6章天體的物理性質(zhì)和其測(cè)定

第六章天體的物理性質(zhì)及其測(cè)定天體物理學(xué)是天文學(xué)的一個(gè)重要分支，是應(yīng)用物理學(xué)的技術(shù)、方式和理論，研究天體的形態(tài)、結(jié)構(gòu)、化學(xué)組成、物理狀態(tài)和演化規(guī)律的學(xué)科；它是物理學(xué)和天文學(xué)相互滲透產(chǎn)生的交叉學(xué)科。本章要緊介紹天體的物理性質(zhì)和如何測(cè)定?！焯祗w的輻射、星等和光譜一、天體的光度測(cè)量一、天體的亮度和光度（1）亮度和視星等用眼睛可直接觀測(cè)到天體輻射的可見光波段，人們對(duì)天體發(fā)光所感覺到的敞亮程度稱為亮度。表示天體明暗程度的相對(duì)亮度并以對(duì)數(shù)標(biāo)度測(cè)量的數(shù)值概念為視星等。星等是天文學(xué)史上傳統(tǒng)形成的表示天體亮度的一套特殊方式。古希臘天文學(xué)家依照恒星的敞亮程度把它們分成六等。最亮的星為1等星，肉眼恰好能看到的星為6等星，恒星越亮，星等數(shù)越小。19世紀(jì)通過光度計(jì)測(cè)定，發(fā)覺所定的1等星的平均亮度約為6等星的100倍。如此，就概念星等間的亮度比為,，確實(shí)是說星等相差1級(jí)，亮度相差倍（假設(shè)取對(duì)數(shù)，=）。顯然，星等之間是等差級(jí)數(shù)，亮度之間是等比級(jí)數(shù)。有了如此的數(shù)量關(guān)系，就能夠夠用星等來表示任何亮度。望遠(yuǎn)鏡和照相術(shù)問世后，能夠看到更暗的星星；天空除恒星外，還有太陽(yáng)、月亮等更亮的天體。因此，依照現(xiàn)代光度測(cè)定，比6等星更暗的星，還有7等、8等……，現(xiàn)代大口徑望遠(yuǎn)鏡能觀測(cè)25等的暗星。比1等星更亮的天體可向0值和負(fù)值擴(kuò)展。而且不限于是整數(shù)。如全天最亮的恒星天狼星(除太陽(yáng)外）為等，金星最亮?xí)r為等，月亮滿月時(shí)的亮度為等，太陽(yáng)的亮度達(dá)等。確實(shí)是說，太陽(yáng)的亮度是1等星亮度的倍。那么，星等是如何測(cè)算的呢？

假定有兩顆恒星，其星等別離為m和m0(m>m0)，它們的亮度別離是E和E0，其亮度比率為：（）

兩邊取對(duì)數(shù)（因=）得：

lgE0-lgE=(m-m0)

m-m0=(lgE0-lgE)

若是取0等星（m0=0）的亮度E0=1，那么有：

m=

（）確實(shí)是聞名的“普森公式”。它說明，只要有明確的0等星和它的標(biāo)準(zhǔn)亮度，就能夠夠依照所測(cè)得的天體亮度E，計(jì)算其星等m。（2）光度和絕對(duì)星等事實(shí)上，天體的亮度并非能表示它們的發(fā)光本領(lǐng)，因?yàn)樗鼪]有考慮天體距離的因素。咱們明白，光源的視亮度與其距離的平方成反比。為了比較不同恒星的真實(shí)發(fā)光能力，必需假想把它們移到相同的距離上，才能比較它們的真正亮度即光度。天文學(xué)上把那個(gè)標(biāo)準(zhǔn)距離定為10個(gè)秒差距，相當(dāng)于0".1視差的距離，合光年。

在標(biāo)準(zhǔn)距離處的恒星的亮度為絕對(duì)亮度，也叫真亮度，其星等稱為絕對(duì)星等。有了那個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，就能夠夠依照恒星的距離d和視星等m，推算其在10秒差距處的絕對(duì)星等M。再設(shè)絕對(duì)亮度為E1，視亮度為E2。因?yàn)榱炼扰c距離平方成反比，再結(jié)合式（），于是有：和

因此又有：

（）

兩邊取對(duì)數(shù)，并整理，得：

M=m+5-5lgd

從式可見，假設(shè)已知某星的距離d（秒差距pc）及視星等m，那么可求出其絕對(duì)視星等M。反之，假設(shè)已知某星的絕對(duì)星等和視星等，就可求出它的距離。因此，式也是天文學(xué)的一個(gè)重要公式。

天體的絕對(duì)亮度或絕對(duì)星等，代表了天體的光度。在恒星世界里，光度的不同十分差異。有的恒星的光度比太陽(yáng)強(qiáng)100萬倍；有的恒星的光度僅及太陽(yáng)的百萬分之一。太陽(yáng)的絕對(duì)星等是，僅是恒星世界中的一般一員。二、天體測(cè)光與星等光度測(cè)定是指測(cè)量來自有限波段范圍內(nèi)的輻射流，簡(jiǎn)稱測(cè)光，由望遠(yuǎn)鏡和輻射接收器完成，一樣以星等表示。測(cè)光的大體原理是，在相同條件下，等同的輻射流能使探測(cè)裝置產(chǎn)生等同的"響應(yīng)"。據(jù)此，將待測(cè)星與已知星等的星作比較，依照探測(cè)裝置對(duì)它們的"響應(yīng)"，可求出待測(cè)天體的光度，再推算待測(cè)星的星等。天體光度的測(cè)定方式很多，下面只介紹幾種最一樣的測(cè)光方式。（1）目視測(cè)光與目視星等用眼睛直接估量天體的亮度為目視測(cè)光。其方式是在望遠(yuǎn)鏡的視場(chǎng)里，先在待測(cè)星周圍選擇兩顆已知星作比較星。其中一顆較待測(cè)星亮些，另一顆較待測(cè)星暗些。觀測(cè)者反復(fù)認(rèn)真比較待測(cè)星與兩顆比較星在亮度方面的不同，再憑借觀測(cè)體會(huì)進(jìn)行判定，把它們之間的不同用適當(dāng)?shù)恼麛?shù)表示出來，再進(jìn)行歸算，求出待測(cè)星等。這是視星等，精度雖在～個(gè)星等之間，但方式簡(jiǎn)單易行。那個(gè)地址的關(guān)鍵是選擇比如較星，使其亮度、顏色和位置盡可能與待測(cè)星接近。視星等給出的是天體的照度，而不是光度，因?yàn)檫b遠(yuǎn)的超級(jí)亮的高光度天體與近而弱的天體能夠有相同的視星等（亮度），于是借助絕對(duì)星等可概念天體的光度。絕對(duì)星等概念為位于10秒差距（pc）上天體的視星等。（2）照相測(cè)光與照相星等照相測(cè)光用天文底片作探測(cè)器進(jìn)行測(cè)光。對(duì)點(diǎn)光源來講，因照相底片對(duì)光源"響應(yīng)"是非線性的，因此必需在同一底片上拍照待測(cè)星和一系列從亮到暗的已知星等的比較星。然后用光瞳光度計(jì)(見圖或自動(dòng)底片處置機(jī)測(cè)量這些星像。由儀器顯示的讀數(shù)和已知的比較星的星等作校準(zhǔn)曲線。依照該曲線內(nèi)插待測(cè)星，即可求知其星等。照相測(cè)光一樣由于底片乳膠不均勻，顯影條件不一樣缺點(diǎn)，因此精度并非很高，均方誤差約個(gè)星等。（3）光電測(cè)定與光電星等光電測(cè)定所用儀器是光電光度計(jì)。由于其光電倍增管對(duì)光源呈線性響應(yīng)和高精度的電子測(cè)試儀器，因此光電測(cè)光的準(zhǔn)確度和靈敏度是目前較高的。一樣精度可達(dá)～個(gè)星等之間。其方式是在測(cè)定星光之前，用適當(dāng)?shù)墓怅@（光的進(jìn)入孔）先測(cè)量待測(cè)星周圍天空背景的亮度，然后再用相同的光闌對(duì)準(zhǔn)待測(cè)星，記取它們的儀器讀數(shù)，將待測(cè)星的儀器讀數(shù)減去夜晚天空背景的讀數(shù)，即為星光所產(chǎn)生的儀器響應(yīng)。因星光響應(yīng)同星光亮度成正比，即可由此按星等概念直接取得待測(cè)天體的星等。由光電測(cè)光所取得的星等稱光電星等。光電測(cè)光的優(yōu)勢(shì)顯而易見，是目前應(yīng)用最普遍的測(cè)光方式。二、天體的光譜分析一、光譜及其種類早在17世紀(jì)已經(jīng)發(fā)覺，陽(yáng)光透過棱鏡會(huì)在后面的屏幕上產(chǎn)生一條七色彩帶，牛頓稱它為光譜。此刻咱們明白，因?yàn)榭梢姽馐怯刹煌ㄩL(zhǎng)的多色光組成。由于各類光透過三棱鏡后的折射率不同，可見光被分解為不同顏色，見光譜圖。通過對(duì)天體光譜的分析，不僅能夠明白它們的化學(xué)組成，還能夠推知它們的許多物理性質(zhì)。因此，天文學(xué)家一貫重視對(duì)天體光譜的研究。

