多面體測模擬試題

多面體一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．一個(gè)棱柱為正四棱柱的條件是 （） A．底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面 B．底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形 C．底面是菱形，且有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直 D．每個(gè)底面是全等的矩形2．下列命題中正確的一個(gè)是 （） A．四棱柱是平行六面體 B．直平行六面體是長方體 C．底面是矩形的四棱柱是長方體 D．六個(gè)面都是矩形的六面體是長方體3．在底面邊長與側(cè)棱長均為a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知M為A1B1到BC的距離是 （）A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn)4．若四棱錐的四個(gè)側(cè)面與底面所成的角都相等，則其底面四邊形必是 （）A．矩形 B．菱形 C．圓外切四邊形 D．圓內(nèi)接四邊形5．三棱柱的底是邊長為4的正三角形,側(cè)棱長為8，一條側(cè)棱和底面的兩邊成45°角，則這三棱柱的側(cè)面面積為 （）A．32 B．4（+1） C．16（+1） D．32（+1）6．如圖代表未折疊正方體的展開圖，將其折疊起來，變成正方體后，圖形是 （）ABCD7．正三棱錐S－ABC的高SO＝h，斜高SM＝l,點(diǎn)P在SO上且分SO所成的比是1：2，則過P點(diǎn)且平行于底面的截面面積是（） A．(l2－h(huán)2) B．(l2－h(huán)2) C．(l2－h(huán)2) D．(l2－h(huán)2)8．將一個(gè)邊長為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則表面積增加了 （） A． B．12a2 C．18a9．兩個(gè)平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積的比是 （）A．1∶2∶3 B．1∶7∶19 C．3∶4∶5 D．1∶9∶2710．設(shè)正多面體的每個(gè)面都是正n邊形，以每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱有m條，棱數(shù)是E，面數(shù)是F，則它們之間的關(guān)系不正確的是 （） A．nF=2E B．mV=2E C．V+F=E+2 D．mF=2E二、填空題：本大題滿分24分，每小題6分，各題只要求直接寫出結(jié)果．11．長方體高為ｈ，底面積為Ｑ，垂直于底面的對角面面積為Ｍ，則長方體的全面積為．12．直三棱柱ABC－A1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1與CC1上的點(diǎn)，且AP=C1Q，則四棱錐B－APQC的體積=13．已知正四棱錐S－ABCD的側(cè)面與底面所成的角為60°，過邊BC的截面垂直于平面ASD，交平面ASD于EF，則二面角S－BC－E的平面角為．14．矩形ABCD的邊長分別為a，b(a<2b)，E是DC的中點(diǎn)，把矩形沿AE、BE折成一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面(C、D重合)，則最大的側(cè)面與底面所成的二面角的正弦值是．三、解答題：本大題滿分76分．15．（12分）在棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩成60°角，PA=a，PB=b，PC=c，求三 棱錐P—ABC的體積.16．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，ABC＝60，PC⊥平面ABCD，PC＝1，E為PA的中點(diǎn)．（1）求證：平面EDB⊥平面ABCD；（2）求二面角A－EB－D的正切值；（3）求點(diǎn)E到平面PBC的距離．17．（12分）正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分別是側(cè)棱BB1、CC1上的點(diǎn)，且EC=BC=2BD，過A、D、E作一截面，求：（1）截面與底面所成的角；（2）截面將三棱柱分成兩部分的體積之比.18．