湖北黃崗中學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)解析7：數(shù)列的綜合考查

湖北黃崗中學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)解析7：數(shù)列的綜合考

查

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。高考對本章的考查比較全面,

等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列

知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，

求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本

章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論

等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。

近幾年來，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個方面；（1）數(shù)列本身的有關(guān)知識,

其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式。（2）數(shù)列與其它知識的

結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。（3）數(shù)列的應(yīng)用問題，其

中主要是以增長率問題為主。試題的難度有三個層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大

都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個別地方用數(shù)列與兒何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為

最后一題難度較大。（文科考查以基礎(chǔ)為主，有可能是壓軸題）

一、知識整合

1.在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，系

統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，

靈活地運(yùn)用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問題；

2.在解決綜合題和探索性問題實(shí)踐中加深對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法

的認(rèn)識，溝通各類知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡(luò)，提高分析問題和解決問題的能力，

進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力.

3.培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問方式，提高學(xué)生用

函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問題的自覺性、培養(yǎng)學(xué)生主動探索的精神和科學(xué)理性的

思維方法.

二、方法技巧

1.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：

（1）定義法：對于n》2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證明-4T為同一常數(shù)。

(2)通項(xiàng)公式法:

①若冬=01+(n-1)d="&+(n-k)d,則｛4｝為等差數(shù)列；

②若,則｛q,｝為等比數(shù)列。

(3)中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證中項(xiàng)公式成立。

2.在等差數(shù)列｛4｝中，有關(guān)S“的最值問題——常用鄰項(xiàng)變號法求解：

a>0

(1)當(dāng)q〉O,d〈O時，滿足〃'八的項(xiàng)數(shù)m使得與取最大值.

I-W0

(2)當(dāng)為<0,d>0忖，滿足《"的項(xiàng)數(shù)m使得f取最小值。

在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯位相減法、倒序相加法等。

三、注意事項(xiàng)

1.證明數(shù)列｛%｝是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明。用-%=氏-*_|或

也=烏_而得。

a?%

2.在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，''基本量法”是常用的方法，但有時靈活地

運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。

[SiW0n=1

3.注意與a“之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：a“=°1八，

k-S?_,>0n>2

4=4+Z(4一心.

k=2

4.數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數(shù)列極限的

概念和性質(zhì)，離不開數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路.

5.解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì),

揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略.

四.典型考例

【問題1】等差、等比數(shù)列的項(xiàng)與和特征問題P49例13oP50例2P56例1P59

T6.

［注1］文中所列例題如末給題目原文均為廣州市二輪復(fù)習(xí)資料上例題

例(四川卷)數(shù)列｛可｝的前〃項(xiàng)和記為5“嗎=1必m=2S“+1(〃21)(I)求｛為｝的通

項(xiàng)公式；(H)等差數(shù)列也,｝的各項(xiàng)為正，其前〃項(xiàng)和為7；,且4=15,又

%+4,。2+%，。3+4成等比數(shù)列，求騫

本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，以及推理能力與運(yùn)算能力。滿分12

分。

解：(I)由??+1=2S?+l可得4=2S,I+1(〃？2),兩式相減得

。"+1-4=24，?！?1=3?！?〃22)

又電=2SI+1=3...4=34故｛4｝是首項(xiàng)為1,公比為3得等比數(shù)列二

4=3"T

(H)設(shè)｛仇,｝的公比為d由4=15得，可得仇+/+%=15,可得瓦=5

故可設(shè)々=5—d力3=5+d又q=1,g=3,%=9

由題意可得(5—d+l)(5+d+9)=(5+3)2解得&=2,4=10

???等差數(shù)列｛〃,｝的各項(xiàng)為正，Ad>0：.d=2

n(n-l］)

T,—3及H--------x2=+2〃

〃2

1.設(shè)等差數(shù)列｛”,｝的首項(xiàng)a,及公差d都為整數(shù)，前n項(xiàng)和為5?.

(I)若au=0,Si4=98,求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(II)若“B6,an>0,14W77,求所有可能的數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式

2.(上海卷)設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且對任意正整數(shù)〃，an+Sn=4096o(1)求數(shù)

列&｝的通項(xiàng)公式？(2)設(shè)數(shù)列｛log??！保那跋囗?xiàng)和為卻對數(shù)列億｝，從第幾項(xiàng)起

Tn<-509?

