分?jǐn)?shù)與二次根式

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20232?4004?2023?2023?4008?2023?20231．計(jì)算：。

20232?3005?2023?2023?2023?2023?300520232?4004?2023?(2023?1)?4008?2023?2023解：原式=

20232?3005?2023?2023?2023?(2023?2)?3005=

2023(2023?4004?4008?2023)?40082023?3?40082023==。

2023(2023?3005?2023?3005)?2?30052(3005?2023)2023(74?64)(154?64)(234?64)(314?64)(394?64)2．計(jì)算：4。

(3?64)(114?64)(194?64)(274?64)(354?64)解：∵a4+64=(a2)2+16a2+82-16a2=(a2+8)2-(4a)2=(a2+4a+8)(a2-4a+8)=[(a+2)2+4][(a-2)2+4]。

(92?4)(52?4)(172?4)(132?4)(252?4)(212?4)(332?4)(292?4)(412?4)(372?4)原式=2222222222(5?4)(1?4)(13?4)(9?4)(21?4)(17?4)(29?4)(25?4)(37?4)(33?4)(412?4)1585=2==337。

5(1?4)

3．設(shè)a=109+383-2，證明：a是37的倍數(shù)。證明：a=109+383-2=(103)3-1+383-1

=(103-1)[(103)2+103+1]+(38-1)(382+38+1)=999[(103)2+103+1]+37(382+38+1)=37×27(10002+1000+1)+37(382+39)=37[27×(10002+1001)+(382+39)]∴a是37的倍數(shù)。

4．已知n是正整數(shù)，n4-16n2+100是質(zhì)數(shù)，求n的值。

解：n4-16n2+100=n4+20n2+100-36n2=(n2+10)2-(6n)2=(n2+6n+10)(n2-6n+10)。

∵n是正整數(shù)，∴n2+6n+10≠1；又∵n4-16n2+100是質(zhì)數(shù)，只能被1和本身分解，∴n2-6n+10=1，∴n2-6n+9=0，即：(n-3)2=0，∴n=3。

5．實(shí)數(shù)x、y滿足x2+12xy+52y2-8y+1=0，求：x2-y2的值。

解：原方程可變形為：x2+12xy+36y2+16y2-8y+1=0，∴(x+6y)2+(4y+1)2=0，解得：x=-∴x2-y2=(-

31，y=。24321235)-()=。2416

6．有三種卡片，其中邊長(zhǎng)為a的正方形卡片1張，邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形卡片6張，邊長(zhǎng)為b的正方形卡片9張，用這16張卡片排成一個(gè)正方形，求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。解：這16張卡片的面積為：a2+6ab+9b2=(a+3b)2，即組成一個(gè)新正方形的面積，∴這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：a+3b。

1

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7．若實(shí)數(shù)x、y、z滿足(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，則式子一定成立的是：（）A.x+y+z=0B.x+y-2z=0C.y+z-2x=0D.z+x-2y=0解：∵(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，∴[(x-y)+(y-z)]2-4(x-y)(y-z)=0，

∴(x-y)2+2(x-y)(y-z)+(y-z)2-4(x-y)(y-z)=0，∴(x-y)2-2(x-y)(y-z)+(y-z)2=0，即：[(x-y)-(y-z)]2=0，∴x-y=y-z，即：z+x-2y=0?！郉正確。

8．已知a>b>c，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，比較M與N的大小關(guān)系。解：∵M(jìn)-N=(a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)，=a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2，=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)，=a2(b-c)+bc(b-c)-ab2+ac2，=a2(b-c)+bc(b-c)-a(b+c)(b-c)，=(b-c)(a2+bc-ab-ac)，=(b-c)(a-c)(a-b)，又a>b>c，

