條件

?M?yN???x，而且解題時直接套用通解公式

?xx0M(x,y0)dx??yy0N(x,y)dy?C.

所以，對于一階方程的解法有規(guī)律可循，不用死記硬背步驟和最終結果公式。對于求解可降階的高階方程也有類似的規(guī)律。對于

y(n)?f(x)型方程，就是先把y原方程就化為dz(n?1)當作未知函數(shù)Z，則y(n)?Z?

?f(x)dx的一階方程形式，積分即得；再對

y(n?2)、y(n?3)依次做上述處理即可求解；

y???f(x,y?)叫不顯含

y的二階方程，解法是通過變量替換

y??p、y???p?(p為x的函數(shù))將原方程化為一階方程；

y???f(y,y?)叫不顯含x的二階方程，變量替換也是令y??p（但

dpdydp???y??p此中的p為y的函數(shù)），則dydxdy?pp，也可化為一

階形式。

所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換

yx1?n?u〞，“求解貝努利方程就用變量替換z?y〞一樣，在這里也

要記住“求解不顯含y的二階方程就用變量替換y??p、y???p?〞、“求解不顯含x的二階方程就用變量替換y??p、y???pp?〞。

大綱對于高階方程部分的要求不高，只需記住相應的公式即可。其中二階線性微分方程解的結構定理與線性代數(shù)中線性方程組解的結構定理十分相像，可以對比記憶：

若y1(x)、y2(x)是齊次方程若齊次方程組Ax=0的基礎解系有y??p(x)y??q(x)y?0的兩個線性無(n-r)個線性無關的解向量，則齊次方關的特解，則該齊次方程的通解為程組的通解為?(x)?c1y1(x)?c2y2(x)非齊次方x?k1y1?k2y2?????kn?ryn?r程非齊次方程組Ax=b的一個通解等于y??p(x)y??q(x)y?f(x)的通解為Ax=b的一個特解與其導出組齊次方程?y?c1y1(x)?c2y2(x)?y1(x)，其中Ax=0的通解之和?y1(x)是非齊次方程的一個特解，c1y1(x)?c2y2(x)是對應齊次方程y??p(x)y??q(x)y?0的通解若非齊次方程有兩個特解y1(x)y2(x)，若r1、r2是方程組Ax=b的兩個特解，則對應齊次方程的一個解為則(r1-r2)是其對應齊次方程組Ax=0y(x)?y1(x)?y2(x)的解由以上的探討可以看到，本章并不應當成為高數(shù)部分中比較難辦的章節(jié)，由于這一章假使有難點的話也僅在于“如何確鑿無誤地記憶各種方程類型及對應解法〞，也可以說本章難就難在記憶量大上。

1.5高數(shù)第七章《一元微積分的應用》

本章包括導數(shù)應用與定積分應用兩部分，其中導數(shù)應用在大題中出現(xiàn)較少，而且一般不是題目的考察重點；而定積分的應用在歷年真題的大題中經常出現(xiàn)，常與常微分方程結合。典型的構題方式是利用變區(qū)間上的面積、體積或弧長引出積分方程，一般需要把積分方程中的變上限積分

?xaf(t)dt單獨分開到方程的一端形成“?f(t)dt＝

ax∽〞的形式，在兩邊求導得到微分方程后套用相關方程的對應解法求解。

對于導數(shù)應用，有以下一些小知識點：

1.利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和研究極、最值。其中判斷函數(shù)增減性可用定義法或求導判斷，判定極、最值時則須注意以下兩點：A.極值的定義是：對于x0的鄰域內異于x0的任一點都有f(x)＞

f(x0)或f(x)＜f(x0),注意是＞或＜而不是≥或≤；B.極

值

點

包

括

圖

1

、

圖

2

兩

種

可

能

，

所以只有在

f(x)在x0處可導且在x0處取極值時才有f?(x)?0。以上兩點都

是實際做題中經常忘掉的地方，故有必要加深一下印象。2.探討方程根的狀況。這一部分常用定理有零值定理（結論部分

為f(?)?0）、洛爾定理（結論部分為f(?；常用到構造輔助?)?0）函數(shù)法；在作題時，畫輔助圖會起到很好的作用，特別是對于探討方程根個數(shù)的題目，結合函數(shù)圖象會比較簡單判斷。3.理解區(qū)分函數(shù)圖形的凸凹性和極大微小值的不同判定條件：A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的f??(x)?0，則f(x)在I上是凸的；若

