自適應波束形成及算法

第3章自適應波束形成及算法(3.2自適應波束形成的幾種典型算法)3.2自適應波束形成的幾種典型算法自適應波束形成技術的核心內容就是自適應算法。目前已提出很多著名算法，非盲的算法中主要是基于期望信號和基于DOA的算法。常見的基于期望信號的算法有最小均方誤差(MMSE)算法、小均方(LMS)算法、遞歸最小二乘(RLS)算法，基于DOA算法中的最小方差無畸變響應(MVDR)算法、特征于空間(ESB)算法等[9]3.2.1基于期望信號的波束形成算法自適應算法中要有期望信號的信息，對于通信系統(tǒng)來講，這個信息通常是通過發(fā)送訓練序列來實現(xiàn)的。根據(jù)獲得的期望信號的信息，再利用MMSE算法、LMS算法等進行最優(yōu)波束形成。1.最小均方誤差算法(MMSE)最小均方誤差準則就是濾波器的輸出信號與需要信號之差的均方值最小，求得最佳線性濾波器的參數(shù)，是一種應用最為廣泛的最佳準則。陣輸入矢量為：戲小中(n)，/真)](3-24)???對需要信號d(n)進行估計，并取線性組合器的輸出信號y(n)為需要信號d(n)的估計值d(n)，即d(n)=yn§whxn(=gnW*)(3-25)估計誤差為：e(n)=d(n)d(=)d<nHwXn(3-26)最小均方誤差準則的性能函數(shù)為：E=E{|e(t)|}(3-27)式中E{}表示取統(tǒng)計平均值。最佳處理器問題歸結為，使陣列輸出y(n)=vrX(n)與參考信號d(t)的均方誤差最小，即：MinEe2t|}

(3-28)式(3-28)也就是求最佳權的最小均方準則。由式(3-26)?(3-28)得：E=E{le(t)|2}=E{e(n)e*(n)}=E{Idn)l-}2WTe[+whRw(3-29)其中，Re表示取實部，并且：R=E[x(i加n()](3-30)為輸入矢量x(n)的自相關矩陣。r=E[xnd*n()](3-31)為輸入矢量x(n)與需要信號d(n)的互相關矢量。一般而言，是通過確定向量函數(shù)的梯度的零點而使該函數(shù)最小的。一個復向量函數(shù)的梯度定義為：dda0f(w)ddb0f(w)ddaM-1f(w)ddbM-1f(w)(3-32)其中，w.=a+jb。由此定義可以發(fā)現(xiàn)V(whAw)=2AwV(whc)=2cV(chw)=0(3-33)dda0f(w)ddb0f(w)ddaM-1f(w)ddbM-1f(w)關于權矢量求梯度，得到梯度算子：V(E^2t))=)-r2+R2W(3-34)令梯度算子為零，可以得到最小均方誤差準則下的最佳權矢量W。應該滿足的方程為：RxWo=trx(3-35)式(3-34)稱為正規(guī)方程(NormalEquation)o若R滿秩，則有W折RX,rxdXX(3-36)我們經(jīng)常把此最佳權矢量稱為維納解，亦即利用MMSE得到的陣列天線的最優(yōu)權向量。2.最小均方算法(LMS)最小均方算法(LMS)是B.Widrow和Hoff于1960年提出的。由于實現(xiàn)簡單且對信號統(tǒng)計特性變化具有穩(wěn)健性，所以應用非常廣泛。LMS算法是基于最小均方誤差準則(MMSE)的維納濾波器和最陡下降法提出的，約束的LMS算法在每步迭代中對加權有約束。無約束的LMS算法則在每步迭代中無約束，由于未知信號方向，其利用一個參考信號更新加權。該算法以瞬時量代替統(tǒng)計平均量，故只在統(tǒng)計平均的意義下才與最速梯度下降法等效，其解與后者相比也呈現(xiàn)不同程度的波動。盡管如此LMS算法仍以其簡單的原理和較少的計算量受到重視，在自適應領域中占有重要地位。對于實時無約束的LMS利用參考信號計算加權向量：w(n+1)=w(n*g(w(n)(3-37)其中r是正常數(shù)，即步長，控制算法的收斂特性；g(w(n))是梯度的無偏估計。MSE(w(n))=E[lr(n+1)b]+wh(n)Rw(n)一2wh(n)z第n步迭代后，有：VMSE(w)l=2Rw(n)-2z(3-38)其中z=E[尤(n)r(n)],r(n)是在時刻n得到的期望信號的估計。注意第n+1步的陣列輸出利用了第n步所得的權向量和新的陣列數(shù)據(jù)x(n+1)，即y(n)=wh(n)x(n+1)。通常將R和z用估計值替代，第n+1步迭代的梯度為：g(w(n))=2x(n+1)xh(n+1)w(n)—2x(n+1)r(n+1)=2xn+1)w(n()(3-39)其中8(w(n))是陣列信號與參考信號間的誤差，即￡(w(n))=wh(n)x(n+1)—r(n+1)。設入max為R的最大特征值，當r<1/^max時，算法是穩(wěn)定的，權的平均估計收斂于最佳權。總的來說，LMS算法是數(shù)字信號處理中最經(jīng)典的算法之一。它的主要優(yōu)點就是能夠穩(wěn)定收斂，而且結構簡單，實現(xiàn)方便。但是主要缺點是收斂速率問題。算法性能對陣列信號協(xié)方差矩陣的特征值分布很敏感，當特征值散步范圍較大時(即存在一個強干擾信號或其它一些弱干擾信號)，算法收斂速度很慢。3.遞歸最小二乘算法(RLS)LMS算法的收斂依賴于R的特征值。在R的特征值擴展較大時，算法收斂較慢。這個問題在遞歸最小二乘算法(RLS)中可以得到解決。在LMS算法中，將第n步迭代時的步長〃用一個增益矩陣r_1(〃)取代，得到加權的更新為：w(n)=w(n-1)一R—i(n)x(n)&*(w(n-1))(3-39)其中R(n)=8R(n-1)+x(n)xh(n)=88n-kx(k)xh(k)k=0(3-40)80是比1小但接近于1的實數(shù)(常稱為遺忘因子)，用于對過去數(shù)據(jù)指數(shù)加權，使迭代趨向于降低過去取樣數(shù)據(jù)的重要性。3.2.2基于DOA的波束形成算法基于波達角(DOA)估計的波束形成算法的基本思想就是需要預先知道期望信號的DOA，從而獲得其導向矢量。根據(jù)期望信號的導向矢量，可以采取MVDR算法、特征子空間法等進行最優(yōu)波束形成。1.最小方差無畸變響應算法(MVDR)采用在通信、雷達信號處理中具有重要應用的最小輸出能量(minimumoutputenergy,MOE)準則來設計權向量w。采樣后的信號都以離散的形式表示，考慮使N次快拍的輸出能量的平均值最小，即minN工|y(n)|2=minN藝|whx(n)|2Wn=1Wn=1(3-41)一人?觀測信號向量x(n)的樣本自相關矩陣R為：xxR=—￡x(n)xh(n)xxNn=1(3-42)則式(3-41)對應的準則可以變換成:mini￡|y(n)|2=minwh(■!￡x(n)xH(n))wwN、wN1n=1n=1