>(1)Va?+Sn=4096,；.ai+S,=4096,at=2048.

當(dāng)n22時，an=Sn—S”-產(chǎn)(4096—an)—(4096—a,.-1)=a,>—an/.=—

怎t2

n-1

an=2048(1).

n2

(2)Vlog2an=log2[2048(^)']=12-n,(-n+23n).

由TW—509,解得n>"土叵?，而n是正整數(shù),于是,n246.二從第46項(xiàng)起

2

Tn<-509.

3.（全國卷I）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列［“｝的首項(xiàng)/=；,前n項(xiàng)和為S“，且

1010

2S30-（2+1）S20+S10=OO（I）求｛%｝的通項(xiàng)；（II）求｛"Sj的前n項(xiàng)和7；。

Hl

解：(I)由2sSO-QIO+DSZO+SIOMO得2i°(S3°_S2o)=S2°_Ss

BP210(6^21+%2+.一+〃30)=〃11+。12+??,+〃20,

可得2,°?q'°(〃]]+。]2+…+*o)=%1+。12+…+〃20,

因?yàn)?>0,所以解得q=g,因而%=。闖"T=5,〃=1,2,….

（II）因?yàn)椋?｝是首項(xiàng)為=；、公比夕=；的等比數(shù)列，故

-(1-—)1

S,,=—^=—2=〃-2

“,12"2"

1--

2

12n

則數(shù)列｛aS〃｝的刖n項(xiàng)和Tn=(14-2+,,,+/I)—(―++…+亍)

T112n-1n、

——=—(1+2+???+7?)—(——H——+???++三)?

2222232"

T1111

前兩式相減，得—_(1+2+…+“)一(—I—+?,?H---)H-----

222222"2"+'

1(1-—)

n(n+1)22"n十n(n+1)1n

+―-即T,=—-----+—-+----2.

42"+i"22'i2"

1--

2

【問題2】等差、等比數(shù)列的判定問題.P*T7例P54T9

［例］P54T￡上海卷）已知有窮數(shù)列｛明｝共有2k項(xiàng)（整數(shù)k22）,首項(xiàng)q=2.設(shè)該數(shù)列的

前〃項(xiàng)和為S〃，且a“+i=(〃-1)5“+2(〃=1,2、…,2k—1),其中常數(shù)。>1.

(1)求證：數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；(2)若a=22J,數(shù)列｛a｝滿足/=

匕og,(%%…%)(〃=1，2,—,2k),求數(shù)列｛仇,｝的通項(xiàng)公式；

n

⑶若(2)中的數(shù)列｛2,｝滿足不等式|仇一3'+也一3'+…+lk—23+|砥一不3

W4,求攵的值.

(1)[證明]當(dāng)n=l時,a2=2a,則”=a；

a\

2<n<2k—1時，an+i=(a—1)Sn+2,an=(a—1)Sn-i+2,

-

Sn+Ian=(a—1)an,二巴包=a,J.數(shù)列｛?。堑缺葦?shù)列.

%

?:(?-1)

---------------U+■

⑵解：由⑴得an=2a"，.?.aia2...an=2"a"2i+("T)=2"a2=22k-'

1.〃(九一1]n~\,

bn=-[n+———-+1(n=1,2,...,2k).

n2K-12K-1

313

(3)設(shè)解得n<k+-,Xn是iE整數(shù),于是當(dāng)n<k時,;

222

3

當(dāng)n>k+l時,b>—.

n2

_.33333

原式=(7—bi)+(——b)+...+(——b)+(bi—?.+(b2k——)

2222kk+22

=(bk+1+...+b2k)-(b|+...+bk)

^(k+2k-\)k!(0+k—l42

=[^----------------+k]-[^---------------+k]=——

2k—12k—12k-l

當(dāng)-----<4,Wk2-8k+4<0,4-2J3<k<4+2V3，又k>2,

2k—1

當(dāng)k=2,3,4,5,6,7時，原不等式成立.

4.［例］,已知數(shù)列｛%｝中，5,是其前〃項(xiàng)和，并且S“+|=4Q“+2(〃=1,2,I),%=1,⑴

設(shè)數(shù)列b?=all+［-2a?(n=1,2,……)，求證：數(shù)列也,｝是等比數(shù)列；⑵設(shè)數(shù)列

cn=墨,(〃=1,2,……),求證：數(shù)列｛cj是等差數(shù)列；⑶求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)

和。

分析：由于也〃｝和｛c〃｝中的項(xiàng)都和｛a〃｝中的項(xiàng)有關(guān)，但〃｝中又有S==4a〃+2,可由

S?+2-S?+1作切入點(diǎn)探索解題的途徑?

