第56講 分類加法計數原理與分步乘法計數原理（解析版）　

第56講分類加法計數原理與分步乘法計數原理兩個計數原理(1)分類加法計數原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．(2)分步乘法計數原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．常用結論兩個計數原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數原理分步乘法計數原理相同點用來計算完成一件事的方法種數不同點分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情(每步中的每一種方法不能獨立完成這件事)注意點類類獨立，不重不漏步步相依，缺一不可考點1分類加法計數原理[名師點睛]分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置.(1)根據題目特點恰當選擇一個分類標準.(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才是不同的方法，不能重復.(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.[典例]1.從甲地到乙地有三種方式可以到達.每天有8班汽車、2班火車和2班飛機.一天一人從甲地去乙地，共有________種不同的方法.答案12解析分三類：一類是乘汽車，有8種方法；一類是乘火車，有2種方法；一類是乘飛機，有2種方法，由分類加法計數原理知，共有8＋2＋2＝12種方法.2.如果把個位數是1，且恰有3個數字相同的四位數叫作“好數”，那么在由1，2，3，4四個數字組成的有重復數字的四位數中，“好數”共有________個(用數字作答).答案12解析組成的數字有三個1，三個2，三個3，三個4，4種情況.當有三個1時：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9個；當有三個2，三個3或三個4時：2221，3331，4441，有3個，根據分類加法計數原理可知，共有12個結果.3.滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的有序數對(a，b)的個數為________.答案13解析當a＝0時，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的個數為4；當a≠0時，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實數解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，則b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的個數為4；若a＝1，則b的值可以是－1，0，1，(a，b)的個數為3；若a＝2，則b的值可以是－1，0，(a，b)的個數為2.由分類加法計數原理可知，(a，b)的個數為4＋4＋3＋2＝13.[舉一反三]1．某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有()A．4種B．10種C．18種D．20種答案B解析依題意得，可能剩余一本畫冊或一本集郵冊兩種情況．第一類，剩余的是一本畫冊，此時滿足題意的贈送方法共有4種；第二類，剩余的是一本集郵冊，此時滿足題意的贈送方法共有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)．因此，滿足題意的贈送方法共有4＋6＝10(種)．2．如圖所示，某景觀湖內有四個人工小島，為方便游客登島觀賞美景，現計劃設計三座景觀橋連通四個小島，每座橋只能連通兩個小島，且每個小島最多有兩座橋連接，則設計方案的種數最多是()A．8B．12C．16D．24答案B解析四個人工小島分別記為A，B，C，D，對A分有一座橋相連和兩座橋相連兩種情況，用“－”表示橋．①當A只有一座橋相連時，有A－B－C－D，A－B－D－C，A－C－B－D，A－C－D－B，A－D－B－C，A－D－C－B，共6種方法；②當A有兩座橋相連時，有C－A－B－D，D－A－B－C，D－A－C－B，B－A－C－D，B－A－D－C，C－A－D－B，共6種方法．故設計方案最多有6＋6＝12(種)．考點2分步乘法計數原理[名師點睛]1.利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.2.分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.[典例]有六名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法(六名同學不一定都能參加)?(1)每人只參加一項，每項人數不限；(2)每項限報一人，且每人至多參加一項；(3)每項限報一人，但每人參加的項目不限.解(1)每人都可以從三個競賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法共有36＝729(種).(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目只有4種選法，根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種).(3)每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六名同學中選出一人參賽，根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法共有63＝216(種).[舉一反三]1.某學校的3個班級將要去甲、乙、丙、丁4個工廠參觀學習，要求每個班只能去1個工廠參觀學習，且甲工廠必須有班級參觀學習，則不同的參觀方案有()A．16種 B．25種C．37種 D．48種答案C解析每個班級都可以從這4個工廠中選1個參觀學習，各有4種選擇，根據分步乘法計數原理，共有43＝64(種)參觀方案，若甲工廠沒有班級參觀學習，此時每個班級都可以從其余3個工廠中選1個參觀學習，各有3種選擇，共有33＝27(種)參觀方案，所以甲工廠必須有班級參觀學習，不同的參觀方案有64－27＝37(種)．