弧長(zhǎng)及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積

第頁(yè)第31課時(shí)弧長(zhǎng)及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積(60分)一、選擇題(每題5分，共30分)1．[2014·成都]在圓心角為120°的扇形AOB中，半徑OA＝6cm，則扇形AOB的面積是 (C)A．6πcm2 B．8πcm2C．12πcm2 D．24πcm22．[2015·涼山]將圓心角為90°，面積為4πcm2的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則所圍成的圓錐的底面半徑為 (A)A．1cm B．2cmC．3cm D．4cm【解析】由側(cè)面積公式eq\f(90·π·R2,360)＝4π，得R＝4，故扇形的半徑為4cm，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則2πr＝eq\f(90,180)π·4，解得r＝1cm，故選A.3．如圖31－1，要擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為a＝6mm的正六邊形螺帽，扳手張開(kāi)的開(kāi)口b至少為 (C)A．6eq\r(2)mm B．12mmC．6eq\r(3)mm D．4eq\r(3)mm圖31－14．[2015·成都]如圖31－2，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為4，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM和eq\o(BC,\s\up8(︵))的長(zhǎng)分別為 (D)A．2，eq\f(π,3) B．2eq\r(3)，πC.eq\r(3)，eq\f(2π,3) D．2eq\r(3)，eq\f(4π,3)圖31－2第4題答圖【解析】在正六邊形中，我們連結(jié)OB，OC，則△OBC為等邊三角形，邊長(zhǎng)等于半徑4.因?yàn)镺M為邊心距，所以O(shè)M⊥BC，所以，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形中，邊上的高OM＝2eq\r(3).弧BC所對(duì)的圓心角為60°，所以弧長(zhǎng)為eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\f(60π×4,180)＝eq\f(4π,3).故選D.圖31－35．[2015·新疆]如圖31－3，在矩形ABCD中，CD＝1，∠DBC＝30°.若將BD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑為eq\o(DE,\s\up8(︵))，則圖中陰影部分的面積是 (B)圖31－3A.eq\f(π,3)－eq\r(3) B.eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(π,2)－eq\r(3) D.eq\f(π,2)－eq\f(\r(3),2)【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵CD＝1，∠DBC＝30°，∴BD＝2CD＝2，由勾股定理得BC＝eq\r(3)，∵將BD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，∴BE＝BD＝2，∵S扇形DBE＝eq\f(nπr2,360)＝eq\f(30π×22,360)＝eq\f(π,3)，S△BCD＝eq\f(1,2)·BC·CD＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),2)，圖31－4∴陰影部分的面積＝S扇形DBE－S△BCD＝eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2).圖31－46．[2015·攀枝花]如圖31－4，已知⊙O的一條直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，且AC＝2，AE＝eq\r(3)，CE＝1，則圖中陰影部分的面積為 (D)A.eq\f(2\r(3)π,9) B.eq\f(4\r(3)π,9)C.eq\f(2π,9) D.eq\f(4π,9)【解析】∵AE2＋CE2＝4＝AC2，∴△ACE為直角三角形，且∠AEC＝90°，∴AE⊥CD，∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴∠BOD＝∠COB，∵sinA＝eq\f(CE,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°，∴∠BOD＝∠COB＝60°，∴∠COD＝120°，在Rt△OCE中，∵sin∠COE＝eq\f(CE,OC)，即sin60°＝eq\f(1,OC)，解得OC＝eq\f(2,3)eq\r(3)，∴S陰影＝eq\f(nπr2,360)＝eq\f(120π×\f(4,3),360)＝eq\f(4,9)π.二、填空題(每題5分，共30分)7．[2015·遂寧]在半徑為5cm的⊙O中，45°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為_(kāi)_eq\f(5π,4)__cm.【解析】弧長(zhǎng)公式：l＝eq\f(nπR,180)＝eq\f(45π×5,180)＝eq\f(5π,4).8．[2015·長(zhǎng)沙]圓心角是60°且半徑為2的扇形面積為_(kāi)_eq\f(2,3)π__(結(jié)果保留π)．9．[2015·瀘州]用一個(gè)圓心角為120°，半徑為6的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是__2__．圖31－510．[2015·湖州]如圖31－5，已知C，D是以AB為直徑的半圓周上的兩點(diǎn)，O是圓心，半徑OA＝2，∠COD＝120°，則圖中陰影部分的面積等于__eq\f(2π,3)__．圖31－5【解析】S＝eq\f(nπr2,360)＝eq\f(（180－120）π×22,360)＝eq\f(2π,3).11．[2014重慶]如圖31－6，△OAB中，OA＝OB＝4，∠A＝30°，AB與⊙O相切于點(diǎn)C，則圖中陰影部分的面積是__4eq\r(3)－eq\f(4,3)π__(結(jié)果保留π)．圖31－6第11題答圖【解析】連結(jié)OC，∵AB與圓O相切，∴OC⊥AB，∵OA＝OB，∴∠AOC＝∠BOC，∠A＝∠B＝30°，在Rt△AOC中，∠A＝30°，OA＝4，∴OC＝eq\f(1,2)OA＝2，∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，AC＝eq\r(OA2－OC2)＝2eq\r(3)，∴AB＝2AC＝4eq\r(3)，則S陰影＝S△AOB－S扇形＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2－eq\f(120π×22,360)＝4eq\r(3)－eq\f(4π,3).