[注2]本題立意與2007年高考題文科20題結(jié)構(gòu)相似.

解：⑴由Sn+1=4a?+2,S“+2=4a,j2,兩式相減，得Sn+2-S?+1=4(a?+1-a?),即

a“+2=4a“+Ta”?(根據(jù)b?的構(gòu)造,如何把該式表示成b,用與b?的關(guān)系是證明的關(guān)鍵,注

意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)

a“+2-2a.+]=2(a,+「2a“)，又b,尸，，所以b“+]=2b“①

已知S2=4a]+2,a,=l,aI+a2=4a1+2,解得a2=5,bj=a2-2a｝=3②

由①和②得，數(shù)列｛3｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列，故b〃=3?2i.

⑵因?yàn)?、哮恥叫，所見《-%=舞-藁■如津■標(biāo)

3?2^3

2***-4'

a1=空■:，是為:，

22z4

31

C*=4Q'4'

⑴因?yàn)?外=%與所以圣嚀、=6-D

當(dāng)n22時，S“=4a._I+2=2"T(3n-4)+2；當(dāng)n=l時，S]=a[=l也適合上式.

綜上可知，所求的求和公式為S“=2"T(3n-4)+2.

說明：1.本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列

通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件5,出=4%+2得出遞推公式。

2.解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后

面求解的過程中適時應(yīng)用.

【問題3】函數(shù)與數(shù)列的綜合題P51例3

數(shù)列是一特殊的函數(shù)，其定義域?yàn)檎麛?shù)集，且是自變量從小到大變化時函數(shù)值的序

列。注意深刻理解函數(shù)性質(zhì)對數(shù)列的影響，分析題目特征，探尋解題切入點(diǎn).

PSi例3(2006湖北卷)已知二次函數(shù)y=/(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為

f\x)=6x-2,數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S,,點(diǎn)(〃,s“)(〃iN*)均在函數(shù)卜=/(x)的圖

像上。(I)、求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；(H)、設(shè)仇=—,7；是數(shù)列也J的前n項(xiàng)和，

求使得看<為對所有N*都成立的最小正整數(shù)m；

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運(yùn)算技

能，考查分析問題的能力和推理能力。

解：(【)設(shè)這二次函數(shù)段)=以2+么僅工0),則f㈤=2ox+b,由于〃意=6x—2,得

a=3,b-—2,所以f(x)=3x~2x.

又因?yàn)辄c(diǎn)S,S〃)(〃wN*)均在函數(shù)y=/(x)的圖像上，所以S〃=3/—2〃.

-22

當(dāng)n22時，an=SnSn-i=(3n—2n)—(3(?-1)—2(n—l)]=6n—5.

2

當(dāng)n=l時，ai=Si=3xl—2=6x1—5,所以，an=6n—5(〃EN*)

33111

(H)由(1)得知2=--------=-----------r--------------.=-(-------------------),

anaIJ+｝(6H-5)[6(H-1)-5]26〃-56〃+l

“匕八、、、、

故Tn=^2，=—1(1----1)+(4-----1---)+???+(z-----1-----------1---)=—1(/1-----1----)?

tr2L77136n-56〃+1」26〃+1

II1m

因此，要使上N*)成立的也必須且僅須滿足士即

26/?+120220

皿與10,所以滿足要求的最小正整數(shù)加為10.

5.設(shè)力(X)=TJ，定義工1M(外=力"〃(幻],%=第三，其中neN*.