∴M-N=(b-c)(a-c)(a-b)>0，即：M>N。

9．A、n都是自然數(shù)，且A=n2+15n+26是一個(gè)完全平方數(shù)，求n的值。

26?a2解：設(shè)A=(n+a)，則A=n+15n+26=(n+a)=n+2an+a,∴15n+26=2an+a,∴n=，

2a-152

2

2

2

2

2

∵n為自然數(shù)，則26-a2>0且2a-15>0，或26-a20且2a-15>0時(shí)，此時(shí)a無(wú)解；當(dāng)26-a2分?jǐn)?shù)與二次根式

abca2b2c222．已知a、b、c滿足++=1，求++的值。

b?cc?aa?bb?cc?aa?b解：∵

abca(a?c)(a?b)?b(b?c)(a?b)?c(b?c)(a?c)++=1，∴=1，b?cc?aa?b(a?b)(b?c)(a?c)∴(a+b)[a(a+c)+b(b+c)]+c(b+c)(a+c)-(a+b)(b+c)(a+c)=0，

∴(a+b)[a2+ac+b2+bc-(b+c)(a+c)]+c(ab+bc+ac+c2)=0，

∴(a+b)(a2+b2-c2-ab)+c(ab+bc+ac+c2)=0，展開整理得：a3+b3+c3+abc=0。

a2b2c2a2(a?c)(a?b)?b2(b?c)(a?b)?c2(b?c)(a?c)∵++=b?cc?aa?b(a?b)(b?c)(a?c)(a?b)[a2(a?c)?b2(b?c)]?c2(b?c)(a?c)=

(a?b)(b?c)(a?c)(a?b)(a3?a2c?b3?b2c)?c2(ab?bc?ac?c2)=

(a?b)(b?c)(a?c)a4?a3c?ab3?ab2c?a3b?a2bc?b4?b3c?abc2?bc3?ac3?c4=

(a?b)(b?c)(a?c)a(a3?b3?c3?abc)?b(a3?b3?c3?abc)?c(a3?b3?c3?abc)=

(a?b)(b?c)(a?c)(a3?b3?c3?abc)(a?b?c)==0。

(a?b)(b?c)(a?c)abca2b2c2反之，若++=0，則有：++=1，以上反推可得到該結(jié)論。

b?cc?aa?bb?cc?aa?b23．已知

y?z?xz?x?yx?y?z===p，求p+p2+p3的值。

x?y?zy?z?xz?x?y解：p=

y?z?x2y?z?xz?x?yz?x?y32z?x?yx?y?zx?y?z；p=×=；p=p·p=×=，

x?y?zx?y?zy?z?xx?y?zx?y?zz?x?yx?y?zy?z?xz?x?yx?y?z++=

x?y?zx?y?zx?y?z∴p+p2+p3=

＝

x?y?z=1。

x?y?z6

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11113abc++=，求++的值。a?bb?cc?a17b?cc?aa?b1111311113解：∵a+b+c=11，++=，∴(a+b+c)(++)=×11，

a?bb?cc?a17a?bb?cc?a17cab143∴1++1++1+=，

a?bb?cc?a17abc92∴++=。b?cc?aa?b1724．已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=11與

a?bb?cc?a(a?b)(b?c)(c?a)==，求的值。caabcba?bb?cc?a解：(1)設(shè)===k，∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，∴2(a+b+c)=(a+b+c)k，

cab25．若abc≠0，

∴(a+b+c)(k-2)=0。

（1）若a+b+c=0，有：a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b。∴

(a?b)(b?c)(c?a)(-c)?(?a)?(-b)==-1。

abcabc(a?b)(b?c)(c?a)2c?2a?2b8abc===8。

abcabcabc（2）若a+b+c≠0，有：k-2=0，∴k=2?！郺+b=2c，b+c=2a，c+a=2b，∴

ab1bc1ac1abc=，=，=，求的值。a?b15b?c17a?c16ab?bc?caab1a?b111111解：∵=，∴=15，∴+=15；同理：+=17；+=16。

a?b15ababbcac111ab?bc?ca111解得：=7，=8，=9?！撸?+=7+8+9=24，

abcabcabcabc1∴=。ab?bc?ca2426．已知

27．整數(shù)x、y滿足方程2xy+x+y=83，求x+y的值。

解：∵2xy+x+y=83，∴4xy+2x+2y=166，∴4xy+2x+2y+1=167，即：(2x+1)(2y+1)=167，∵167是質(zhì)數(shù)，有：??2x?1?1?2x?1?-1?2x?1?167?2x?1?-167，或?，或?，或?，

