八上培優(yōu)5 半角模型

本文格式為Word版，下載可任意編輯——八上培優(yōu)5半角模型八上培優(yōu)5半角模型方法：截長(zhǎng)補(bǔ)短

圖形中，往往出現(xiàn)90°套45°的狀況，或者120°套60°的狀況。還有2?套?的狀況。求證的結(jié)論一般是線段的和與差。解決的方法是：截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形。旋轉(zhuǎn)移位造全等，翻折分割構(gòu)全等。截長(zhǎng)法，補(bǔ)短法。

勤學(xué)早和新觀測(cè)均有專(zhuān)題。勤學(xué)早在第49頁(yè)，新觀測(cè)在第34頁(yè)，新觀測(cè)培優(yōu)也有涉及，在第27頁(yè)2兩個(gè)例題，29頁(yè)有習(xí)題。這些題大同小異，只是圖形略有變化而已。證明過(guò)程一般要證明兩次全等。

下面是新觀測(cè)第34頁(yè)1~4題

1.如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分別在AD、CD上，且∠EBF=60゜．求證：EF=AE+CF．

2.如圖2，在上題中，若E、F分別在AD、DC的延長(zhǎng)線上，其余條件不變，求證：AE=EF+CF．

3.如圖，∠A=∠B=90°,CA=CB=4,∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3,BF=2,求五邊形ABCDE的面積.

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CBDAFECBAFE4．如圖1．在四邊形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠BAD=2∠EAF．（1）求證：EF=BE+DF；（2）在（1）問(wèn)中，若將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別運(yùn)動(dòng)到BC、CD延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示，試探究EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系．3.如圖3，在四邊形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，摸索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．-2-

勤學(xué)早第40頁(yè)試題

1.（1）如圖，已知AB=AC,∠BAC=90°，∠MAN=45°,過(guò)點(diǎn)C作NC⊥AC交AN于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作BM垂直AB交AM于點(diǎn)M，當(dāng)∠MAN在∠BAC內(nèi)部時(shí)，求證：BM+CN=MN;

BMGBMBMGNAC

NACNAC

證明:延長(zhǎng)MB到點(diǎn)G，使BG=CN,連接AG，證△ABG≌△ACN(SAS),∴AN=AG,∠BAG=,∠NAC.L∵∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=45°=L∠MAN,證△AMN≌△AMG(SAS),'∴MN=MG=BM+BG=BM十NC.

證明二：(此證明方法見(jiàn)新觀測(cè)培優(yōu)第27頁(yè)例3)

(2)如圖,在(1)的條件下，當(dāng)AM和AN在AB兩側(cè)時(shí)，(1)的結(jié)論是否成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.

NMBMBNFACAC

解:不成立，結(jié)論是:MN=CN一BM,證明略.

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基本模型二120°套60°

2.如圖，△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,E為AB上一點(diǎn)，∠DCE=60°,∠DAE=120°，求證:DE=BE

CAEDBDACF

EB

證明:(補(bǔ)短法)延長(zhǎng)EB至點(diǎn)F,使BF=AD,連接CF,則△CBF≌△CAD，△CED≌△CEF,.DE-AD=EF-BF=BE.

3.如圖,△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，∠DCE=∠DAE=60°，求證:AD+DE=BE.

DAECDABCEFB

證明:(截長(zhǎng)法)在BE上截取BF=AD,連接CF，易證△CBF≌△CAD，△CED≌ACEF,DE=EF,AD+DE=BF+EF=BE.

比較：新觀測(cè)培優(yōu)版27頁(yè)

例4如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，△BDC是頂角，∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC于M、N,連結(jié)MN,試求△AMN的周長(zhǎng).

AMB23NC1D

P

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分析:由于∠MDN=60°,∠BDC=120°，所以∠BDM十∠CDN=60°，注意到DB=DC，考慮運(yùn)用“旋轉(zhuǎn)法〞將∠BDM和∠CDN移到一起，尋覓全等三角形。另一方面,△AMN的周長(zhǎng)AM+AN+MN=AB+AC+MN-BM-CN.猜想MN=BM+CN,證三角形全等解決.

新觀測(cè)培優(yōu)68頁(yè)例5如圖，點(diǎn)A、B(2,0)在x軸上原點(diǎn)兩側(cè),C在y軸正半軸上,OC平分∠ACB.