光譜可分為三種類型，即持續(xù)光譜、明線光譜和吸收光譜。1858年德國(guó)物理學(xué)家基爾霍夫發(fā)覺產(chǎn)生這三種光譜的緣故：

持續(xù)光譜：灼熱的固體、液體或高溫高壓下的氣體都發(fā)射各類波長(zhǎng)的光波，因此形成不中斷的持續(xù)光譜。如一般的鎢絲燈，確實(shí)是一個(gè)產(chǎn)生持續(xù)光譜的光源。

明線光譜：在低壓條件下，稀薄灼熱的氣體或蒸汽不能產(chǎn)生持續(xù)的全數(shù)譜線，只能產(chǎn)生單色的、分離的明線狀光譜，即明線光譜。如鈉的蒸汽，在灼熱狀態(tài)能產(chǎn)生波長(zhǎng)為5890埃和5896埃的一對(duì)黃線。每種化學(xué)元素都有它獨(dú)特的、在光譜區(qū)有固定波長(zhǎng)位置的一組明線。

吸收光譜：由產(chǎn)生持續(xù)光譜的光源發(fā)射的光，穿太低壓下稀薄氣體或蒸汽，就有吸收線（即暗線）迭加在持續(xù)光譜上。這些吸收線確實(shí)是這些氣體和蒸汽，從持續(xù)光譜的全數(shù)譜線中，有選擇地吸收了它自己在低壓高溫狀態(tài)下所發(fā)射的明線譜線，即它對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的光線。比如鈉能夠發(fā)射一對(duì)黃色光譜線，當(dāng)持續(xù)譜線的光線通過它的低溫蒸汽時(shí)，鈉就吸收了與它對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)為5890埃和5896埃的輻射光，從而在持續(xù)光譜上呈現(xiàn)兩條相應(yīng)的黑線。這種持續(xù)光譜背景上具有黑色吸收線的光譜，叫做吸收光譜。

在上述光譜分類基礎(chǔ)上，于次年基爾霍夫提出了兩條定律：

（1）每一種元素都有自己的光譜；（2）每一種元素都能吸收它能夠發(fā)射的譜線。這兩條定律成為分光學(xué)的基礎(chǔ)。二、天體攝譜儀

為了了解天體的化學(xué)組成和內(nèi)部物理參數(shù)，必需對(duì)它們作光譜觀測(cè)和分析。用來對(duì)天體作光譜觀測(cè)的裝置叫天體攝譜儀。

咱們明白，物理實(shí)驗(yàn)室的光譜觀測(cè)器（叫攝譜儀）是由準(zhǔn)直系統(tǒng)、色散系統(tǒng)和照相系統(tǒng)三部份組成，常見的結(jié)構(gòu)如圖。準(zhǔn)直系統(tǒng)裝有透鏡，使通過狹縫的細(xì)窄光束變成平行光；色散系統(tǒng)裝有三棱鏡，把平行光進(jìn)行分光，再由另一透鏡將被分解的光聚焦到不同位置，使它們排列成一條彩帶，即光譜。事實(shí)上，每條彩紋都是通過狹縫的一個(gè)像；再由照相機(jī)把這些光譜拍照下來，以備分析研究之用，這確實(shí)是光譜分析。一樣星光比較暗弱，必需借助望遠(yuǎn)鏡才能取得理想的光譜。把攝譜儀接到望遠(yuǎn)鏡上，確實(shí)是天體攝譜儀見。天體攝譜儀有“有縫攝譜儀”和“物端棱鏡攝譜儀”之分。前者在望遠(yuǎn)鏡的焦平面上放置一周密的狹縫，用準(zhǔn)直鏡把通過狹縫的恒星光變成平行光射向光柵，光柵的色散作用使恒星光變成光譜，優(yōu)勢(shì)是可同時(shí)拍照系列譜變的定標(biāo)光譜，可進(jìn)行"絕對(duì)測(cè)量"。后者是把小頂角的棱鏡放在望遠(yuǎn)鏡物鏡之前，在望遠(yuǎn)鏡的物鏡焦平面上就能夠夠取得視場(chǎng)內(nèi)全數(shù)天體的光譜圖像。物端棱鏡攝譜儀是省去準(zhǔn)直系統(tǒng)，將物端棱鏡直接附設(shè)在望遠(yuǎn)鏡和照相機(jī)之間即可。若是拍照點(diǎn)光源，象恒星的光譜，需用物端棱鏡攝譜儀。因?yàn)楹阈蔷嚯x咱們遙遠(yuǎn)，它的光大體上是從一個(gè)方向發(fā)射來的平行光，通過物端棱鏡即可拍照整個(gè)視場(chǎng)中恒星的光譜。其優(yōu)勢(shì)是光能損失少，缺點(diǎn)是不能拍比較光譜，適于光譜分類研究。3、光譜在天文研究中的應(yīng)用在分光術(shù)（光譜分析）用于天文學(xué)研究之前，人們就迫切希望明白天體的物理化學(xué)性狀，但苦于沒有科學(xué)的探測(cè)手腕，那只是一種空想。直到1828年法國(guó)哲學(xué)家孔德還斷言"恒星的化學(xué)組成，是人類絕不能取得的知識(shí)。"可是，沒過量久，這種所謂不可知的問題，通過光譜分析而取得解決了，并促使天體物理學(xué)誕生和進(jìn)展。下面介紹光譜分析在天文學(xué)研究中的一些應(yīng)用：（1）確信天體的化學(xué)組成