?2y?1?167?2y?1?-167?2y?1?1?2y?1?-1?x?0?x?-1?x?83?x?-84解得：?，或?，或?，或?。

y?83y?-84y?0y?-1????∴x+y=83，或者x+y=-85。

28．求證：817-279-913能被45整除。證明：817-279-913=914-99×39-913=328-327-326=326(32-3-1)=326×5=324×32×5=45×324?！?17-279-913能被45整除。

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29．證明：當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，2(2n+1)形式的數(shù)不能表示為兩個(gè)整數(shù)的平方差。證明：由題意知：2(2n+1)能被2整除，但不能被4整除。假設(shè)2(2n+1)的形式的數(shù)能表示為兩個(gè)整數(shù)的平方差，設(shè)兩個(gè)整數(shù)分別為：p，q，則有：2(2n+1)=p2-q2；設(shè)k=p-q（p、q、k都是整數(shù)）；即：p=q+k，兩個(gè)整數(shù)的平方差必可表示為：(q+k)2-q2=2qk+k2=k(2q+k)；當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，2p+k也是偶數(shù)，∴2p+k能被4整除，與2(2n+1)不能被4整除矛盾；當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，2p+k也是奇數(shù)，∴2p+k不能被2整除，與2(2n+1)能被2整除矛盾。∴2(2n+1)的形式的數(shù)不能表示為兩個(gè)整數(shù)的平方差。

30．若m=20232+20232×20232+20232，求證：m是一個(gè)完全平方數(shù)且是一個(gè)奇數(shù)。證明：∵a4+2a3+3a2+2a+1=(a2+a+1)2；∴m=20232+20232×20232+20232=20232+20232(2023+1)2+(2023+1)2=20234+2×20233+3×20232+2×2023+1=(20232+2023+1)2。

∵20232的個(gè)位數(shù)為6，∴20232+2023+1的個(gè)位數(shù)為3，∴(20232+2023+1)2的個(gè)位數(shù)為9，∴(20232+2023+1)2是奇數(shù)。

∴m是一個(gè)完全平方數(shù)且是一個(gè)奇數(shù)。

31．設(shè)n為某一正整數(shù)，代入代數(shù)式n5-n計(jì)算其值時(shí)，四個(gè)學(xué)生算出了以下四個(gè)結(jié)果，其中僅有一個(gè)是正確的，則這個(gè)正確的結(jié)果是（）。A.7770B.7775C.7776D.7779

解：n5-n=n(n+1)(n-1)(n2+1)；∵n-1，n，n+1是連續(xù)三個(gè)整數(shù)，∴n-1，n，n+1必有一個(gè)偶數(shù)，且有一個(gè)是3的倍數(shù)，∴n(n+1)(n-1)是2×3=6的倍數(shù)。

又∵n5個(gè)位與n一致，∴n5-n的個(gè)位是0，∴選A。（7770=5×6×7×(62+1)）

32．黑板上寫有1，

11，?，共100個(gè)數(shù)字，每次操作先從黑板上的數(shù)中選取兩個(gè)數(shù)a、b，然2100后刪去a，b，并在黑板上寫上數(shù)a+b+ab，則經(jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)是多少？

11+1×=2；22112++2×=3；33113++3×=4；44解：1+...99+

11+99×=100；100100這是依照順序的方式選取，刪除，添加。

假使是隨便選擇，我們需要證明一件事情，就是選擇跟順序無(wú)關(guān)。

先證明只有三個(gè)數(shù)的狀況：a、b、c。如：先選擇a、b，有：a+b+ab；再選擇c，有：(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ac+bc+abc，顯然可以看出其對(duì)稱性。

因此，選擇與順序無(wú)關(guān)。不管是先選擇a、b，還是a、c，還是b、c，結(jié)果都一樣。同理，有n個(gè)數(shù)里，任意選擇兩個(gè)數(shù)，結(jié)果也是一樣的?！嘟?jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)是100。

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33．已知a2(b+c)=b2(a+c)=2023，且a≠b，求c2(a+b)的值。

解：∵a2(b+c)=b2(a+c)，∴a2b+a2c=b2a+b2c，∴a2b+a2c-ab2-cb2=ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=(ab+ac+bc)(a-b)=0，∵a≠b，∴a-b≠0，∴ab+ac+bc=0，∴2ab+2ac+2bc=0，∴a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=0；

