最優(yōu)控制理論與應(yīng)用第一章

最優(yōu)控制理論與應(yīng)用第一章第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五第一章緒論一、最優(yōu)控制簡介二、最優(yōu)控制發(fā)展過程三、最優(yōu)控制應(yīng)用舉例四、小結(jié)五、本科程主要內(nèi)容返回主目錄第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五一、最優(yōu)控制簡介

在生產(chǎn)過程、軍事行動、經(jīng)濟(jì)活動以及人類的其它有目的的活動中，常需要對被控系統(tǒng)或被控過程施加某種控制作用以使某個性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)，這種控制作用稱為最優(yōu)控制。第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五二、最優(yōu)控制發(fā)展過程

以后，拉塞爾（LaSalle）發(fā)展了時間最優(yōu)控制的理論，即所謂Bang—Bang控制理論。

1953至1957年間美國學(xué)者貝爾曼（Bellman）創(chuàng)立了“動態(tài)規(guī)劃”理論，發(fā)展了變分學(xué)中的哈密頓—雅可比（Hamilton—Jacobi）理論。上世紀(jì)五十年代初期布紹（Bushaw）研究了伺服系統(tǒng)的時間最優(yōu)控制問題。第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五

1956至1958年間蘇聯(lián)學(xué)者龐特里雅金等創(chuàng)立了“極大值原理”。這兩種方法成為了目前最優(yōu)控制理論的兩個柱石。時至今日，最優(yōu)控制理論的研究無論在深度上和廣度上都有了很大的發(fā)展，例如發(fā)展了對分布參數(shù)系統(tǒng)、隨機(jī)系統(tǒng)、大系統(tǒng)的最優(yōu)控制理論的研究等等。第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五三、最優(yōu)控制應(yīng)用舉例例1-1火車快速運(yùn)行問題。設(shè)有一列火車從甲地出發(fā)，要求算出容許的控制使其到達(dá)乙地的時間最短?；疖嚨倪\(yùn)動方程（1-1）

（1-2）式中，是火車的質(zhì)量，是火車的加速度，為使旅客舒適，其值有限制。是產(chǎn)生加速度的控制作用（即推力），其值也應(yīng)有限制，設(shè)第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五選擇使為最小。初始條件（1-3）終端條件（1-4）性能指標(biāo)（1-5）第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五月球軟著陸問題。為了使宇宙飛船在月球表面上實(shí)現(xiàn)軟著陸（即著陸時速度要為零），要尋求著陸過程中發(fā)動機(jī)推力的最優(yōu)控制規(guī)律，使得燃料的消耗最少。設(shè)飛船的質(zhì)量為，離月球表面的高度為，飛船的垂直速度為，發(fā)動機(jī)推力為，月球表面的重力加速度為，設(shè)不帶燃料的飛船質(zhì)量為，初始燃料的質(zhì)量為

，則飛船的運(yùn)動方程可表示為（參見圖1-1）例1-2第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五

圖1-1月球軟著陸最優(yōu)控制問題（1-6）式中

為比例系數(shù)，表示了推力與燃料消耗率的關(guān)系。第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五

控制目的是使燃料消耗量最小，即飛船在著陸時的質(zhì)量保持最大，即為最大。（1-10）

容許控制（1-9）

終端條件

（1-8）初始條件

（1-7）第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五例1-3

是初始時刻的商品存貨量，且。從的實(shí)際意義來看，顯然必須選取生產(chǎn)率使得（1-13）生產(chǎn)計劃問題。設(shè)表示商品存貨量，表示對商品的需求率，是已知函數(shù)，表示生產(chǎn)率，它將由計劃人員來選取，故是控制變量。滿足下面的微分方程（1-12）（1-11）第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五其次，生產(chǎn)能力應(yīng)該有限制，即容許控制為（1-14）這里表示最大生產(chǎn)率，另外為了保證滿足需求，必須有第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五