f(x)在I上的f??(x)?0，則f(x)在I上是凹的；B.若f(x)在

點x0處有f(?x)?0且f??(x0)?0，則當f??(x0)?0時f(x0)為極大值，當f??(x0)?0時f(x0)為微小值。

其中，A是判斷函數(shù)凸凹性的充要條件，根據(jù)導數(shù)定義，f?(x)是f(x)的變化率，f??(x)是f?(x)的變化率。f(?x)?0可以說明

函數(shù)是增函數(shù)，典型圖像是

；f??(x)?0可以說明函數(shù)f(x)的變化率在區(qū)間I上是遞減的，包括以下兩種可能：

a.

變?。ù笮￡P系可參考圖3）；

此時f?(x)為正，且隨x變大而

b.

小（大小關系可參考圖3）；

此時f?(x)為負，隨x變大而變

同樣，f??(x)?0也只有兩種對應圖像：

c.

此時f?(x)為正，隨著x變大而變大；

d.

此時f?(x)為負，隨x變大而變大。

所以，當f??(x)?0時，對應像，是凸的；當f??(x)?0時，對應圖像，是凹的。

或的函數(shù)圖

或的函數(shù)

相比之下，判斷函數(shù)極大微小值的充分條件比判斷函數(shù)凸凹

性的充要條件多了“f(?x)?0且f??(x0)?0〞，這從圖像上也很簡單

理解：滿足f??(x)?0的圖像必是凸的，即

或，當

f(?x)?0且f??(x0)?0時不就一定是

的狀況嗎。

對于定積分的應用部分，首先需要對微元法熟練把握。在歷年考研真題中，有大量的題是利用微元法來獲得方程式的，微元法的熟練應用是倍受出題老師青睞的知識點之一；但是由于微元法這種方法本身有思維上的騰躍，對于這種靈活有效的方法必需通過足量的練習才能真正體會其思想。在此結合函數(shù)圖像與對應的微元法核心式來歸納微元法的三種常見類型：

1.薄桶型.本例求的是由平面圖型a≤x≤

b,0≤y≤f(x)繞y軸旋轉所形成的旋轉體體積。方法是在旋轉體上取一薄桶型形體（如上圖陰影部分所示），則根據(jù)微元法思想可得薄桶體積dv?2?xf(x)dx,其中f(x)是薄桶的高，

2?xf(x)是薄桶展開變成薄板后的底面積，dx就是薄板的厚度；

二者相乘即得體積。

對dv?2?xf(x)dx積分可得V?2?xf(x)dx。在這個例子中，表達微元法特色的地方在于：1.雖然薄桶的高是個變化量，但卻用f(x)來表示；2.用dx表示薄桶的厚度；3.核心式

?dv?2?xf(x)dx。

2.薄餅型.

本例求的是由拋物線y?x及

2y?4x2繞y軸旋轉形成的高H的旋轉體體積，方法是取如上

圖陰影部分所示的一個薄餅型形體，可得微元法核心式

yydv??(y?4)dy。其中?(y?4)是薄餅的底面積，薄餅與

y?x2旋轉面相交的圓圈成的面積是?r2,∵r?x，∴

?r2??x2??y；同理薄餅與y?4x2旋轉面相交的圓圈成的

面積是

?y4，二者相減即得薄餅底面積。核心式中的dy是薄

餅的高。這個例子中的薄餅其實并不是上下一般粗的圓柱，而是上大下小的圓臺，但將其視為上下等粗來求解，這一點也表達了微元法的特色。

3.薄球型.