2023202320232023，b(a+c)=，∴++c(a+b)=0，abab2023(a?b)?abc(a?b)(a?b)(2023?abc)∴=0，即：=0；

abab∵a2(b+c)=b2(a+c)=2023，∴a(b+c)=

∵a≠b，∴a+b≠0，ab≠0，∴2023+abc=0，即：abc=-2023。

又∵ab+ac+bc=0，∴ab=-c(a+b)，代入abc=-2023，得：-c2(a+b)=-2023，∴c2(a+b)=2023。

34．已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0，abc=4，試判斷

111++的正負(fù)。abc解：∵a+b+c=0，∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0；∵abc=4，∴a、b、c均不為0，∴ab+ac+bc0，n>0，且m≠n）。A購(gòu)買大米平均單價(jià)：

25m?25nm?n25?252mn=；B購(gòu)買大米平均單價(jià)：=；

2525m?n25?252?mnm?n2mnm2?2mn?n2-4mnm2-2mn?n2(m-n)2∵-===>0，

2m?n2(m?n)2(m?n)2(m?n)∴A購(gòu)買大米的平均單價(jià)>B購(gòu)買大米的平均單價(jià)，∴B的購(gòu)買方式劃算。

xxx++=2023的解。

1?a?ab1?b?bc1?c?ca1111aab解：∵++=++

1?a?ab1?b?bc1?c?ca1?a?aba?ab?abcab?abc?a2bc1aab1?a?ab=++==1，1?a?ab1?a?ab1?a?ab1?a?abxxx111∵++=2023，∴x(++)=2023，1?a?ab1?b?bc1?c?ca1?a?ab1?b?bc1?c?ca36．已知abc=1，求關(guān)于x的方程∴x=2023。

111，b=，c=，試比較a與d的大小關(guān)系。1?b1?c1?d11111111解：由題意得：1-d=，∴d=1-；1-c=，∴c=1-；1-b=，∴b=1-。將b=1-代入c=1-，

ccbbaaab11得：c=，再代入d=1-，得：d=1-(1?a)=a。∴a=d。

1?ac37．若a=

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38．已知

xzxyyz=1，=2，=3，求x的值。

x?zy?zx?y解：∵

1115xyx?y111111=1，∴=1，即：+=1；同理，+=；+=；綜合解得：=，

xyx12x?yxyyz2xz3∴x=

12。5111++的值。

b2?c2-a2c2?a2-b2a2?b2-c239．設(shè)有理數(shù)a、b、c都不為0，且a+b+c=0，求

解：∵a+b+c=0，∴a+b=-c，(a+b)2=c2，a2+b2-c2=2ab；同理有：a2+c2-b2=2ac，c2+b2-a2=2bc；∴

40．當(dāng)a=1.67，b=1.71，c=0.46時(shí)，求

111111a?b?c++=++==0。2222222222bc2ac2ab2abcb?c-ac?a-ba?b-c121++的值。

a2-ac-ab?bcb2-ab-bc?acc2-ac-bc?ab解：原式=

121++

a(a-c)-b(a-c)b(b-a)-c(b-a)c(c-a)-b(c-a)=

121(b-c)-2(a-c)?(a-b)++=

(a-b)(b-c)(a-c)(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-b)(c-a)-(a-c)1=-

(a-b)(b-c)(a-c)(a-b)(b-c)111=-==20。

(1.67-1.71)(1.71-0.46)-0.04?1.250.05=

當(dāng)a=1.67，b=1.71，c=0.46時(shí)，原式=-

41．甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)沿同一條路線去B地，若甲用一半的時(shí)間以a千米/時(shí)的速度行走，另一半時(shí)間以b千米/時(shí)的速度行走；而乙用a千米/時(shí)的速度走了一半的路程，另一半路程以b千米/時(shí)的速度行走（a、b均大于0，且a≠b），求甲、乙誰(shuí)先到達(dá)B地。

解：設(shè)從A地到B地的路程為S，甲走完全程所用時(shí)間為t甲，乙走完全程所用時(shí)間為t乙

1S112S有：a×t甲+b×t甲=S，解得：t甲=；而t乙=2+

22a?ba

1S2=S(a?b)；

2abb2SS(a?b)2abS-S(a?b)2S(a2?b2)t甲-t乙=-==-分?jǐn)?shù)與二次根式

x111，求f()+f()+?+f()+f(1)+f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2023)+f(2023)的值。