由到的總成本為要求尋找最優(yōu)控制，使總成本最小。（1-15）（1-16）假定每單位時間的生產(chǎn)成本是生產(chǎn)率的函數(shù)，即。設(shè)是單位時間儲存單位商品的費(fèi)用，于是，單位時間的總成本為第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五四、小結(jié)：由上面的例子可見，求解最優(yōu)控制問題時要給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程，狀態(tài)變量所滿足的初始條件和終端條件，性能指標(biāo)的形式（時間最短、消耗燃料最小，誤差平方積分最小等）以及控制作用的容許范圍等。第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五其中，為維狀態(tài)向量，為維控制向量，為維向量函數(shù)，它可以是非線性時變向量函數(shù)，也可以是線性定常的向量函數(shù)。狀態(tài)方程必須精確的知道。用數(shù)學(xué)語言來比較詳細(xì)地表達(dá)最優(yōu)控制問題的內(nèi)容：（1）建立被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程（1-17）第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五

而到達(dá)終端的時刻和狀態(tài)則因問題而異。（2）確定狀態(tài)方程的邊界條件。一個動態(tài)過程對應(yīng)于維狀態(tài)空間中從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，也就是狀態(tài)空間中的一條軌線。在最優(yōu)控制中初態(tài)通常是知道的，即（1-18）第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五（1-19）例如，在流水線生產(chǎn)過程中，是固定的；在飛機(jī)快速爬高時，只規(guī)定爬高的高度，而是自由的，要求越小越好。終端狀態(tài)一般屬于一個目標(biāo)集，即第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)終端狀態(tài)是固定的，即時，則目標(biāo)集退化為維狀態(tài)空間中的一個點(diǎn)。而當(dāng)終態(tài)滿足某些約束條件，即這時處在維狀態(tài)空間中某個超曲面上。若終態(tài)不受約束，則目標(biāo)集便擴(kuò)展到整個維空間，或稱終端狀態(tài)自由。（1-20）第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五上述性能指標(biāo)包括兩個部分，即積分指標(biāo)和終端指標(biāo)，這種綜合性指標(biāo)所對應(yīng)的最優(yōu)控制問題稱為波爾扎（Bolza）問題。當(dāng)只有終端指標(biāo)時，稱為邁耶爾（Mayer）問題；當(dāng)只有積分指標(biāo)時，稱為拉格朗日（Lagrange）問題。（3）選定性能指標(biāo)。性能指標(biāo)一般有下面的形式：（1-21）第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五

性能指標(biāo)的確定因問題的性質(zhì)而異。在導(dǎo)彈截?fù)裟繕?biāo)的問題中，我們要求彈著點(diǎn)的散布度最小，這時可用終端指標(biāo)來表示。在快速控制問題時，要求系統(tǒng)從一個狀態(tài)過渡到另一個狀態(tài)的時間最短，即，這就是積分指標(biāo)。第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五

性能指標(biāo)是控制作用的函數(shù)，也就是函數(shù)的函數(shù)，這種以函數(shù)為自變量的函數(shù)稱為泛函，所以又稱為性能泛函。有的文獻(xiàn)中也把性能指標(biāo)稱為代價函數(shù)、目標(biāo)函數(shù)等等。第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五（4）確定控制作用的容許范圍，即是維控制空間中的一個集合。例如，控制飛機(jī)的舵偏角是受限制的，控制電機(jī)的電流是受限制的，即有。這時控制作用屬于一個閉集。當(dāng)不受任何限制時，稱它屬于一個開集。下面將看到處理這兩類問題的方法是不同的?？煞Q為容許集合，屬于的控制則稱為容許控制。（1-22）第22頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五（5）按一定的方法計算出容許控制將它施加于用狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)，使?fàn)顟B(tài)從初態(tài)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集中的某一個終態(tài)，并使性能指標(biāo)達(dá)到最大或最小，即達(dá)到某種意義下的最優(yōu)。第23頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五五、本課程主要內(nèi)容課程將介紹求解最優(yōu)控制問題的方法：經(jīng)典變