中考數(shù)學(xué)條件輔助線綜合題

條件輔助線綜合知識(shí)導(dǎo)航幾何題目的難點(diǎn)在于它的千變?nèi)f化，而它的魅力恰好在于萬(wàn)變不離其宗，抓住題目中核心的條件，選取恰當(dāng)?shù)臈l件對(duì)應(yīng)的輔助線，加上自己的思考和嘗試，往往會(huì)有柳暗花明又一村的感覺(jué)，這一講，我們將一起來(lái)看一下條件輔助線的綜合應(yīng)用！模塊一角平分線例1如圖，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)F、E分別在邊AC、AB上，且BD＝FD．（1）證明∠B＋∠AFD＝180°；（2）若∠B＋2∠DEA＝180°，試探究線段AE、AF和FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．練習(xí)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，4），點(diǎn)B、C分別在x軸、y軸的正半軸上，．（1）∠COA的值為；（2）求∠CAB的度數(shù)；（3）如圖2，點(diǎn)M、N分別是x軸正半軸及射線OA上一點(diǎn)，且OH⊥MN的延長(zhǎng)線于H，滿(mǎn)足∠HON＝∠NMO，請(qǐng)?zhí)骄績(jī)蓷l線段MN、OH之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．模塊二截長(zhǎng)補(bǔ)短在幾何題目中，經(jīng)常有一類(lèi)問(wèn)題是探究線段和差之間的關(guān)系，這類(lèi)問(wèn)題經(jīng)常需要用到截長(zhǎng)補(bǔ)短的思路，截長(zhǎng)補(bǔ)短一方面可以借助其他的條件輔助線（例如角平分線等）或者模型輔助線（后邊會(huì)學(xué)到）去思考，另一方面多多去嘗試，只有這樣，才能體會(huì)到截長(zhǎng)補(bǔ)短的精髓．例2已知等邊△ABC，D在CB的延長(zhǎng)線上．（1）若DE∥AC交AB的延長(zhǎng)線于E，直接寫(xiě)出AE和CD的關(guān)系：；（2）若∠ADM＝60°，且CM為△ABC的外角平分線，求證：CD＝CA＋CM．練習(xí)如圖1，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，以AB為邊向外作等邊三角形△ABE，直線CE與直線AD交于點(diǎn)F．（1）若AF＝10，DF＝3，試求EF的長(zhǎng)；（2）若以AB為邊向內(nèi)作等邊△ABE，其它條件均不變，請(qǐng)用尺規(guī)作圖補(bǔ)全圖2（保留作圖痕跡），并直接寫(xiě)出EF、AF和DF三者的數(shù)量關(guān)系．例3如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在BD的延長(zhǎng)線上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于F．（1）如圖1，連CF，求證：∠ABE＝∠ACF；（2）如圖2，當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，求證：AF＋EF＝FB；（3）如圖3，當(dāng)∠ABC＝45°時(shí)，若BD平分∠ABC，求證：BD＝2EF．模塊三中點(diǎn)的構(gòu)造中點(diǎn)，是一個(gè)非常美妙的幾何條件，它和很多知識(shí)都有聯(lián)系，現(xiàn)階段我們接觸到的是其最本質(zhì)的思路之一即中線倍長(zhǎng)，中線倍長(zhǎng)我們可以得到一組八字全等，進(jìn)而去證明出我們想要得到的結(jié)論，反過(guò)來(lái)要想證明中點(diǎn)的結(jié)論，我們則可以通過(guò)構(gòu)造平行線來(lái)證明，接下來(lái)我們將看幾個(gè)經(jīng)典的例題．例4如圖，△ABC中，分別以AB、AC為邊作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，AM是BC邊上的中線．求證：①ED＝2AM且AM⊥ED．②．例5如圖，△ABC與△ADE為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BD、CE，若F是BD的中點(diǎn)，求證：且AF⊥CE．例6如圖，△ABE和△ACD為等腰直角三角形，AM⊥BC于M，MA交ED于N．求證：EN＝DN．練習(xí)在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）如圖1，若AB＝BC，將△ABC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度至△ADE的位置，BD與CE交于點(diǎn)O，求證：OE＝OC．（2）如圖2，AB≠BC，其他條件不變，（1）中的結(jié)論依然成立嗎？若不成立，說(shuō)明理由；若成立，證明結(jié)論．模塊四三垂直模型與坐標(biāo)系綜合知識(shí)導(dǎo)航三垂直模型在坐標(biāo)系中有著非常廣泛的應(yīng)用，尤其是與等腰直角三角形的綜合，具體來(lái)說(shuō)：已知等腰直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)中任意兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，便可以求出第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)情況一如下圖：直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上情況二如下圖：直角頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上例4（1）如圖，△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，A（0，3），C（1，0），求B點(diǎn)坐標(biāo)．（2）如圖，△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，A（－1，0），C（1，3），求B點(diǎn)坐標(biāo)．（3）如圖，△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，B（2，2），C（4，－2），求A點(diǎn)坐標(biāo)．練習(xí)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC與y軸交于D點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－2，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－6，3），則D點(diǎn)的坐標(biāo)是．真題演練如圖，已知A（－2，0），（1）如圖，以A為頂點(diǎn)，AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若B（0，－4），求C點(diǎn)坐標(biāo)．（2）如圖，P為y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)，PA為腰做等Rt△APD，過(guò)D作DE⊥x軸于E點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，試問(wèn)OP－DE的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖，已知F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，﹣4），G是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，以FG為直角邊作等腰Rt△FGH，H點(diǎn)在x軸上，∠GFH＝90°.設(shè)G（0，m），H（n，0），當(dāng)G點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，m＋n的值是否變化？若不變，求其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．例5在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，﹣1），B（1，﹣4），C（5，﹣2），求∠ABC的度數(shù)．練習(xí)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（a，b），且a、b滿(mǎn)足（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)F（1，0），C（0，3），連AC、FC，試確定∠ACO＋∠FCO的值是否發(fā)生變化.若不變，說(shuō)明理由.若變化，請(qǐng)求出變化范圍．A基礎(chǔ)鞏固1．如圖，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC．（1）求證：AE平分∠DAB．（2）若BC＝12，AD＝13，求．2．如圖，在△ABC內(nèi)一點(diǎn)D，點(diǎn)C是AE上一點(diǎn)，AD交BE于點(diǎn)P，射線DC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且∠ABD＝∠ACD，∠PDB＝∠PDC．（1）求證：AB＝AC．（2）若，，求的值．（3）若，，則．3．已知等腰