每種元素都有它自己的特點(diǎn)譜線，各元素譜線的波長(zhǎng)都已從實(shí)驗(yàn)室測(cè)知了。將所拍的恒星線光譜和已知元素譜線波長(zhǎng)表相對(duì)照，即可確認(rèn)天體的化學(xué)成份。同時(shí)，還可依照光譜線的強(qiáng)度確信各元素的含量。在恒星光譜中，已認(rèn)證出元素周期內(nèi)外90%左右的天然元素。關(guān)于恒星化學(xué)元素的含量，已知絕大多數(shù)主序恒星的元素豐度大體相同，氫約占71%，氦約占27%。（2）確信恒星的溫度許多恒星光譜之間有較大的不同。既然恒星的化學(xué)組成不同不大，那么它們光譜之間的不同只能是其自身物理狀況不同造成的。恒星的光譜與恒星的外層溫度有關(guān)。從實(shí)驗(yàn)得知，溫度的不同直接阻礙恒星外部各類元素原子的電離程度和激發(fā)狀態(tài)，電離的原子發(fā)出的光與同種元素未被電離的原子發(fā)出的光不一樣，處于各類激發(fā)狀態(tài)的原子發(fā)出的光也一樣，這都反映在光譜中。據(jù)此咱們可推知恒星的外部溫度。（3）確信恒星的壓力從實(shí)驗(yàn)得知，當(dāng)壓力增大時(shí)，原子與離子、電子的距離變小，輻射或吸收光子的原子，因受周圍離子或電子的作用會(huì)使譜線顯現(xiàn)壓力致寬，而且光譜里還會(huì)顯現(xiàn)新的譜線。由此咱們可推知恒星外部大氣的厚度和壓力。（4）測(cè)定恒星的磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)說明，將光源置于強(qiáng)磁場(chǎng)中，光譜線會(huì)產(chǎn)生"割裂"效應(yīng)。據(jù)此咱們可依照天體譜線的割裂強(qiáng)度和狀態(tài)測(cè)知天體磁場(chǎng)的方向、散布與強(qiáng)度。（5）確信天體的視向速度和自轉(zhuǎn)

依照多普勒效應(yīng)，當(dāng)光源遠(yuǎn)離咱們而去，那么咱們收到的輻射波會(huì)變長(zhǎng)，咱們拍照到的光譜線會(huì)向紅端移動(dòng)，稱譜線紅移；反之，當(dāng)光源接近咱們時(shí)，其波長(zhǎng)會(huì)縮短，譜線向紫端移動(dòng)。波長(zhǎng)的改變量（紅移量、紫移量）與光源和觀測(cè)者之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)（波長(zhǎng)改變量與原波長(zhǎng)之比，等于移動(dòng)速度與光速之比），據(jù)此咱們可推算天體的移動(dòng)速度。若是天體有自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，只要自轉(zhuǎn)軸與咱們的視向有必然夾角，即可測(cè)定它的不同邊緣處的紅移和紫移，從而推知該天體的自轉(zhuǎn)狀況。§天體距離、大小、質(zhì)量和年齡的測(cè)定一、天體距離的測(cè)定

不管經(jīng)典天文學(xué)研究，仍是現(xiàn)代天文學(xué)研究，都需要精準(zhǔn)明白天體的距離。因此，天體距離的測(cè)定在天文學(xué)中占有重腹地位。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)展，測(cè)定天體距離的手腕愈來愈先進(jìn)。在不同時(shí)期對(duì)不同的天體，那么采納不同的測(cè)定方式。且宇宙空間廣袤無垠，所利用的距離單位也不同于咱們地球上的距離單位。天文距離單位通常有天文單位（AU）、光年（ly）和秒差距（pc）三種。秒差距是一個(gè)天文單位所張的角度為一角秒所對(duì)應(yīng)的距離。它要緊用于太陽(yáng)系之外。英文是parsec，縮寫為pc,pc是parallax(視差)和second（秒）兩字的縮寫合成的。天體的周年視差為1角秒,其距離即為1秒差距。更長(zhǎng)的距離單位有千秒差距kpc和百萬秒差距Mpc。1秒差距=光年=206,265天文單位=308,568億千米。一、月球的距離人類很早就明白月球是距離咱們最近的自然天體，古代的天文學(xué)家們就用多種方法嘗試測(cè)量它的遠(yuǎn)近。但由于沒有足夠周密的儀器或方式不夠科學(xué)，未能得出令人中意的數(shù)據(jù)。直到18世紀(jì)，人們才用三角視差法測(cè)定了它的距離。

視差是觀測(cè)者在兩個(gè)不同的位置看同一個(gè)天體的方向之差。視差能夠用基線在天體初的張角來表示。當(dāng)基線一按時(shí)，天體越遠(yuǎn)視差越小，天體越近視差越大。視差與天體距離之間存在著簡(jiǎn)單的三角關(guān)系，測(cè)定視差能夠確信天體的距離。天體視差的測(cè)量是確信天體距離的最大體方式，稱為三角視差法。測(cè)定月球距離的原理很簡(jiǎn)單，即以地球（E）半徑為基線，當(dāng)月球(M)位于地平常（如圖），地球半徑對(duì)月球中心的張角達(dá)到最大值的角ρ0，叫做月球的地平視差。只要明白了地平視差，月球的距離便不難算出。在以地心和月心連線D為斜邊，地球半徑R為ρ0角所對(duì)的直角邊的直角三角形中，依照其正弦公式即可求出月球距離：

（）

可是，咱們無法去地球半徑的另一端，即地心去觀測(cè)月球。事實(shí)上，若是在地球的同一子午線上，在相距足夠遠(yuǎn)的兩點(diǎn)，當(dāng)月球在上中天時(shí)刻，同時(shí)觀測(cè)月球的地平高度（或天頂距），即可測(cè)定月球距離。世界上第一次測(cè)定地月距離，是1715年至1753年，法國(guó)天文學(xué)家拉卡伊和他的學(xué)生拉朗德，他們選定大體上位于同一子午線的柏林A和非洲南端的好望角B，在相距遙遠(yuǎn)的兩地，當(dāng)月球通過上中天時(shí)，測(cè)定月球的天頂距Z1和Z2。而A、B兩地的地理緯度φ1和φ2是已知的，兩地的緯度差能夠求出，那個(gè)數(shù)值也正好是∠AOB，由此推出AB兩點(diǎn)直線距離。如此即可用解三角的方法求得地月距離,如圖。示。拉卡伊和拉朗德計(jì)算的結(jié)果是月球與地球之間的平均距離大約為地球的60倍，這與現(xiàn)代測(cè)定的數(shù)值很接近。

只是，一般是依照上述方法所測(cè)得的天頂距通過歸算（不作具體推算）先求出月球的地平視差：

（）

再算出月球的距離。最初測(cè)算的月球地平視差之57′02"，地月距離為384400km，與今值384401km超級(jí)接近。

雷達(dá)技術(shù)誕生后，又用雷達(dá)測(cè)定月球距離其方式是依照從地球發(fā)往月球脈沖信號(hào)的時(shí)刻t1和返回時(shí)刻t2，求出月地距離，即：

（c為光速）（）激光技術(shù)問世后，人們用激光雷達(dá)代替無線電雷達(dá)。由于激光的方向性好，光束集中，單色性強(qiáng)，故觀測(cè)精度比雷達(dá)高。1969年美國(guó)登月時(shí)，把供激光測(cè)距用的反射器組件安放在月球上，可確保反射光束沿原方向返回。使測(cè)月精度達(dá)到厘米級(jí)。二、太陽(yáng)和行星的距離