=minwhRwXXw(3-43(3-43)當NT3時，則可以得到:1xN1xN.E{\y(n)I2}=lim歹Iy(n)|2=whRwNT3NXXn=1(3-44)將式(3-44)離散化后帶入上式可得:E{\y(n)12}=E{\s(n)\2}|wha(0)\2+YE{\s(n)\2}|wha(0)\2+6|w\2(3-45)i=1從上式可以看出，第一項為期望信號，第二項為干擾信號之和，第三項為加性噪聲項。此時如果權向量W滿足約束條件：wHa(0d)=aH(0d)w=1(波束形成)(3-46)wHa(0)=0,(i=1,,J)(零陷形成)i(3-47)…則波束形成器將只會提取期望信號，而拒絕所有其它干擾信號。因此，最佳波束形成器的設計變成了在上述約束條件下使輸出能量E|y(n)|2/最小化。用Largange算法求解該優(yōu)化問題。根據(jù)式(3-42)和式(3-45)構造目標函數(shù)J(w):J(w)=whRw+人[1一wHa(0)](3-48)令dJ(w)/dw=0，可求得：w=人R-ia(0)(3-49)將上式求得的wp代入波束形成約束條件式(3-45)，可求得人:aH(0)R-ia(0)(3-50)再將求得的人的值代入式(3-46)，可得到最終使輸出能量最小化的最佳波束形成器為：_R-ia(0)印ah(0：R-切(0)

dxxd(3-51)2.特征子空間法算法(ESB)設有L個干擾以0廣,0方向，一個期望信號以0d方向入射到M元陣，假設信號源數(shù)L+1<M，重新表示陣輸入矢量為：x(n)=AJ(n)+s(n)a(0)+n(n)=As(n)+n(n)(3-52)式中(3-53)為期望信號和干擾信號構成的信號矢量。A=["(0^),a(0〃)，，a(0幾)](3-54)...為Mx(L+1)維方向矢量矩陣。MxM維輸入矢量相關矩陣可表示為：R=E{x(n*hn))A^Ah+b2Z(3-55)設M>(L+1)，則R有(L+1)個大特征值和(M-L-1)個等于a2的特征值:XX人>X>>X>X==X=a2>012L+1L+2M(3-56)相應的M個歸一化正交特性矢量q,,qM:??-1i=j"qj={0i豐j(3-57)式中x「...,Xl+1為信號(期望和干擾信號)產(chǎn)生的特征值，相應的特征矢量集{q「，q++1}或mx(l+1)維矩陣…Qs=[q1，，qL+1](3-58)稱為信號子空間。Xl+2,…,Xm=a2為噪聲產(chǎn)生的特征值，相應的集&婦2，,qM}或...Qn=[qL+2，，qM]