2本例求球體質量，半徑為R，

密度??r，其中r指球內任意一點到球心的距離。方法是取球體中的一個薄球形形體，其內徑為r厚度為dr，對于這個薄球的體積有dv?4?rrdr，其中4?r是薄球表面積，dr是厚度。該核心式可以想象成是將薄球展開、攤平得到一個薄面以后再用底面積乘高得到的。由于dr很小，故可認為薄球內質量均

22224勻，為??r，則薄球質量dm?4?r?rdr?4?rdr，積分

2可得結果。本例中“用內表面的表面積4?r乘以薄球厚度dr得到核心式〞、“將dv內的薄球密度視為均勻〞表達了微元法的特色。

通過以上三個例子談了一下了我對微元法特點的一點認識。這種方法的靈活運用必需通過自己動手做題體會才能實現(xiàn)，由于其中一些規(guī)律表面上并不符合常規(guī)思維，但可能這正是研究生入學考試出題老師喜歡微元法的原因。

關于定積分的應用，以下補充列出了定積分各種應用的公式表格：求平面圖形面積2s??求旋轉體體積（可用微元法也可用公式）體積Vx???bbbaf(x)dx左圖中圖形繞x軸旋轉體的af2(x)dx，繞y軸旋轉體得體積Vy?2??xf(x)dxa

左圖中圖形繞x軸旋轉體的體2Vx??[f積繞y軸旋轉體得體?2(x)?f1(x)]dx，ab2積Vy?2?已知平行截面面積求立體體積求平面曲線的弧長?bax[f2(x)?f1(x)]dxV??bas(x)dxl??

ba1?(y?)2dx1.6高數(shù)第九章《矢量代數(shù)與空間解析幾何》

本章并不算很難，但其中有大量的公式需要記憶，故如何減少記憶量是復習本章時需要重點考慮的問題。抓住本章前后知識點的聯(lián)系來復習是一種有效的策略，由于這樣做既可以避免重復記憶、減少記憶量，又可以保證記憶的確鑿性。同時，知識點前后聯(lián)系密切也正是本章的突出特點之一。以以下出本章中前后聯(lián)系的知識點：

a)矢量間關系在探討線線關系、線面關系中的應用。這個聯(lián)系很明顯，舉例來說，平面與直線平行時，平面的法矢量與直線的方向矢量相互垂直，而由矢量關系性質知此時二矢量的數(shù)積為0，若直線方

x?x0程為l?y?y0m?z?z0n，平面方程為Ax?By?Cz?D?0，則

有Al?Bm?Cn?0。同理可對線面、線線、面面關系進行判定。b)數(shù)積定義與求線線、線面、面面夾角公式的聯(lián)系。數(shù)積定義式為ab?|a||b|cos?，故有cos??????????ab|a||b|，這個式子是所有線線、線

面、面面夾角公式的源公式。舉例來說，設直線

l1:x?x1l1?y?y1m1?z?z1n1，直線l1:x?x2l2??y?y2m2??z?z2n2，則二直線

夾角??l1l2?m1m2?n1n2222l1?m1?n1?222l2?m2?n2???|a||b|??ab，其中a、b分別是兩條直線的方

向矢量。對于線面、面面夾角同樣適用，只需注意一點就是線面夾角

s????而是si?n????，由于如右圖所示公式中不是co?由于直線的方向矢量與直線的走向平行，而

平面的法矢量卻與平面垂直，所以線面夾角?是兩矢量夾角??的余

??????90角，即，故求夾角公式的左端是sin?。對于線線夾角

和面面夾角則無此問題。

c)平面方程各形式間的相互聯(lián)系。平面方程的一般式、點法式、三點式、截距式中，點法式和截距式都可以化為一般式。點法式

A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0（點(x0,y0,z0)為平面上已

知

點

，

{A,B,C}為法矢量）可變形為

Ax?By?Cz?(Ax0?By0?Cz0)?0，符合一般式

yxzAx?By?Cz?D?0的形式；截距式a?b?c?1（a,b,c為平面

在三個坐標軸上的截距）可變形為bcx?acy?abz?abc?0，也符合一般式的形式。這樣的轉化不僅僅是為了更好地記公式，更主要是由于在考試中可能需要將這些式子相互轉化以便利答題（這種狀況在歷年真題中曾經出現(xiàn)過）。

同樣，直線方程各形式之間也有類似聯(lián)系，直線方程的參數(shù)形式

?x?x0?lt?y?y0?mt?和標準式之間可以相互轉化。直線方程的參數(shù)形式

?z?z?nt0?（(x0,y0,z0)是平面上已知點，{l,