2.(多選)有4位同學報名參加三個不同的社團，則下列說法正確的是()A．每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有34種B．每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有43種C．每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有24種D．每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有33種答案AC解析對于A，第1個同學有3種報法，第2個同學有3種報法，后面的2個同學也有3種報法，根據分步乘法計數原理知共有34種結果，A正確，B錯誤；對于C，每個社團限報一個人，則第1個社團有4種選擇，第2個社團有3種選擇，第3個社團有2種選擇，根據分步乘法計數原理知共有4×3×2＝24(種)結果，C正確，D錯誤．3．甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數是(用數字作答)．答案336解析甲有7種站法，乙有7種站法，丙有7種站法，故不考慮限制共有7×7×7＝343(種)站法，其中三個人站在同一級臺階上有7種站法，故符合本題要求的不同站法有343－7＝336(種)．4．某次活動中，有30個人排成6行5列，現要從中選出3人進行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數為．(用數字作答)答案7200解析最先選出的1個人有30種方法，則這個人所在的行和列不能再選人，還剩一個5行4列的隊形，可知選第2個人有20種方法，則該人所在的行和列也不能再選人，還剩一個4行3列的隊形，可知選第3個人有12種方法，根據分步乘法計數原理，總的選法種數是30×20×12＝7200.考點3兩個計數原理的綜合應用[名師點睛]1.在綜合應用兩個原理解決問題時應注意：(1)一般是先分類再分步.在分步時可能又用到分類加法計數原理.(2)對于較復雜的兩個原理綜合應用的問題，可恰當地列出示意圖或列出表格，使問題形象化、直觀化.2.解決涂色問題，可按顏色的種數分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.[典例]角度1與數字有關的問題例用0，1，2，3，4，5，6這7個數字可以組成________個無重復數字的四位偶數(用數字作答).答案420解析要完成的“一件事”為“組成無重復數字的四位偶數”，所以千位數字不能為0，個位數字必須是偶數，且組成的四位數中四個數字不重復，因此應先分類，再分步.第1類，當千位數字為奇數，即取1，3，5中的任意一個時，個位數字可取0，2，4，6中的任意一個，百位數字不能取與這兩個數字重復的數字，十位數字不能取與這三個數字重復的數字.根據分步乘法計數原理，有3×4×5×4＝240(種)取法.第2類，當千位數字為偶數，即取2，4，6中的任意一個時，個位數字可以取除首位數字的任意一個偶數數字，百位數字不能取與這兩個數字重復的數字，十位數字不能取與這三個數字重復的數字.根據分步乘法計數原理，有3×3×5×4＝180(種)取法.根據分類加法計數原理，共可以組成240＋180＝420(個)無重復數字的四位偶數.角度2與幾何有關的問題例如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是()A.48 B.18 C.24 D.36答案D解析在正方體中，每一個表面有四條棱與之垂直，六個表面，共構成24個“正交線面對”；而正方體的六個對角面中，每個對角面有兩條面對角線與之垂直，共構成12個“正交線面對”，所以共有36個“正交線面對”.角度3涂色問題例如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數.解法一按所用顏色種數分類.第一類：5種顏色全用，共有Aeq\o\al(5,5)種不同的方法；第二類：只用4種顏色，則必有某兩個頂點同色(A與C，或B與D)，共有2×Aeq\o\al(4,5)種不同的方法；第三類：只用3種顏色，則A與C，B與D必定同色，共有Aeq\o\al(3,5)種不同的方法.由分類加法計數原理，得不同的染色方法種數為Aeq\o\al(5,5)＋2×Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(3,5)＝420(種).法二以S，A，B，C，D順序分步染色.第一步：S點染色，有5種方法；第二步：A點染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步：B點染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步：C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S，A，C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類：當A與C同色時，D點有3種染色方法；當A與C不同色時，因為C與S，B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點有2種染色方法.由分步乘法、分類加法計數原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種).[舉一反三]1.(2022·杭州調研)用0，1，…，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為()A.243 B.252 C.261 D.279答案B解析0，1，2，…，9共能組成9×10×10＝900(個)三位數，其中無重復數字的三位數有9×9×8＝648(個)，故有重復數字的三位數有900－648＝252(個).2.如圖所示，積木拼盤由A，B，C，D，E五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色(如：A與B為相鄰區(qū)域，A與D為不相鄰區(qū)域)，現有五種