地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道是橢圓，地球到太陽(yáng)的距離是在不斷轉(zhuǎn)變的。咱們所說的日地距離，是指地球軌道的半長(zhǎng)軸，即為日地平均距離。天文學(xué)中把那個(gè)距離叫做一"天文單位"。天文單位有如一把量天巨尺，一樣用于量度太陽(yáng)系內(nèi)的距離。1976年國(guó)際天文學(xué)聯(lián)合會(huì)把天文單位的數(shù)值定為1.×1011m，近似億km。

測(cè)定太陽(yáng)的距離不能象測(cè)定月球距離那樣直接用三角視差法。因?yàn)樘?yáng)表面無固定標(biāo)志，沒有可供參考的準(zhǔn)確目標(biāo)；太陽(yáng)距離比月球遠(yuǎn)得多，地平視差甚小（今值為8".794148），難以測(cè)得準(zhǔn)確；太陽(yáng)輻射強(qiáng)烈，一樣儀器難以經(jīng)受，因此不能用三角視差法直接測(cè)距。又因?yàn)樘?yáng)是灼熱的氣體球，不可能反射雷達(dá)波和激光波，因此也不能用雷達(dá)測(cè)距法。

初期測(cè)定太陽(yáng)的距離是借助于離地球較近的火星或小行星。先用三角視差法測(cè)定火星或小行星的距離，再依照開普勒第三定律求太陽(yáng)距離。1673年法國(guó)天文學(xué)家卡西尼第一次利用火星大沖的機(jī)遇測(cè)出了太陽(yáng)的距離，如圖。當(dāng)火星大沖時(shí)，火星距地球最近，可用前述的三角視差法測(cè)定火星和地球的距離。咱們?cè)O(shè)現(xiàn)在太陽(yáng)與地球的距離為α，太陽(yáng)與火星的距離為α1，因此火星與地球的距為：

α1-α=c（）

而c值已經(jīng)測(cè)知，依照開普勒第三定律（詳見第7章）：行星到太陽(yáng)距離的立方比，等于它們公轉(zhuǎn)周期的平方比，咱們就能夠夠間接計(jì)算了。設(shè)T和T1別離為地球和火星的公轉(zhuǎn)周期（火星的公轉(zhuǎn)周期，由觀測(cè)可知），于是有：（）

由于α/α1=c1為已知，解方程組：

α1-α＝c

（）

α/α1＝c1即可求得日地距離α的。

由火星間接測(cè)定太陽(yáng)的距離固然不錯(cuò)，但嫌火星距離地球太遠(yuǎn)，誤差較大。后來又依照接近地球的小行星進(jìn)行測(cè)定。1930年至1931年，小行星愛神星距地球只有×108km（即：億km），國(guó)際天文聯(lián)合會(huì)組織人力再次測(cè)定，得出太陽(yáng)周年視差為8".790，與今值超級(jí)接近。

其實(shí)，許多行星的距離也是由開普勒第三定律求得的。任何行星的公轉(zhuǎn)周期都可由觀測(cè)得知，若是日地距離以天文單位為單位，地球公轉(zhuǎn)周期以恒星年為單位，行星也采納上述單位，開普勒第三定律即可寫成：

T2=α3

（）

于是行星到太陽(yáng)距離計(jì)算式為：。（）如水星的公轉(zhuǎn)周期為恒星年，代入式，得出水星到太陽(yáng)的距離為天文單位（AU）。3、恒星的距離恒星距離咱們都超級(jí)遙遠(yuǎn)，測(cè)定它們的距離超級(jí)困難。對(duì)不同的恒星，用不同的方式測(cè)定。目前已有很多種測(cè)定恒星距離的方式，下面只介紹幾種：（1）三角視差法

測(cè)定較近的恒星可用三角視差法。最先試圖測(cè)定恒星距離確實(shí)是用這種方式。只是，三角視差法所采納的基線不是地球半徑，而是地球公轉(zhuǎn)軌道半徑。

早在哥白尼的時(shí)期人們就想到，若是地球有公轉(zhuǎn)，那么，觀看較近的恒星時(shí)，該恒星會(huì)在遙遠(yuǎn)的天球背景上不斷改變位置。地球繞日公轉(zhuǎn)一周，該恒星就應(yīng)在天球上畫一個(gè)小橢圓，這叫恒星周年視差位移。但限于那時(shí)的技術(shù)條件，人們始終沒能找到那個(gè)小橢圓。這是阻礙哥白尼學(xué)說完全取得成功的重要障礙。盡管伽利略晚年在監(jiān)禁中仍然堅(jiān)信總會(huì)找到地球運(yùn)動(dòng)的那個(gè)證據(jù)，但誰(shuí)也不曾料到，它在哥白尼300連年后才被人觀測(cè)到。只要測(cè)得了恒星周年視差位移，恒星的距離也就解決了。三角視差法確實(shí)是測(cè)定地球軌道半徑對(duì)恒星視位置的阻礙。如圖所示。咱們把地球軌道看做近圓形，由于大多數(shù)恒星并非位于地球軌道面垂直的位置上，因此咱們?nèi)『阈荰和地球之間的連線，恰好與地球軌道半徑a相垂直，現(xiàn)在地球軌道半徑對(duì)恒星的張角π達(dá)到最大值，此角叫做恒星周年視差，即恒星、地球和太陽(yáng)組成的直角三角形的最小角。從上述直角三角形可知：

（）

由于恒星周年視差π都很小，事實(shí)上不超過1″（角秒），其正弦sinπ的值能夠近似地用它的弧度數(shù)來表示，假設(shè)π即為弧度，那么有：

π=

（）

因1弧度=57°.3=206265″，假設(shè)上式中的π以角秒表示，并記作π″，那么得:

π″=206265（）

若是恒星周年視差為1″（π″=1），那么：

D=206265α

（）

式中α為1個(gè)天文單位，現(xiàn)在的距離D稱為1秒差距，這是天文學(xué)上的又一種距離單位，在測(cè)定恒星距離時(shí)，用秒差距超級(jí)方便。因?yàn)楹阈堑闹苣暌暡疃夹∮?″，恒星周年視差與距離成反比。如周年視差是″，距離那么是2秒差距。假設(shè)單位取秒差距，于是有：

D=1/π″（）可見，恒星周年視差一旦測(cè)出，即刻知其距離。因此，有時(shí)也用周年視差直接表示恒星的距離。測(cè)定恒星周年視差的方法，不能象測(cè)定月球地平視差那樣在地球上兩地同時(shí)進(jìn)行觀測(cè)。恒星周年視差以地球軌道半徑為基線，觀測(cè)者必需要等到半年以后才能再次測(cè)定它的位移。

在觀測(cè)儀器和技術(shù)都達(dá)到必然進(jìn)展時(shí)，于19世紀(jì)30年代才由天文學(xué)家白塞耳（1784-1848年）等人別離測(cè)得較近的幾顆恒星周年視差。他們所得結(jié)果列表。表幾顆恒星的周年視差觀測(cè)者測(cè)定恒星測(cè)定年代所得值現(xiàn)代值白塞耳（德）天鵝座611838年0．″3140．″30亨德森（英）半人馬座α（南門二）1839年0．″980．″76斯特魯維（俄）天琴座α（織女星）1839年0．″2610．″124現(xiàn)代證明，半人馬座α（南門二）是距咱們最近的恒星（太陽(yáng)除外），故有比鄰星之稱。它的周年視差之小，相當(dāng)咱們?cè)?000m之外看一枚分幣的張角，難怪哥白尼以后長(zhǎng)達(dá)三百連年都沒有找到它！用周年視差法測(cè)定恒星距離，有必然的局限性，因?yàn)楹阈请x咱們愈遠(yuǎn)，π越小，實(shí)際觀測(cè)中很難測(cè)定，因此只有對(duì)離太陽(yáng)近的一些恒星才能用周年視差法；對(duì)遙遠(yuǎn)的恒星要用其它方式才能求得。至今用這種方式測(cè)量了約6000多顆恒星的距離，誤差在10％以下的只有700顆左右。