1+x/(0)+2

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;(2)若q,=%+2%+3%+…+

2-112

解：(1)力(0)=2,=ZI+I(o)=/1[A(o)]=-

Z十Z41十

2

-1

_/?(0)-11+/?(0)1-/?(0)1/?(0)-11

?.a,,..—---+-1------=------------=-----------=--------------=—a

Z,+I(0)+224+2/,,(0)2/?(0)+22

l+A(0)

...①^=—,，.?.數(shù)列｛?！埃鲜醉?xiàng)為1，公比為一，的等比數(shù)列，q=1(

an2424

(2)T2n=4+2a2+3%+…+2na2n,

一；72“=(-：)％+(-；)2。2+(-;)3/+???+(-y)2na2?,

乙乙乙乙乙

_10_(!產(chǎn)]

T

兩式相減得：|2?=4―+〃x；(_；嚴(yán)，T2n=l(l-^1)

乙]?7N

2

6.(湖北卷)設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S”，點(diǎn)(凡S“)(〃￡N*)均在函數(shù)y=3x—2的圖像

上。

3

(I)求數(shù)列求J的通項(xiàng)公式;(II)設(shè)么二」一,7；是數(shù)列｛2｝的前n項(xiàng)和，求使得

《〈二對所有N”都成立的最小正整數(shù)mo

"20

本小題主要是考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運(yùn)算技能，考查分

析問題能力和推理能力。

解：(I)依題意得，顯=3〃-2,即5“=3〃2—2〃。

當(dāng)n22時，a〃“=s“—=(3〃2—2〃)一3(n—1)2—2(H—1)=6〃—5;

2

當(dāng)n=l時,a=Si-3Xl-2Xl-l-6Xl-5

所以?！?6”一5(〃WN)。

31”1______

(II)由⑴

得4(6/i-5)[6(n+1)-5]式6“-56n+l)

6〃+16〃+lJ

因此，使得Ljl一一＜24〃€N)成立的m必須滿足即m210,故滿足要

2(6/1+1J20''220

求的最小整數(shù)m為10。

【問題4】數(shù)列與解析幾何

數(shù)列與解析幾何綜合題，是今后高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容之一，求解時要充分利用數(shù)列、解

析幾何的概念、性質(zhì)，并結(jié)合圖形求解.

例3.在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列R（匹，％）,8（尤2，%）…，5（％，%）…，對一切正整數(shù)n，

135

點(diǎn)匕位于函數(shù)y=3x+寧的圖象上，且匕的橫坐標(biāo)構(gòu)成以-彳為首項(xiàng)，-1為公差的等差

數(shù)列上｝.

⑴求點(diǎn)鳥的坐標(biāo)；子⑵設(shè)拋物線列C”C2，Q,…,c“，…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，

第〃條拋物線c“的頂點(diǎn)為匕，且過點(diǎn)記與拋物線C〃相切于。“的直線的斜

率為&“,求:-----1-----1---1----—.

k2k3kn_}kn

53

解：(1)xn=——+(H—1)x(—1)=—n——

「13c5“3r5、

ynxn+---3n--,:.Pn(-n--,-3n--)

(2)「c”的對稱軸垂直于x軸，且頂點(diǎn)為心..?.設(shè)%的方程為:

2n+3⑵+5

y=a(x+)2-

24

把?！埃?12+1）代入上式，得a=l,的方程為：y=x2+（2n+3）x+n2

-----=--------------=—(-------------)

kn_{kn(2〃+1)(2〃+3)22〃+12〃+3

11

-----+------+…+

k[k?--k2k3n—in

*一一）=《一焉

點(diǎn)評：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大。（1）、（2）兩問運(yùn)用幾何知識算出出

7.已知拋物線4y,過原點(diǎn)作斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn)耳，又過點(diǎn)《

作斜率為;的直線交拋物線于點(diǎn)鳥，再過鳥作斜率為;的直線交拋物線于點(diǎn)鳥，…，如

此繼續(xù)，?般地，過點(diǎn)匕作斜率為—的直線交拋物線于點(diǎn)?用，設(shè)點(diǎn)p“(乙,%).

(I)令%=%同一元2,-1，求證：數(shù)列也,｝是等比數(shù)列.并求數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和為sn

”X,1)在拋物線上,故X：=4y,”①x"+；=4y②,

解:⑴因?yàn)?(%,%)、Pn+i(xn++n+I

又因?yàn)橹本€2的斜率為:即豈±L二&=_L,①②代入可得

X.+I-瑞2

2211

IXn+\-XnI

—=>X+X.=?------------

43f2"2?2([.始

=%+1一工2“_|=(X2“+|+々")"2"+々,1)22?-22"322"2/7入n/

b11

4=一口仍｝是以一刁

\44'

為公比的等比數(shù)列；5?=--(1--)^-S?+l=—,J匕

(?)=ls

【問題5】數(shù)列與算法L

8.數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為S〃=/+2n-l,試用程序框圖

開始

表示數(shù)列通項(xiàng)。〃的過程,并寫出數(shù)列的前5項(xiàng)和通項(xiàng)公式〃〃.