(1)求A點(diǎn)坐標(biāo);

(2)如圖1,AQ在∠CAB內(nèi)部，P是AQ上一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠ACB=∠AQB,AP=BQ.試判斷△CPQ的形狀，并予以證明;

(3)如圖2.BD⊥BC交y軸負(fù)半軸于D.∠BDO=60°,F為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，E在CB延長(zhǎng)線上，滿(mǎn)足∠CFD+∠E=180°.當(dāng)F在AC上移動(dòng)時(shí)，結(jié)論:①CE+CF值不變;②CE-CF值不變，其中只有一個(gè)正確結(jié)論，請(qǐng)選出正確結(jié)論并求其值.

yyCF13CD1B2PO2ADxOxEGAB

分析:(1)由∠A0C≌△BOC得AO=BO=2,A(-2,0).(2)由△ACP≌△BCQ得CP=CQ.

(3)由BD⊥BC,∠BDO=60°，可證得等邊△ABC.由角平分線和DB_⊥BC的條件,運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性知DA⊥AC,連結(jié)DA,加上條件∠CFD+∠E=180°，可證得△ADF?△BDE,于是CE+CF=2AC=2AB=8.

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基本模型三2?°套?°4.(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1∠BAD,求證:EF=BE+DF;2(2)如圖2,在(1)的條件下,若將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E,F分別運(yùn)動(dòng)到BC,CD延長(zhǎng)線上時(shí)，則EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系是EF=BE-DFGADFB解:(1)EF=BE+DF,延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE,連接AG,FADEECBMC證△ABE≌△ADG(SAS),..∴AE=AG,∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=1∠BAD,2∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠'EAF=∠GAF,證△AEF≌△GAF(SAS),.∴EF=FG,∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF;(2)EF=BEDF.

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外地試題：4．探究：如圖①，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連結(jié)EF，求證：EF=BE+DF．應(yīng)用：如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，AB=AD，∠B+∠D=90°，∠EAF=1∠BAD，若EF=3，BE=2，則DF=．25．通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類(lèi)的目的．下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，求證：EF=BE+DF．（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∵∠ADG=∠B=90°，∴∠FDG=∠ADG+∠ADC=180°，則點(diǎn)F、D、G共線．根據(jù)，易證△AFG≌，從而得EF=BE+DF；（2）類(lèi)比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，但當(dāng)∠B與∠D滿(mǎn)足等量關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+DF，請(qǐng)給出證明；（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC應(yīng)滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程．-7-

7．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且AE=AF，∠EAF=1∠BAD．現(xiàn)有三種添加輔助線的方式：①延長(zhǎng)EB至G，使BG=BE，連接2AG；②延長(zhǎng)FD至G，使DG=BE，連接AG；③過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EF，垂足為G；選擇其中一種方法添加輔助線，求證：EF=BE+FD；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，若∠B+∠D=180°，∠EAF=1∠BAD，證明（1）2中結(jié)論是否還成立？（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=1∠BAD，（1）中的結(jié)論是否依舊成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)2寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．8．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1∠BAD．求證：EF=BE+FD．21∠BAD，（1）中的結(jié)論是否依舊成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出線段EF、2（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=1∠BAD，（1）中的結(jié)論是否依舊成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)2寫(xiě)出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

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半角模型問(wèn)題放到平面直角坐標(biāo)系中是什么樣子？

1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等腰直角三角形，A（4，4）

（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖2，若C為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，連接OD，求∠AOD的度數(shù)；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交y軸于E，F(xiàn)為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，G在EF的延長(zhǎng)線上，以EG為直角邊作等腰Rt△EGH，過(guò)A作x軸垂線交EH于點(diǎn)M，連FM，等式AM=FM+OF是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明；若不成立，說(shuō)明理由．解：（1）如下圖，作AE⊥OB于E，∵A（4，4），∴OE=4，

∵△AOB為等腰直角三角形，且AE⊥OB，∴OE=EB=4，∴OB=8，∴B（8，0）；

（2）如下圖，作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，

∵△ACD為等腰直角三角形，∴AC=DC，∠ACD=90°即∠ACF+∠DCF=90°，

∵∠FDC+∠DCF=90°，∴∠ACF=∠FDC，

又∵∠DFC=∠AEC=90°，∴△DFC≌△CEA（AAS），∴EC=DF=4，F(xiàn)C=AE，∵A（4，4），∴AE=OE=4，

∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，∴OF=CE，∴OF=DF，

∴∠DOF=45°，

∵△AOB為等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；

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（3）AM=FM+OF成立，理由：如下圖，在∴∠AEN+∠OEM=45°AM上截取AN=OF，連EN．又∵∠AEO=90°，∵A（4，4），∴∠NEM=45°=∠FEM，∴AE=OE=4，又∵EM=EM，又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，∴△NEM≌△FEM（SAS），∴△EAN≌△EOF（SAS），∴MN=MF，∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，∴AM-MF=AM-MN=AN，又∵△EGH為等腰直角三角形，∴AM-MF=OF，∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，即AM=FM+OF；

此題考察三角形綜合題、全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．

2．如圖，直線L交