天文學(xué)上的距離單位除曾介紹的天文單位、秒差距外，還有光年，即光在真空中一年所走過的距離，相當(dāng)94605億km。三種距離單位的關(guān)系是：

1秒差距(pc)=206265天文單位(AU)=光年(ly)＝×1018厘米(cm)1光年(ly)=秒差距(pc)＝63240天文單位(AU)＝×1013千米(km)（2）分光視差法

更遙遠(yuǎn)的恒星，由于周年視差超級(jí)小，用三角視差法無法測(cè)出它的有效值。于是，20世紀(jì)以后又有分光視差法，即通過恒星光譜分析測(cè)定恒星距離。

若是咱們用分光技術(shù)（光譜分析）測(cè)得遙遠(yuǎn)恒星光譜的峰值波長(zhǎng)，然后推算其表面溫度和絕對(duì)星等，并實(shí)測(cè)恒星的視星等m，將值代入（）關(guān)系式（天體的光度測(cè)量），即可求得恒星距離d。

只是，由于星際物質(zhì)的情形作用，對(duì)M和m都會(huì)產(chǎn)生阻礙，因此用分光視差法測(cè)定距離，必需考慮那個(gè)因素。用此法能夠測(cè)定100秒差距之外恒星的距離。但數(shù)萬秒差距之外的恒星，難以拍到它們的光譜。因此也就無從明白它們的準(zhǔn)確光度和距離了。（3）造父周光關(guān)系測(cè)距法

造父是中國(guó)古代的星官名稱。仙王座δ星中名造父一，是一顆亮度會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)變的"變星"。變星的光變緣故很多。造父一屬于脈動(dòng)變星一類。當(dāng)它的星體膨脹時(shí)就顯得亮些，體積縮小時(shí)就顯得暗些。造父一的這種亮度轉(zhuǎn)變很有規(guī)律，它的轉(zhuǎn)變周期是5天8小時(shí)46分38秒鐘，稱為"光變周期"。在恒星世界里，凡跟造父一有相同轉(zhuǎn)變的變星，統(tǒng)稱"造父變星"。有趣的是，造父變星的光變周期與亮度有必然的關(guān)系。1912年美國(guó)一名女天文學(xué)家勒維特（1868～1921年）把小麥哲倫星系內(nèi)的25顆造父變星的星等與光變周期，順順序排列起來，當(dāng)即發(fā)覺它們之間有簡(jiǎn)單的關(guān)系：光變周期越長(zhǎng)的恒星，其亮度就越大。這確實(shí)是對(duì)后來測(cè)定恒星距離很有效的"周光關(guān)系"。由于這些造父變星都位于同一星系內(nèi)，能夠以為它們同地球有大體相等的距離，因此周期和視星等的關(guān)系就反映了周期和絕對(duì)星等的關(guān)系。圖是后人所畫的周光關(guān)系圖，橫軸用光變周期的對(duì)數(shù)lgP/d表示，縱軸用絕對(duì)星等M表示。造父變星的光變周期一樣在1～50天之間。在地面上很容易測(cè)出造父變星的光變周期，只要測(cè)出光變周期，很容易從周光關(guān)系圖中查到絕對(duì)星等M，再測(cè)出視星等m，即可由M=m+5-5lgd式求出距離d。因此，造父變星取得"量天尺"的美名。許多河外星系的距離確實(shí)是靠那個(gè)量天尺測(cè)量的,表列出幾顆造父變星的光變幅、星等變幅和光譜型。表幾顆造父變星的參數(shù)表星名光變周期星等變幅光譜型仙后座SU～F2～F9仙后座TU～F5～G2小熊座α（北極星）～F7仙王座δ～F4～G6劍魚座β～F2～F9雙子座ζ～F5～G2天鵝座RY～F8～K0船底座U～F8～K5狐貍座SY～G2～K5只是，用周光關(guān)系測(cè)距，零點(diǎn)的確信很重要。20世紀(jì)初利用造父變星測(cè)得仙女座大星云（星系）的距離為75萬光年。后來發(fā)覺由于沒有充分考慮星際物質(zhì)的消光作用，將零點(diǎn)定大了個(gè)星等。20世紀(jì)50年代對(duì)此進(jìn)行了調(diào)整，從頭測(cè)定仙女座大星云距離為150萬光年，正好增加了一倍。利用造父變星測(cè)距，其范圍可達(dá)1000萬光年左右。（4）譜線紅移測(cè)距法

20世紀(jì)初有人發(fā)覺，除少數(shù)幾個(gè)較近星系，所有星系的光譜都有紅移，即觀測(cè)到的譜線比實(shí)驗(yàn)室測(cè)知的相應(yīng)譜線的波長(zhǎng)較長(zhǎng)，向光譜的紅端移動(dòng)。1929年哈勃用大型望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)到更多的河外星系又發(fā)覺星系距咱們?cè)竭h(yuǎn)，其譜線紅移量越大。

對(duì)譜線紅移，目前流行的說明確實(shí)是大爆炸宇宙學(xué)說。哈勃指出天體紅移與距離的關(guān)系為：（）式被稱為哈勃定律，見圖。式中Z為紅移量，c為光速，r為距離，H為哈勃常數(shù)，目前定為H=50～80千米/（秒·兆秒差距）。

依照式，只要測(cè)出河外星系譜線的紅移量Z，即可算出星系的距離d。如已測(cè)知3C273類星體的紅移量Z=，假設(shè)H=50千米/（秒·兆秒差距），由哈勃定律可算出它的距離為948×106秒差距，相當(dāng)億光年。由此可知，用譜線紅移法能夠測(cè)定更大范圍的距離，遠(yuǎn)達(dá)百億光年計(jì)。

只是，對(duì)哈勃常數(shù)的值一直有爭(zhēng)議。其值由已知距離的星系確信，可是這些星系卻又因所選的標(biāo)準(zhǔn)尺度在不斷修正，且距離也不斷改變?，F(xiàn)在，天文界確信其值在50～80千米/（秒·兆秒差距）。哈勃的發(fā)覺令人類對(duì)宇宙的熟悉進(jìn)步了許多。