9.根據(jù)流程圖，⑴求生")若。〃=，求n.

4015

【問題6】數(shù)列創(chuàng)新題

10.(安徽卷)數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S”，已知％=；，S“=n2a?-n(n-l),n

=1,2,景

(I)寫出S“與Si的遞推關(guān)系式(〃32),并求S“關(guān)于〃的表達(dá)式；

(II)設(shè)九(x)==￡(PXPR)，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和T

nn

2

解：由S“=〃2a“-n(n-1)(〃32)得：S?=n(Sn-S?.,)-n(n-1),即

M+1M

(H2-1)S?-H2S,,1=?(?-1)-所以——S“——一S“_|=l,對“32成立。

nn-1

,及+1nnn-132

由——s“------S“I=1,——Sn,-------Sn2=1,…,_y=1相加得：

nn-In-In-22I

〃+1In~

——S-2S1=〃-l,又d=q=—,所以S,,=——,當(dāng)〃=l時，也成立o

n"'112"n+1

qn

(ID由力Q尸-7%n+l，得％=f：(p)=〃P"。

nn+1

而(?=p+2P2+3p3+…+(〃-1)p〃"+npn,

=p2+2p3+3p4+…+(〃-l)p"+npn+1,

2,+

(1-P)Tn=p+p+p3+…+P"-'+p"."p"+i=二1-P)一np''

1-P

H.(福建卷)已知數(shù)列｛斯｝滿足“|=〃,%+1=1+2我們知道當(dāng)。取不同的值時，得到不同的數(shù)

列，如當(dāng)。=1時，得到無窮數(shù)列：1,2,3』”..;當(dāng)。=-‘時,得到有窮數(shù)列：_±_1。

2322

(I)求當(dāng)。為何值時“4=0；(II)設(shè)數(shù)列｛%｝滿足bi=-1,卜+1=—―(neW+)?求證

a取數(shù)列｛b“｝中的任一個數(shù)，都可以得到?個有窮數(shù)列｛〃“｝；

(I)解法一：：a1=a,an+t=1+—,

a“

,i1i1Q+1[12a+li13。+2J、]/2,八

\4=1+—=1+_=----=1+—=--------4=1+—=------.故當(dāng)a=n時4=0.

qaa出〃+1/2a+13

111122

解法二：v%=0,\1+—=0,\%-=1+-八a2=--va2=1+—，'a=---.故當(dāng)〃=時/=0-

a3%2。33

(〃)解法一：.。仇=-1,%]=——,\bn=」一+La取數(shù)列也｝中的任一個數(shù)不妨設(shè)a=hn.

bn-1%I

,+l+=

,???=b?,\a2=1+—=1+3=如/=—=T~心....

aib?a2bn-\

\a”=1+---=1+—=仄=-1.\Q"+[=0.

Qn-\H

故a取數(shù)列｛bn｝中的任一個數(shù)，都可以得到?個有窮數(shù)列｛a“｝

12.(全國卷HI)在等差數(shù)列｛a“｝中，公差dHO,的是為與知的等比中項(xiàng).

已知數(shù)列a｛,ai,aki,ak；,--,ak，…成等比數(shù)列，求數(shù)列化,｝的通項(xiàng)kn.