2023202321?x11x1x1?x解：∵f()+f(x)=x+=+==1，f(0)=0，

11?x1?x1?x1?xx1?x111∴原式=f()+f(2023)+f()+f(2023)+?+f()++f(2)+f(1)+f(1)+f(0)=1+1+?+1+1+0=2023。

20232023242．已知f(x)=

2023個(gè)1

43．太平盛世，吉利如意，“神舟五號(hào)〞，豪氣沖天。若n2+995能被n+5整除（n為正整數(shù)），則稱n為995的吉利數(shù)。據(jù)說，中國(guó)載人飛船首飛日期恰好與995的吉利數(shù)有關(guān)，試求n的最大值。

1020n2?995(n2-25)?1020(n?5)(n-5)?1020解：===n-5+，

n?5n?5n?5n?5∵n是整數(shù)，且1020能被n+5整除，∴n的最大數(shù)為：n+5=1020，得：n=1015。

∴故n的最大值為1015。

44．用水清洗蔬菜上殘留的農(nóng)藥。設(shè)用x（x≥1）單位量的水清洗一次后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為

1?，F(xiàn)有a（a≥2）單位的水，可以一次清洗也可以把水平均分成1?x兩份后清洗兩次，試問用哪種方法清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量較少？說明理由。

解：設(shè)清洗前蔬菜上殘留的農(nóng)藥量為1，分別用a的代數(shù)式表示蔬菜上殘留的農(nóng)藥量。用a單位量的水清洗一次，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量為：P=

1；1?a把a(bǔ)單位量的水平均分成兩份后清洗兩次，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量為：Q=

11?a2·

11?a2=

4；

(2?a)214(2?a)2-4(1?a)a2P-Q=-==>0，∴P>Q，

1?a(2?a)2(1?a)(2?a)2(1?a)(2?a)2∴把a(bǔ)單位量的水平均分成兩份后清洗兩次，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量較少。

45．已知a、b、c為非0實(shí)數(shù)，且a+b+c≠0，若的值。

a?b-ca-b?c-a-b?c(a?b)(b?c)(c?a)==，求cbabaca?b-ca-b?c-a-b?c==，cbaa?b-ca-b?c-a-b?ca?b-c?a-b?c-a?b?ca?b?c∴=====1，

cbaa?b?ca?b?c解：∵

∴2c=a+b，2b=a+c，2a=b+c，∴

(a?b)(b?c)(c?a)2c?2a?2b8abc===8

abcabcabc11

分?jǐn)?shù)與二次根式

46．任何一個(gè)單位分?jǐn)?shù)

1111都可以寫成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和：=+（n，p，q都是正整數(shù)），顯然，nnpq111=+。nn?an?b這里的p，q都大于n。假使設(shè)p=n+a，q=n+b，那么有：

（1）摸索上式中的正整數(shù)a，b與正整數(shù)n之間存在什么樣的關(guān)系（寫出推理過程）；（2）寫出

1等于兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和的所有可能狀況。6解：(1)∵

1111(n?a)?(n?b)=+，即：=，∴(n+a)(n+b)=n(n+a)+n(n+b)，nn?an?bn(n?a)(n?b)即：n2+nb+na+ab=n2+na+n2+nb，∴n2=ab；

(2)∵n2=ab，且n=6，∴ab=36。當(dāng)a=1，2，3，4，6，對(duì)應(yīng)的b=36，18，12，9，6；則n+a=7，8，9，10，12，對(duì)應(yīng)的n+b=42，24，18，15，12；∴

111111111111111=+，=+，=+，=+，=+。6742682469186101561212x4?2x?147．已知x-x-1=0，求的值。5x2

解：∵x2-x-1=0，∴x2=x+1；

x4?2x?1(x2)2?2x?1(x?1)2?2x?1x2?4x?2(x?1)?4x?2∴====322x5x?2x?xx?x2?x2x(x?1)(x?1)x?x?2(x?1)?x=