關(guān)于測(cè)定天體的距離方式還有很多，宇宙中天體的距離尺度和測(cè)定方式有人歸納成圖?！焯祗w距離、大小、質(zhì)量和年齡的測(cè)定二、天體大小的測(cè)定1、地球的大小地球是個(gè)近似的圓球體。人們無法深切地下直接測(cè)量它的半徑，只能用間接的方式去推算它的大小。一樣是先測(cè)定地面的一段弧長(zhǎng)，再計(jì)算出圓周長(zhǎng)，然后推算出地球的半徑。最先實(shí)測(cè)地球大小的是希臘天文學(xué)家埃拉特色尼。公元前二百連年，他認(rèn)定地球?yàn)檎蝮w。在埃及選擇大體上位于同一子午線上的賽恩B（今阿斯旺城周圍）和亞歷山大城A兩地。于夏至這一天正午，太陽(yáng)直射位于北回歸線的阿斯旺的井底，而亞力山大城的正午太陽(yáng)光線那么與鉛垂線成°夾角，這一角度正是兩地的緯度差Δφ=°。那時(shí)明白兩地的距離為5000埃里（古埃及的長(zhǎng)度單位），如此，即可從部份弧長(zhǎng)推算整個(gè)子午線之長(zhǎng)，那時(shí)推算的地球周長(zhǎng)合39500km，與今值十分接近，如圖。近代天文大地測(cè)量中應(yīng)用的原理和上述方式一樣，只是用恒星代替太陽(yáng)來測(cè)定兩地的緯度差，,如圖。20世紀(jì)50年代以后，用人造地球衛(wèi)星測(cè)得的有關(guān)地球數(shù)據(jù)愈來愈精準(zhǔn)。依照牛頓萬有引力修正后的開普勒第三定律可表示為:

（）

（）式中n為人造衛(wèi)星的平均公轉(zhuǎn)角速度，可由實(shí)地觀測(cè)求得。a為人造衛(wèi)星軌道半長(zhǎng)軸，可用雷達(dá)或激光來測(cè)定；G為萬有引力常數(shù)，M⊕為地球質(zhì)量。將上式代入重力加速度計(jì)算式為：

（）

整理后得:

（）

把對(duì)人造衛(wèi)星的觀測(cè)數(shù)據(jù)代入式（）中，即可求得地球的平均半徑。具體計(jì)算時(shí)還必需考慮月球和太陽(yáng)引力的阻礙，需要加以訂正。同時(shí)，由于地球并非正球體，其內(nèi)部物質(zhì)散布也不均勻，它對(duì)人造衛(wèi)星的繞轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生攝動(dòng)力。如此，需依照大量不同傾角的人造衛(wèi)星及其軌道轉(zhuǎn)變的速度，才能歸算出地球的大體形狀和大小。結(jié)果說明地球的外形較好地近似于旋轉(zhuǎn)橢球體。

據(jù)1979年依照大地測(cè)量和地球物理協(xié)會(huì)決議，對(duì)地球采納下面數(shù)據(jù),見表。表地球的大小半徑數(shù)據(jù)地球赤道半徑a6378137m地球極半徑b6356752m地球平均半徑（2a+b）/36371008m地球扁率（a-b）/a1/二、太陽(yáng)、月球的大小關(guān)于咱們較近的天體，只要測(cè)出它們的視圓面直徑的張角，即角直徑，再依照距離就不難求出它們的大小來。對(duì)太陽(yáng)、月球和行星的線直徑都是如此測(cè)量的。

在地球上用測(cè)角儀器很容易測(cè)得太陽(yáng)的角直徑31′59″.3，該角的一半即太陽(yáng)的視半徑（角半徑）為15′59″.65，以ρ表示。日地平均距離a為已知，那么太陽(yáng)的線半徑：（）即約70萬km，亦約相本地球半徑的109倍。

用一樣的方式可測(cè)得月球的平均角半徑為15′32″.6，略小于太陽(yáng)角半徑，因此，從地球上看去，它們的大小差不多，但是，月球距離比日地距離小得多，因此，月球的線半徑也比太陽(yáng)小得多，其值僅有1738km，相本地球半徑的。

金星凌日（見第7章有介紹）的妙用：太陽(yáng)視差為日地平均距離時(shí)地球半徑對(duì)太陽(yáng)的張角，它是天文學(xué)中一個(gè)十分重要的大體數(shù)據(jù)。通過觀測(cè)金星凌日能夠測(cè)量太陽(yáng)視差，原理如圖。假設(shè)從地球上經(jīng)緯度為已知的兩個(gè)地址P1和P2同時(shí)觀測(cè)金星V的凌日，P1處看到金星沿弦S1S'1穿過日輪，P2處看到金星沿弦S2S'2穿過日輪。記錄兩地金星凌日開始與終止的時(shí)刻，算出兩地凌日別離經(jīng)歷的時(shí)刻，可定出弦S1S'1和弦S2S'2和在某同一時(shí)刻金星在日面上的位置V1和V2,并進(jìn)而推算出∠P1VP2。由此可算出金星視差，并進(jìn)而算出太陽(yáng)視差。金星凌日屬罕有天象，在1761年6月6日和1769年6月3日，世界各國(guó)的許多天文學(xué)家用此法測(cè)出了太陽(yáng)視差，1874年12月9日、1882年12月6日和2004年6月8日世界各國(guó)的天文學(xué)家再次對(duì)太陽(yáng)視差進(jìn)行測(cè)量。有愛好的讀者可在2021年6月6日親自實(shí)踐一下。3、恒星的大小

恒星距離咱們太遙遠(yuǎn)，其角直徑很小，最大的也只是0″.05，這是望遠(yuǎn)鏡所無法測(cè)量的。因?yàn)榱私夂阈堑拇笮?，也是天文學(xué)的一個(gè)重要課題，因此，人們?nèi)允窍敕皆O(shè)法去探測(cè)它。（1）月掩星法對(duì)月球白道周圍的恒星，用月掩星法測(cè)定恒星的角直徑。為不受太陽(yáng)光的干擾，通常利用月球黑夜的那面，如上弦月東邊黑暗的部份。月球向右方移動(dòng)，現(xiàn)在月輪與恒星邊緣恰好相切。用光電方式準(zhǔn)確測(cè)定恒星邊緣剛被月球掩食的剎時(shí)到整個(gè)恒星完全被掩食的剎時(shí)的時(shí)刻距離τ，即從光電流開始下降至光電流達(dá)到最小值的時(shí)刻距離。設(shè)υ為月球相對(duì)恒星背景移動(dòng)的速度，一樣平均為0″.5，θ是恒星被初掩時(shí)掩點(diǎn)處月面切線與月球移動(dòng)方向之間的夾角。τ和θ值卻由觀測(cè)得出。由圖所示，可得出恒星的角直徑計(jì)算式：。（）

再依照恒星的距離，即可求出恒星的線直徑。由于受天體散布條件限制，并非是所有恒星都能用掩食的方式測(cè)其角徑的。（2）干與法

關(guān)于不能用掩食方式測(cè)定角徑的恒星，用干與法測(cè)定。其原理與光學(xué)中雙縫干與的道理大致相同。大體作法是，用一帶有兩個(gè)小孔的光闌把望遠(yuǎn)鏡的物鏡蓋住，并使兩孔大小相等，對(duì)稱地位于物鏡光學(xué)中心的兩邊。這確實(shí)是一架恒星干與儀。咱們測(cè)定有必然角徑的恒星時(shí)，把恒星的圓面看做是兩個(gè)半圓，并假定每一個(gè)半圓面的光都是由半圓的中心射出的。讓兩個(gè)半圓的光束通過兩孔別離產(chǎn)生兩組明暗干與條紋，調(diào)劑兩孔間的距離，取得所需條紋的寬度，并記取兩孔間距離的數(shù)值。代入有關(guān)公式進(jìn)行換算，即可求出恒星的角直徑。

絕大多數(shù)恒星因距離太遙遠(yuǎn)，角直徑過小，無法直接對(duì)它們進(jìn)行測(cè)定。迄今，僅對(duì)少數(shù)恒星的角徑作過直接測(cè)定，如表所示。表一些恒星的大小星名視差(角秒）角直徑（角秒）線直徑（太陽(yáng)為1）獵戶座a1000鯨魚座o480天蝎座a450金牛座a94牧夫座a47御夫座a13天狼A太陽(yáng)1天狼B