解：由題意得：a｝=aya4..........1分

BP(a,+d)2=a,(q+3d).......3分

又drq=d.......4分

又％,。3,%，％2，…M2…成等比數(shù)列，

，該數(shù)列的公比為g="=%=3,.....6分

/d

所以4=a,-3,,+1.....8分

A”1

又氣,=a[+（kn-1）J=kna[.............................10分

B+1+1

kn=3所以數(shù)列化,｝的通項(xiàng)為kn=3"......................12分

課后訓(xùn)練：

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1如果-1,a,力c,-9成等比數(shù)列，那么

A./F3,ac=9B./F-3,ac=9C.b=3,acp-9D.b=~3,ac=-9

2.在等差數(shù)列｛a“｝中，已知。1=2，°2+。3=/3,貝|J“4+。5+。6等于

A.40B.42C.43D.45

3.（06廣東卷）已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其

公差為

A.5B.4C.3D.2

4.若互不相等的實(shí)數(shù)凡b,c成等差數(shù)列，c,a,。成等比數(shù)列，且a+3b+c=10,則。=

A.4B.2C.-2D.-4

5.（06江西卷）已知等差數(shù)列｛d｝的前n項(xiàng)和為S“，若麗=a|GX+azoo反，且A、B、

C三點(diǎn)共線（該直線不過原點(diǎn)0）,則S200=（）

A.100B.101C.200D.201

6.（文科做）在等比數(shù)列｛4｝中嗎=2,前〃項(xiàng)和為5?，若數(shù)列｛4+1｝也是等比數(shù)列，則5?等

于

A.2n+1-2B.3〃C.2nD.3n-1

_/z

7.已知數(shù)列｛a?｝滿足ax-0,a,t+I=~^=-----（〃eN*）,則<z,007=

J3a.+1

)

A.0B.—y/3C.y/3D.---

2

8.（06全國II）設(shè)S“是等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若會.崎=

3111

4-氏

3-8-9-

10

9.已知等差數(shù)列｛即｝中,念+。8=8,則該數(shù)列前9項(xiàng)和S9等于（）

A.18B.27C.36D.45

10.（06天津卷）已知數(shù)列｛%｝、步“｝都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為丹、瓦,

且4+優(yōu)=5,%,4eN*.設(shè)c“=即（〃€N*）,則數(shù)列｛c“｝的前10項(xiàng)和等于（）

A.55B.70C.85D.100

二、填空題（共6小題，每小題4分，共24分）

11.設(shè)S“為等差數(shù)列｛。,,｝的前"項(xiàng)和，54=14,SIO-S7=3O,則S9=.

12.在數(shù)列｛斯｝中，若41=1,〃〃+]=2為+3則該數(shù)列的通項(xiàng)?！?.

13.已知a,b,a+b成等差數(shù)列，a,b,ab成等比數(shù)列，且0vk）g〃13b）vl,則m的取值范圍是

*

14.等差數(shù)列｛斯｝共有2〃+1項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為319,偶數(shù)項(xiàng)之和為290,則其中間項(xiàng)為

15.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,前n項(xiàng)和為S”，若Sn+i,Sn,Sn+2成等差數(shù)列，則q的值

為.

三、解答題（共4小題，每小題4分，共24分）

16.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝,其前〃項(xiàng)和S“滿足10S“+5?！?6,且％,生,每成等比數(shù)列，

求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)4.

17.（文科做）（06福建）已知數(shù)列｛4｝滿足q=l,a2=3,4+2=3a”+「2a“（”eN*）.

（I）證明：數(shù)列｛《川一可｝是等比數(shù)列：（II）求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式；

（II）若數(shù)歹U也｝滿足45t妙T.W"T=（4"+1盧（”€N"）,證明也｝是等差數(shù)

18.（山東卷）已知數(shù)列｛%｝中，％=,、點(diǎn)（〃、2a“+1-在直線y=x上，其中n=l,2,3….

（I）令b“=a,--a,-3,求證數(shù)列也,｝是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列｛%M勺通項(xiàng);

(in)設(shè)s〃、，分別為數(shù)列"｝、｛%｝的前〃項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)4,使得數(shù)列]匕/

為等差數(shù)列？若存在，試求出幾.若不存在，則說明理由。

答案與點(diǎn)撥：

1B解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得ac=(-1)X(-9)=9,bXb=9且b與奇數(shù)項(xiàng)的符號

相同，故b=-3,選B

2B解：在等差數(shù)列｛4｝中，已知q=254+%=13,工d=3,。5=14,a4+a5+a6=3?5=42,

選B.

[5?i+20d=15

3D解：5=>d=3,故選C.

5a｝+25d=30

4D解：由互不相等的實(shí)數(shù)。也c成等差數(shù)列可設(shè)@=-d,c=b+d,由〃+3b+c=10可

得b=2,所以a=2—d,c=2+d,又c,〃/成等比數(shù)列可得d=6,所以a=-4,選D

5A解：依題意，ai+3200=1，故選A

6(文)C解：因數(shù)列｛4｝為等比，則4=2，i,因數(shù)列｛劣+1｝也是等比數(shù)列，

2

則(??+i+1)2=(??+D(%+2+1)=?,.+i+2/+i=a?an+2+a?+an+2nan+an+2=2an+i

=>%(1+q2—2(7)=0=>(7=1

即4=2,所以S〃=2〃，故選擇答案C。

7.A提示：由ai=0,a/1+1=與=----(HGN+).得a2=-V3,=JJ,%=°，....