5x?35x?35x?35x?3=2===1。

x(x?1)?3x?2x?4x?2(x?1)?4x?25x?311110abc++=，求++的值。a?bb?cc?a9b?cc?aa?b1111011110解：∵a+b+c=9，++=，∴(a+b+c)(++)=9×=10，

a?bb?cc?a9a?bb?cc?a9cababc∴1++1++1+=10，∴++=7。

a?bb?cb?cc?aa?bc?a48．假使a、b、c是正數(shù)，滿足a+b+c=9，

932a4-3xa2?2-49．已知a-a-1=0，且3=，求x的值。2112a?2xa-a2

解：∵a2-a-1=0，∴a2=a+1，

∴a4=(a2)2=(a+1)2=a2+2a+1=a+1+2a+1=3a+2；a3=a·a2=a(a+1)=a2+a=a+1+a=2a+1，

932a4-3xa2?22(3a?2)-3a2x?2-∴3==，∴672a+672-336xa2=-93a-93-186xa2，22112a?2xa-a2a?1?2ax-a∴150xa2=765a+765=765(a+1)，即：150xa2=765a2，∴150x=765，解得：x=5.1。

12

分?jǐn)?shù)與二次根式

50．已知實(shí)數(shù)a、b、c、d互不相等，且a+

111=b+=c+=x，求x的值。bca解：∵a+

1111=x，∴b=；∵b+=x，∴c==bx-acx-b1x-1x-a，即：c=

x-a1，代入c+=x，

ax2-ax-1有：

x-a13222

+=x，整理得：ax-(a+1)x-ax+a+1=0，2x-ax-1a1，此時(shí)a=b，與a、b、c、d互不相等矛盾，故ax-a2-1≠0，a∴x2(ax-a2-1)-(ax-a2-1)=0，即：(ax-a2-1)(x2-1)=0；當(dāng)ax-a2-1=0，解得：x=a+∴x2-1=0，解得：x=±1。

51．已知a、b、c互不相等，試證明：222b-ca-ca-b++=++。

(a-b)(a-c)(a-b)(b-c)(a-c)(b-c)a-bb-cc-ab-ca-ca-b(b-c)2?(a-c)2?(a-b)2證明：++=

(a-b)(a-c)(a-b)(b-c)(a-c)(b-c)(a-b)(b-c)(a-c)2a2?2b2?2c2-2ab-2bc-2ac=

(a-b)(b-c)(a-c)(2ab-2bc-2ac?2c2)?(2a2-2ac-2ab?2bc)-(2ab-2ac-2b2?2bc)=

(a-b)(b-c)(a-c)=

2222222(b-c)(a-c)?2(a-b)(a-c)-2(a-b)(b-c)=+-=++。a-ba-bb-ca-cb-cc-a(a-b)(b-c)(a-c)115b2a252．若+=，求2+2的值。

aba?bab115a?b5a2?b2?2aba2?b2a2?b2解：∵+=，∴=，即：=5，即：+2=5，∴=3；

aba?baba?babababb2a2a4?b4(a2?b2)2-2a2b2a2?b222

()+===-2=3-2=7。222222abababab

53．已知實(shí)數(shù)4x2-4x+1=0，求代數(shù)式2x+

1的值。2x11=0，∴2x+=2。2x2x解：∵4x2-4x+1=0，若x=0，有：1=0，顯然不成立，∴x≠0?！選≠0，∴在4x2-4x+1=0中，方程兩邊同除以2x，得：2x-2+

13

分?jǐn)?shù)與二次根式

abcda-b?c-d===，求的值。bcdaa?b-c?dabcd解：由題意知：a、b、c、d均不為0。設(shè)====k，則有：a=bk，b=ck，c=dk，d=ak，

bcda54．若

∴a=ak4，∴k4=1，解得：k=±1。

a-b?c-da-a?a-a0===0；

a?b-c?da?a-a?a2aa-b?c-da?a?a?a4a(2)當(dāng)k=-1時(shí)，有：a=-b=c=-d，∴===-2。

a?b-c?da-a-a-a-2a(1)當(dāng)k=1時(shí)，有：a=b=c=d，∴

55．（1）已知a、b、c是三個(gè)不同的數(shù)，試證明：

111++=0；

(a-b)(b-c)(b-c)(c-a)(c-a)(a-b)（2）已知a、b、c是三個(gè)不同的數(shù)，試證明：(

1112111++)=++；a-bb-cc-a(a-b)2(b-c)2(c-a)2（3）已知a、b、c是三個(gè)不同的有理數(shù)，試證明：

111是有理數(shù)。??(a-b)2(b-c)2(c-a)2證明：(1)