圖31－712．[2014·達(dá)州]如圖31－7，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，則圖中陰影部分的面積是__π－2__.圖31－7【解析】∵在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴圖中陰影部分的面積是：S陰影部分面積＝S半圓AB的面積＋S半圓BC的面積－S△ABC的面積＝eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2)×2×2＝π－2.三、解答題(共10分)13．(10分)[2015·臨沂]如圖31－8，點(diǎn)O為Rt△ABC斜邊AB上的一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，連結(jié)AD.(1)求證：AD平分∠BAC；(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求陰影部分的面積(結(jié)果保留π)．圖31－8解：(1)證明：∵BC為切線，∴OD⊥BC，∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠CAD＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD，∴∠CAD＝∠OAD，∴AD平分∠BAC；(2)設(shè)AD與OE的交點(diǎn)為F，∵AO＝OE，∴∠OAE＝∠AEO＝60°，∴∠AOE＝60°，∴△AOE為等邊三角形，∴AF⊥EO，EF＝OF，∵AC∥OD，∴△AEF的面積等于△ODF的面積，∴陰影部分的面積＝扇形DOE的面積＝eq\f(1,6)π×22＝eq\f(2,3)π.(20分)14．(10分)[2014·濱州]如圖31－9，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°.(1)求證：CD是的切線；(2)若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．圖31－9第14題答圖解：(1)證明：連結(jié)OC，∵AC＝CD，∠ACD＝120°.∴∠A＝∠D＝30°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∴∠COD＝2∠A＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD.又∵點(diǎn)C在⊙O上，∴CD是⊙O的切線．(2)∵∠OCD＝90°，OC＝2，∠D＝30°，∴OD＝4，CD＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).∴S△OCD＝eq\f(1,2)OC·CD＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，S扇形COB＝eq\f(60×π×22,360)＝eq\f(2,3)π，∴S陰影＝S△OCD－S扇形COB＝2eq\r(3)－eq\f(2,3)π.15．(10分)[2015·福州]如圖31－10，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝eq\r(5)，tanB＝eq\f(1,2).半徑為2的⊙C，分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，得到eq\o(DE,\s\up8(︵)).(1)求證：AB為⊙C的切線；(2)求圖中陰影部分的面積．圖31－10第15題答圖解：(1)如答圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，在Rt△ABC中，tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(1,2)，∴BC＝2AC＝2eq\r(5)，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(（\r(5)）2＋（2\r(5)）2)＝5，∴CF＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(\r(5)×2\r(5),5)＝2.∴AB為⊙C的切線；(2)S陰影＝S△ABC－S扇形ECD＝eq\f(1,2)AC·BC－eq\f(nπr2,360)＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×2eq\r(5)－eq\f(90π×22,360)＝5－π.(10分)圖31－1116．(10分)[2014·襄陽(yáng)]如圖31－11，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中點(diǎn)，將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)E落在CB的延長(zhǎng)線上點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)A處．再將線段AF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，連結(jié)EF，CG.圖31－11(1)求證：EF∥CG；(2)求點(diǎn)C，點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的eq\o(AC,\s\up8(︵))，eq\o(AG,\s\up8(︵))與線段CG所圍成的陰影部分的面積．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°.∵△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝EC，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∵線段AF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB.∴EC∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴EF∥CG；(2)∵