+1

由此可知：數(shù)列｛an｝是周期變化的，且三個一循環(huán)，所以可得:a20=a2=-Ji故選A

8A解:由等差數(shù)列的求和公式可得區(qū)=3士殂可得〃=2d且dwO

S66q+15d3

所以區(qū)6a.+15d27d3,.

—!------=——=—,故選A

12q+66d90d10

點(diǎn)評：本題主要考察等比數(shù)列的求和公式，難度一般

9c解：在等差數(shù)列｛斯｝中，做+。8=8，q+卬=8,則該數(shù)列前9項(xiàng)和$9=2警女=36,

選c

10C解:數(shù)列｛2｝、｛"｝都是公差為1的等差數(shù)列,其首項(xiàng)分別為q、"，且％+仇=5,

%，仇GN*.設(shè)cn=ab(”eN*),則數(shù)列｛%｝的前10項(xiàng)和等于

%+電+…++%+i+…+%+9，%=%+((一D=4，%+%+1+…+%+9

=4+5+6d1-13=85,選C.

11.(文)解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為a”公差為d,由題意得4%+4(4；l)d=i4,

口仙+咽產(chǎn)田―口弓+受。町=30,聯(lián)立解得a1=2,d=l,所以Sg=9x2+豈f1=54

12.2n+1-3解：在數(shù)列｛%｝中,若q=1,。用=2%+3(〃21),/.

+3=2(%+3)(〃21),即｛4+3｝是以4+3=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

4+3=4-2"-'=2"1,所以該數(shù)列的通項(xiàng)4=2"+1-3.

13.(一8,8)提示：解出。、瓦解對數(shù)不等式即可.答案：(一8,8)

>7-4-1

14.色|=29提示：利用SJS上——得解.答案：第11項(xiàng)a“=29

n

15.-2提示：由題意可知q#l,...可得2(l-q"尸(l-q/i)+(l-qn+2),即q2+q_2=0,解得q=-2

或q=l(不合題意，舍去),，q=-2.

2

16解：13.解：V10Sn=an+5an+6,①二10ai=a/+5ai+6,解之得a『2或a『3.

又10Sn產(chǎn)an」+5ani+6(n)2),②

22

由①一②得1Oan=(an—an-1)+6(an—a,^1),即(an+a『D(an—a『i-5)=0

Van+an-,>0,.\an—an-i=5(n^2).

當(dāng)ai=30t,a3=13,ai5=73.a］，a3,au不成等比數(shù)列，ai#3;

當(dāng)a1=2時，a3=12,a*=72,有232=2冏5,；.ai=2,；.an=5n—3.

17.(I)證明：

,?F“+2=3a“+「2a“，

???《,+2一。“+1=2(?！?1-%,)二%=1,。2=3".""2""+i=2(〃eN*).

???{4+i一%}是以4一％=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)歹!!。

(II)解：由⑴得

+a

%+i一%=2"(〃eN*),/.an=(an-</?_))+~an_2)+???+(?2-?i)i

=+2"-2+...+2+1=2"-1(〃eN*).

(Ill)證明：妙T“,T=&+]聲，...4幽+與+.也)=2曲，

/.2[(Z?,+b2+...+bn)-n]-nbn,①

2@+b2+...+bn+2+i)-(〃+1)]=(〃+1)%.②

②一①，得2(%-1)=(〃+1應(yīng)用-曲，即(〃-1)*「砌+2=0.③

〃"+2-(〃+1)超+i+2=0.④

④一③，得〃2+2-2〃%+曲=0,即〃+2-2“訊+超=0,

么+2-a=b”+「b<neN*),也｝是等差數(shù)列。

18.(山東卷)已知數(shù)列｛%｝中，％=；、點(diǎn)("、2a,,+1在直線y=x上，其中n=l,2,3….

(I)令bn=a,--%-3,求證數(shù)列也小等比數(shù)列；(II)求數(shù)列｛”“的通項(xiàng);

(HI)設(shè)S,,、7；分別為數(shù)列