111(a-c)-(a-b)-(b-c)++==0；

(a-b)(b-c)(b-c)(c-a)(c-a)(a-b)(a-b)(b-c)(a-c)(2)設(shè)A=a-b，B=b-c，C=c-a，有：A+B+C=a-b+b-c+c-a=0；則：

1111112222111++=++=(++)-(++)222222ABCABBCACBC(a-b)(b-c)(c-a)A=(

11122(A?B?C)11121112

++)-=(++)=(++)；

ABCABCABCa-bb-cc-a1112111++)=++。222a-bb-cc-a(a-b)(b-c)(c-a)1112111++=(++)，222a-bb-cc-a(a-b)(b-c)(c-a)∴(

(3)∵

∴

1111112111==++，是一個(gè)有理數(shù)。(??)??222a-bb-cc-aa-bb-cc-a(a-b)(b-c)(c-a)1x256．若x+=3，求4的值。

xx?x2?11112111x22

解：∵x+=3，∴(x+)=9，即：x+2=7；4===。21xx7?18xx?x?1x2??1x2

14

分?jǐn)?shù)與二次根式

a4?ma2?157．已知a+4a+1=0，且3=5，求m的值。

3a?ma2?3a2

a4?ma2?1(a2)2?ma2?1解：∵a+4a+1=0，∴a=-4a-1；∴3=2223a?ma?3a3a?a?ma?3a2

2

(-4a-1)2?m(-4a-1)?1(16?m)a2?8a?2(16?m)(-4a-1)?8a?2====5，2(m-12)(-4a-1)3a?(-4a-1)?m(-4a-1)?3a(m-12)a∴(16+m)(-4a-1)+8a+2=5(m-12)(-4a-1)，∴(16+m)(-4a-1)-5(m-12)(-4a-1)=-8a-2，

∴-(4a+1)[(16+m)-5(m-12)]=-2(4a+1)；若4a+1=0，得：a=-

58．若關(guān)于x的方程

1137，代入a2+4a+1=0，有：(-)2=0，∴4a+1≠0，∴(16+m)-5(m-12)=2，得：m=。442x?1xax?2-=無(wú)解，求a的值。

x?2x-1(x-1)(x?2)解：原方程可化為：

(x?1)(x-1)-x(x?2)ax?2=，整理得：(a+2)x=-3；

(x-1)(x?2)(x-1)(x?2)∵原方程無(wú)解，可能有：a+2=0，或x-1=0，或x+2=0；

(1)若a+2=0，解得：a=-2；(2)若x-1=0，得：x=1，代入(a+2)x=-3，解得：a=-5；(3)若x+2=0，得：x=-2，代入(a+2)x=-3，解得：a=-∴a的值為-2，-5或-1。21。2

59．某商場(chǎng)有一部自動(dòng)扶梯勻速由下而上運(yùn)動(dòng)，小紅和王兵二人都急于上樓辦事，因此在乘扶梯的同時(shí)，步行勻速登梯。小紅登了55級(jí)后到達(dá)樓上，王兵登梯速度是小紅的2倍，王兵登了60級(jí)后到達(dá)樓上。問由樓下到樓上自動(dòng)扶梯共有多少級(jí)？解：（方法一）設(shè)從樓下到樓上扶梯共有S級(jí)，小紅登55級(jí)的同時(shí)扶梯走(S-55)級(jí)，王兵登60級(jí)的同時(shí)扶梯走(S-60)級(jí)，有：

5560×2=，解得：S=66（級(jí)）。S-55S-60（方法二）設(shè)小紅單位時(shí)間登x級(jí)，則王兵單位時(shí)間登2x級(jí)，扶梯單位時(shí)間行駛y級(jí)，所以小紅從