（3）光度法關(guān)于角徑甚小的恒星，只能采納間接的方式測(cè)定它們的大小，其中之一是光度法。咱們明白，天體輻射強(qiáng)度與其表面溫度有必然關(guān)系。實(shí)驗(yàn)和理論都證明，物理學(xué)中的斯芯藩-波爾茲曼黑體輻射定律，近似地適用于太陽(yáng)和恒星的輻射。恒星表面單位面積上單位時(shí)刻內(nèi)所輻射的能量S與恒星的表面溫度T的4次方成正比：

S=σT4

式中σ=×10-5爾格/厘米2.秒.度4，為斯芯藩-波爾茲曼常數(shù)。

假設(shè)以R表示恒星的半徑，那么表面積為4πR2。由此可推算恒星在單位時(shí)刻內(nèi)所發(fā)出的總輻射能，即恒星的光度為

：

L=4πR2σT4

（）

式中的T，即恒星的溫度，可依照光譜分析求出；恒星的光度L那么可依照其絕對(duì)星等的關(guān)系式求出。

LgL=-（M-M⊙）（）

式中太陽(yáng)的絕對(duì)星等為已知（M⊙=），恒星的絕對(duì)星等M可依照其視星等和距離求出（見式）。將求得的光度L代入（）式，即求出恒星的線半徑R。

§天體距離、大小、質(zhì)量和年齡的測(cè)定三、天體質(zhì)量的測(cè)定

研究天體質(zhì)量，是現(xiàn)代天文學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。天體的質(zhì)量，不僅阻礙和支配著天體的運(yùn)動(dòng)狀況，而且仍是決定天體演化進(jìn)程的關(guān)鍵因素。同測(cè)定天體距離一樣，對(duì)不同天體質(zhì)量的測(cè)定，可采納不同方式。一、地球質(zhì)量地球的質(zhì)量是指整個(gè)地球的物質(zhì)數(shù)量。在人類熟悉地球的歷史長(zhǎng)河中，估算地球質(zhì)量的嘗試，一直到牛頓發(fā)覺萬有引力定律以后才成為可能。

測(cè)定地球質(zhì)量的原理并非難，從萬有引力定律明白，引力的大小同兩物體的質(zhì)量的乘積成正比，同兩物體的距離的平方成反比。咱們假設(shè)地球?yàn)橐焕硐氲那蛐误w，其質(zhì)量為M⊕，并完全集中在地球中心，地球半徑為R⊕。地表被地球吸引的物質(zhì)質(zhì)量為m。由萬有引力定律得出，（）

約去m，有:

式中g(shù)為地表重力加速度，是已知量；G為萬有引力常數(shù)，但初期測(cè)定地球質(zhì)量時(shí)并非明白G值，應(yīng)該說，G值是在測(cè)定出地球質(zhì)量以后才明白的。

初期測(cè)定地球質(zhì)量的方式之一，是1798年英國(guó)學(xué)者卡文迪許設(shè)計(jì)的扭稱法。他用細(xì)絲懸掛起由橫桿連接的兩個(gè)質(zhì)量為已知的重球，然后再在兩個(gè)重球前面必然距離處放置兩個(gè)大球，在萬有引力作用下，扭稱發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，從而求出大球和扭稱兩頭球之間的引力。反過來再依照萬有引力定律求得G值，這段科學(xué)史話已為大伙兒所共知。只是那時(shí)的G值不夠精準(zhǔn)，直到1928年才由美國(guó)的海爾確信為×10－8達(dá)因.厘米2/克2。將此值代入前式，得地球質(zhì)量M⊕=×1027g。方式之二是天平法。1881年科學(xué)家約利曾設(shè)計(jì)出一臺(tái)靈敏度很高的大天平，如圖。

左右均有上下兩盤，并使上下盤的間距盡可能大些，以減少彼此引力的阻礙。測(cè)定步驟如下：

（1）將天平調(diào)平后，在左右上盤別離放置質(zhì)量相等的球m1和m2，天平仍維持平穩(wěn)。

（2）將右邊的m1移到下盤，因下盤距地心較近，天平稍向右傾斜；再在左上盤放小球C，使天平恢復(fù)平穩(wěn)。

（3）在右下盤，置一大球m，并已知該球與m1的距離為d；因m對(duì)m1的引力，天平再次向右傾斜，于左上盤再放置小球n，使天平再次平穩(wěn)。

從上述實(shí)驗(yàn)不難看出，m對(duì)m1的引力，就等于n的重力，即地球?qū)的引力。咱們?nèi)砸訫⊕為地球的質(zhì)量，R⊕為地球的半徑，G為引力常數(shù)，那么有：(

整理后即可直接計(jì)算地球質(zhì)量：

那個(gè)地址不需G，只要求出地球質(zhì)量，G值的問題也就解決了。

上述兩種方式的近似性是不言而喻的，二者都有著測(cè)定微小引力的困難，因此，關(guān)于G值和地球質(zhì)量老是不斷修正。

現(xiàn)代用人造地球衛(wèi)星測(cè)定地球質(zhì)量，是依照牛頓修正后的開普勒第三定律，其表達(dá)式為：

式中M為中心天體質(zhì)量，m為繞轉(zhuǎn)天體質(zhì)量，a為軌道半徑長(zhǎng)軸，T為繞轉(zhuǎn)周期，G為引力常數(shù)。今以人造地球衛(wèi)星而言，式中M和m別離為地球和衛(wèi)星的質(zhì)量，因?yàn)閙<<M，故式中（M+m）可用M表示，變換形式后得：

（）式中2π/T，為衛(wèi)星繞轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)之平均角速度，用n表示，那么得上述曾引用的（）式。因?yàn)閚通過觀測(cè)可得，a通過激光或雷達(dá)測(cè)距可得，再取經(jīng)常使用的G值，因此測(cè)量地球質(zhì)量變得很容易。二、月球質(zhì)量

月球質(zhì)量的測(cè)定很是周折，方式之一是采納測(cè)定地月系統(tǒng)的質(zhì)心位置，推算月、地的質(zhì)量比求出月球質(zhì)量。

設(shè)：地球質(zhì)量為M⊕，月球質(zhì)量為m，地心距地月系質(zhì)心為x，月地距離為d，依照力矩關(guān)系可得：

或（）

式中M⊕及d是已知的，而x可通過周密測(cè)定太陽(yáng)黃經(jīng)的周月波動(dòng)導(dǎo)出（x的平均測(cè)值為4671km）,于是有：（）代入地球質(zhì)量×1027g，那么求得月球質(zhì)量為×1025g。3、太陽(yáng)質(zhì)量

太陽(yáng)是太陽(yáng)系的中心天體，其質(zhì)量可通過地球?qū)ζ淅@轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來推導(dǎo)。

設(shè)太陽(yáng)質(zhì)量為M⊙，地球質(zhì)量（嚴(yán)格說應(yīng)為地月系質(zhì)量）為m，地球軌道半徑為R，公轉(zhuǎn)速度為v。從繞轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)物體加速度公式可知，地球公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的向心力為：