(3-59)...稱為噪聲子空間。由MVDR算法得到的最優(yōu)權值為：R-1a(0)W=—XXd-——MVDRah(0「R-ia(0「(3-60)將其投影到信號子空間可得:Wo；QQsWMVDR（3-61）3.3基于MATLAB的波束形成算法仿真為驗證各種波束形成算法的性能，本論文通過計算機仿真來實現(xiàn)了基于期望信號和基于DOA算法中典型的幾種波束形成算法進行了仿真［10］主要包括，基于期望信號的最小均方誤差算法（MMSE）和最小均方算法（LMS），基于DOA的最小方差無畸變響應算法（MVDR）和特征子空間算法（ESB），并進行一定的分析，其中測試軟件是Matlab。3.3.1仿真條件信號模型采用了八元均勻線陣，不失一般性，陣元間隔取為0.5人，人為載波波長，且"/f。假設有3遠場窄帶信號從不同方向入射，這3信號分別為：一個期待信號與兩個干擾信號，其中期望信號的波達方向是60，兩個干擾信號的波達方向是-40和20，且在每個陣元上加有復高斯白噪聲N.（1<i<8）。oOi參數(shù)假設如表3-1所示：表3-1參數(shù)假設陣元數(shù)M=8期望信號載頻fc0=120Hz取樣點N=500干擾信號載頻fc1=127Hz采樣率fs=500Hz獨立實驗次數(shù)CS=25陣元間隔d=0.5人期望信號DOA200信號類型BPSK干擾信號1DOA-400高斯白噪聲SNR=3干擾信號2DOA6003.3.2算法流程設計本論文波束形成算法設計流程框圖如圖3-2所示。波束圖<產(chǎn)生BPSK信號>I對期望信號S進行波束圖<產(chǎn)生BPSK信號>I對期望信號S進行N次采樣匚斯白噪聲對干擾信號1進行N次采樣對干擾信號2進行N次采樣x(t)=A(0)s(t)+n(t)輸入信號矢量矩陣X生成W''opt算法準則圖3-2算法框圖首先假設各種參數(shù)，再利用Matlab語言產(chǎn)生三種BPSK信號，其中一種作為期望信號，另外兩種是干擾信號，在信道上加上高斯白噪聲，此后產(chǎn)生輸入信號

矢量矩陣X，通過一定的算法準則生成最佳權值，然后生成波束圖進行研究。3.3.3仿真結果1.最小均方誤差算法（MMSE）運行Matlab程序，可生成的波束方向圖如圖3-3所示。從圖3-3中可以看出，在期望信號方向即20。方向獲得了較大增益，而在干擾信號方向即-40。和60方向有較深的零陷，因此準則算法可以較好地收斂到所需信號方向，并在干擾方向置零，所以具有捕獲能力。151050-5-10圖3-3MMSE算法波束方向圖151050-5-10圖3-3MMSE算法波束方向圖r育Ar-■..-100-80-60-40-20020406080100波達方向DOA（度）2.最小均方算法（LMS）運行Matlab程序，可得LMS波束形成算法方向圖如圖3-4所示，收斂圖如圖3-4所示。從圖3-4中可以看出，在期望信號方向即20。方向獲得了較大增益，然而在干擾信號方向即-40。和60方向卻沒有較深的零陷，該準則算法可以較好地收斂到0所需信號方向，具有捕獲能力，但是抑制干擾方向能力很弱。3.線性約束最小方差準則（LCMV）線性約束最小方差（LCMV）準則的核心部分見式（3-19）和式（3-20）生成的波束圖如圖3-5所示。從圖3-5中可以看出，在期望信號方向即20。方向獲得了較大增益，而在干擾信號方向即-40。和60方向有較深的零陷，但是較之MMSE的波束圖，零陷O較淺，不過也具有一定的捕獲能力。

S3ffi磐S3ffi磐圖3-4LMS算法波束方向100-80-60-40增-20020406080100波達方100-80-60-40增圖3-5利用LCMV準則生成波束圖4.特征子空間算法（ESB）特征子空間算法（ESB）的核心部分見式（3-60）,運行Matlab程序，得到波束圖如圖3-6所示。-6111-100-50□50100圖3-6ESB算法波束方向圖從圖3-6中可以看出，在期望信