55605560y1，王兵從樓下到樓上的時(shí)間為，有：55+y×=60+y×，解得：=；

2x2xx5xx551∴扶梯從樓下到樓上共有：55+y×=55+55×=66（級(jí)）。

5x樓下到樓上的時(shí)間為

（方法三）設(shè)扶梯上移一級(jí)需t單位時(shí)間，小紅登一級(jí)扶梯需2x單位時(shí)間，則王兵登一級(jí)扶梯需x

1111)=60×y(+)，解得：t=10x；

t2xtx11∴自動(dòng)扶梯上移級(jí)數(shù)是王兵登的級(jí)數(shù)的，∴從樓下到樓上自動(dòng)扶梯共有：60+60×=66（級(jí)）。

1010單位時(shí)間，有：55×2y(+

15

分?jǐn)?shù)與二次根式

2x?a=-1的解是正數(shù)，求a的取值范圍。x-22-a2-a2x?a解：原方程可整理為：2x+a=2-x，即：x=，依題意有：>0，且≠2，

33x-260．若關(guān)于x的分式方程

∴2-a>0，且，2x+a≠2(x-2)，解得：a1，∴x-

1x分?jǐn)?shù)與二次根式

82．已知a、b為有理數(shù)，且滿足等式a+b3=6·1?4?23，求a+b的值。

2解：∵6·1?4?23=6·1?3?23?1=6·1?(3?1)=6·1?3?1

=6·2?3=12?63=9?63?3=(3?3)2=3+3，

∴a+b3=3+3，∴a=3，b=1；∴a+b=3+1=4。

83．若x-

1x1x=-2，求x2-

1的值。2x解：∵x-=-2，∴x-

1x

26?213?2=c，∴ab；

21

分?jǐn)?shù)與二次根式

x2?4xy-16y285．已知2x-3xy-2y=0，（x>0），求的值。222x?xy-9y解：∵x>0，則在xy中，有：y≥0?！?x-3xy-2y=0，即：(2x+y)(x-2y)=0；∵2x+

y>0，∴x-2y=0，∴x=2y，∴x=4y。

x2?4xy-16y2(4y)2?4?4y?y-16y216y216∴===。22222272(4y)?4y?y-9y27y2x?xy-9y

86．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)〞，即已知三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c，

122a2?b2-c22求它的面積S。用現(xiàn)代式子表示即為：S=[ab-()]?①。而另一個(gè)文明古國(guó)古希

42臘也有求三角形面積的“海倫公式〞：S=p(p-a)(p-b)(p-c)?②（其中p=

a?b?c）。2（1）若已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為5、7、8，試分別運(yùn)用公式①和公式②，計(jì)算該三角形的面積S；（2）能否由公式①推導(dǎo)出公式②？請(qǐng)?jiān)囋?。解：?）令a=5，b=7，c=8。

112252?72-822代入公式①：S=[1225-52]=300=103。[57-()]=

442則：p=

a?b?c5?7?8==10，22代入公式②：S=10(10-5)(10-7)(10-8)=10?5?3?2=300=103。

122a2?b2-c2214a2b2(a2?b2)2-2(a2?b2)?c2?(c2)2（2）[ab-()]=(-)

444241122(2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4)=[(ac+2abc2+b2c2-c4)-(a4-2a2b2+b4)+(a2c2-2abc2+b2c2)]161612212=[c(a+2ab+b2)-c4-(a2-b2)2+c2(a2-2ab+b2)]={c(a+b)2-c4-[(a+b)(a-b)]2+c2(a-b)2}161612121=[c(a+b)2-c4-(a+b)2(a-b)2+c2(a-b)2]=[c-(a-b)2][(a+b)2-c2]=(c+a-b)(c-a+b)(a+b+c)(a+b-c)；161616a?b?c∵p=，∴a+b+c=2p，∴c+a-b=2p-2b，c-a+b=2p-2a，a+b-c=2p-2c；

2=

122a2?b2-c2211∴[ab-()]=(2p-2b)(2p-2a)(2p)(2p-2c)=×16p(p-a)(p-b)(p-c)=p(p-a)(p-b)(p-c)；416162a?b?c122a2?b2-c22∴（其中p=）。[ab-()]=p(p-a)(p-b)(p-c)，

24222

分?jǐn)?shù)與二次根式

287．已