（）

按牛頓萬有引力定律知，太陽(yáng)對(duì)地球的引力為：（）

咱們明白，地球公轉(zhuǎn)軌道具有近圓性，可把地球公轉(zhuǎn)近似地看做圓周運(yùn)動(dòng)。如此，太陽(yáng)對(duì)地球的引力與地球公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的向心力相等（f＝F），故有:（）

整理后有:

（）（）式中的R、v和G都為已知，將它們的數(shù)值代入即得太陽(yáng)的質(zhì)量為：M⊙=×1030kg。4、行星質(zhì)量

經(jīng)牛頓修正后的開普勒第三定律的表達(dá)式為（）中α和T別離表示繞轉(zhuǎn)天體的軌道半長(zhǎng)軸和周期，M和m別離表示中心天體和繞轉(zhuǎn)天體的質(zhì)量?？梢?，修正后的開普勒第三定律與天體的質(zhì)量相聯(lián)系。因此，這必然律不僅是量取天體距離的量天尺，而且是稱取帶有衛(wèi)星質(zhì)量和物理雙星質(zhì)量的量天尺。

如以M⊙、M⊕、MP、和MS別離代表太陽(yáng)、地球、行星和衛(wèi)星的質(zhì)量，T⊕和TS別離代表地球和衛(wèi)星的繞轉(zhuǎn)周期，α⊕、αP和αS別離代表日地、行星與衛(wèi)星的距離，那么修正后的第三定律又可表示為：

改寫后有：

因?yàn)镸⊕<<M⊙,MS<<MP，因此（）式可近似地寫為：

（）

（）式中的M⊙、α⊕和T⊕為已知，αS、、TS通過觀測(cè)可得，將它們代入公式，就可求MP,即行星的質(zhì)量。

若是T⊕以恒星年為單位，α⊕以天文單位為單位，那么T⊕2/α⊕3=1，上式就更為簡(jiǎn)單：（）

在具體推算時(shí)，衛(wèi)星的周期和距離也必需別離以恒星年和天文單位為單位。

關(guān)于任何帶有天然衛(wèi)星的行星，只要測(cè)出它們的軌道要素，都能夠按上面方式求其質(zhì)量。冥王星自20世紀(jì)30年代發(fā)覺后，人們對(duì)它的質(zhì)量一直弄不準(zhǔn)確，直到1978年發(fā)覺它有一顆衛(wèi)星，并測(cè)出其軌道要素后，才算出了冥王星的質(zhì)量為M⊕。而在此之前，估算的質(zhì)量為M⊕，顯然很不準(zhǔn)確。

關(guān)于沒有衛(wèi)星的行星，如水星和金星質(zhì)量的測(cè)定，只得另求它法。其中經(jīng)常使用的有攝動(dòng)法。咱們明白，一個(gè)作繞轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的天體，除受中心天體引力作用外，還會(huì)受到其它臨近天體的吸引，這確實(shí)是所謂攝動(dòng)力。由于攝動(dòng)力干擾，繞轉(zhuǎn)天體會(huì)偏離原有軌道。咱們可依照某顆小行星飛掠大行星所受的攝動(dòng)，間接求得大行星的質(zhì)量，因?yàn)樾⌒行堑钠x容易觀測(cè)。近幾十年來，又通過空間探測(cè)器飛臨水星和金星時(shí)所受攝動(dòng)，來測(cè)定它們的質(zhì)量。因?yàn)檫@些探測(cè)器的軌道要素，隨時(shí)可通過雷達(dá)和多譜勒效應(yīng)迅速來測(cè)定，會(huì)使大行星質(zhì)量的測(cè)算更為準(zhǔn)確。五、恒星質(zhì)量迄今除太陽(yáng)外，只對(duì)某些物理雙星的質(zhì)量依照其軌道運(yùn)動(dòng)進(jìn)行過直接測(cè)定。對(duì)其它恒星的質(zhì)量，只能依照它們的光度進(jìn)行間接測(cè)定。（1）物理雙星質(zhì)量的測(cè)定

咱們第一把彼此繞轉(zhuǎn)的兩顆星，看做互為子星。它們?cè)诒舜艘ψ饔孟?，繞其公共質(zhì)心運(yùn)轉(zhuǎn)。由于恒星的質(zhì)量都專門大，咱們以太陽(yáng)質(zhì)量為1作為單位來表示恒星的質(zhì)量。先從測(cè)定太陽(yáng)質(zhì)量提及。此刻，咱們依照修正后的開普勒第三定律來求。由于M⊕<<M⊙，由（）式整理后有：

假設(shè)設(shè)a⊕=1天文單位，T⊕=1恒星年，太陽(yáng)質(zhì)量為1，那么有:

關(guān)于求物理雙星系統(tǒng)的質(zhì)量，式一樣適用。由于，故有：

（）

（）式中的單位系統(tǒng)是天文單位、恒星年和太陽(yáng)質(zhì)量單位。所測(cè)得的質(zhì)量是雙星的一起質(zhì)量。至于兩顆子星的別離質(zhì)量，從理論上講，由于兩個(gè)子星到他們公共質(zhì)心的距離與它們的質(zhì)量成反比，因此，只要測(cè)量出兩顆子星的質(zhì)心就能夠夠了。但靠直接觀測(cè)十分困難。在實(shí)際測(cè)量中，一樣用光譜分析法，依照它們運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的多普勒效應(yīng)求出M1/M2的比值。用上述方式求得天狼星及其伴星的質(zhì)量為⊙；再依照其質(zhì)量比為2：08，可知天狼星M1=⊙,天狼星的伴星M2=⊙。(2)單獨(dú)恒星質(zhì)量測(cè)定宇宙中有些恒星是單獨(dú)存在的，對(duì)它們質(zhì)量的測(cè)定一樣是依照質(zhì)量與光度之間存在必然關(guān)系，間接測(cè)定。但對(duì)不同類型的恒星，那么采納不同方式。以主序星為例，20世紀(jì)以后，通過大量觀測(cè)說明，主序星的質(zhì)量與光度存在較好的正相關(guān)，光度越大，質(zhì)量也越大。以坐標(biāo)縱軸表示光度，并以太陽(yáng)光度為1；以橫軸表示質(zhì)量，也以太陽(yáng)質(zhì)量為1。把一些已知質(zhì)量和光度的恒星點(diǎn)在圖上，這確實(shí)是聞名的質(zhì)光關(guān)系圖（見圖）。從圖上能夠看出，恒星的質(zhì)量與光度存在簡(jiǎn)單的線形關(guān)系。如此，只需測(cè)定出未知質(zhì)量的恒星的光度，即可按圖索驥，從中估出它的質(zhì)量。假設(shè)以太陽(yáng)為參考，大部份恒星的質(zhì)量在太陽(yáng)質(zhì)量的1/10到100倍之間，最小的恒星質(zhì)量可達(dá)太陽(yáng)質(zhì)量的1/20，少數(shù)恒星質(zhì)量可達(dá)到太陽(yáng)質(zhì)量的幾十倍。恒星質(zhì)量的轉(zhuǎn)變并非大，而體積卻極為差異，如此，恒星的密度也就十分差異了。六、星系的質(zhì)量

星系的質(zhì)量是動(dòng)力學(xué)模型的大體參數(shù)，它對(duì)組成星系總光度各類型恒星的散布也是一個(gè)制約，星系質(zhì)量散布也阻礙到星系的類型。確信星系質(zhì)量的常見方式有以下幾種：

（1）由星系的旋轉(zhuǎn)曲線確信質(zhì)量（旋渦星系）或恒星速度的彌散確信質(zhì)量（橢圓星系）；