（12分）C70分子是與C60分子類似的球狀多面體結(jié)構(gòu)，它有70個(gè)頂點(diǎn)，以每個(gè)頂點(diǎn)為一端都有3條棱，各面都是五邊形或六邊形。求C70分子中五邊形和六邊形的個(gè)數(shù)．19．（14分）斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，頂點(diǎn)A1在底面的射影O是△ABC的中心，異面直線AB與CC1所成的角為45°.（1）求證：AA1⊥平面A1BC；（2）求二面角A1－BC—A的平面角的正弦值；（3）求這個(gè)斜三棱柱的體積.20．（14分）如圖，四棱錐的底面是直角梯形，已知垂直底面，且，．（1）求證：平面平面；（2）若為側(cè)棱上的一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，平面，證明你的結(jié)論；（3）若，求二面角的大?。畢⒖即鸢敢弧⑦x擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）題號12345678910答案CDACDBABBD二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）11．12．13．30°14．三、解答題（本大題共6題，共76分）15．(12分)解：如圖，設(shè)頂點(diǎn)A在平面PBC上的射影為O，連結(jié)PO，由題知PA、PB、PC兩兩成60°角，∴PO是∠BPC的平分線，在平面PBC上，過O作OE⊥PB，連結(jié)AE，則AE⊥PB16．(12分)(1)證明：連結(jié)AC交BD于O，連EO ∵O是AC中點(diǎn)，E是PA中點(diǎn) ∴EO∥PC ∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AO，PC⊥BO ∴EO⊥AO，EO⊥BO ∴EO⊥平面ABCD ∵EO平面EDB ∴平面EDB⊥平面ABCD．(2) 解：∵平面EDB⊥平面ABCD，交線為BD，又AO⊥BD ∴AO⊥平面EDB 過O作OM⊥BE于M，連AM，則AM⊥BE∴AMO為二面角A－BE－D的平面角在Rt△EOB中，OB＝EQ\F(\R(3),2)，EO＝EQ\F(1,2)PC＝EQ\F(1,2) ∴EB＝1 ∵EQ\F(1,2)BE×OM＝EQ\F(1,2)OE×OB ∴OM＝EQ\F(OE×OB,BE)＝EQ\F(\R(3),4)∵在Rt△AOM中，OA＝EQ\F(1,2) ∴tanAMO＝EQ\F(\F(1,2),\F(\R(3),4))＝EQ\F(2\R(3),3)．(3) 解：∵EO∥PC，PC平面PBC，∴EO∥平面PBC ∴E到平面PBC的距離就是O到平面PBC的距離

∵平面PBC⊥平面ABCD交線為BC，過O作OF⊥BC于F ∴OF⊥平面PBC，OF即為所求 ∵菱形ABCD中，ABC＝60 ∴OF＝OB·sinOBF＝EQ\F(\R(3),2)×EQ\F(1,2)＝EQ\F(\R(3),4) 即點(diǎn)E到平面PBC的距離為EQ\F(\R(3),4)．17．(12分)解（1）延長ED交CB延長線于F，為截面與底面所成二面角的平面角.在Rt△AEC中，EC=AC，故得∠EAC=45°.（2）設(shè)AB=a，則，.18．(12分)解：設(shè)有x個(gè)五邊形和有y個(gè)六邊形，則F=x+y,V=70,E=ABCA1ABCA1B1C1OD19．（14分）由已知可得A1-ABC為正三棱錐，∠A1AB=45° ∴∠AA1B=∠AA1C=90°即AA1⊥A1B,AA1⊥A ∴AA1⊥平面A1BC（1）連AO并延長交BC于D,則AD⊥BC，連A1D,則∠ADA1為所求的角.由已知可得AD＝Absin60°＝eq\r(3),AA1=Absin45°=eq\r(2),∴sin∠ADA1=eq\f(AA1,AD)=\f(\r(6),3)（2）在Rt△AA1D中，A1D=eq\r(AD2-AA12)=1∴A1O=eq\f(AA1·A1D,AD)=\f(\r(6),3) ∴V柱＝S△ABC·A1O=eq\f(1,2)·4·sin60°·eq\f(\r(6),3)=\r(2).20．(14分)證明：（１）平面ABCD，.又， 故平面SCD，平面SBC，故平面SBC平面SCD.（2）時(shí)，AE法一：取SB的中點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)F，連結(jié)AF，則AF 故EF 而AE平面AEF，AEGE 于是四邊形AEGD為平行四邊形。故AE（3）作COBD于O，又SD平面BCD，故SDCO， 從而CO平面SBD，作