4等差數(shù)列各項(xiàng)絕對值的前項(xiàng)和

等差數(shù)列各項(xiàng)絕對值的前幾項(xiàng)和題1（2021年高考湖北卷理科第18題即文科第20題）已知等差數(shù)列1｝前三項(xiàng)的和n為-3,前三項(xiàng)的積為8.（1）求等差數(shù)列1｝的通項(xiàng)公式；n⑵假設(shè)a2,4,4成等比數(shù)列，求數(shù)列［an|｝的前n項(xiàng)和.解(1)a-5-3n或a-3n-7.(2)得a-3n(2)得a-3n-7,

n因此a|-<1 (n-2).n 3n-7(n>3)設(shè)數(shù)列｛設(shè)數(shù)列｛a1｝的前n項(xiàng)和為Sn得S-4,S-5；當(dāng)n>3時(shí)，得12a+a+a+la+...+a=—(a+a)+(a+a+?.?+a)=-2(a+a)+(a+a+???+a)=2(1aI+a)+(a+a+???+a)

1 2 1 2 n1I12 1 2 n八ln 3=2?5+—(-4+3n-7)=—n2-224 (n=1)因此S=[5 (n=2)因此n-n2——n+10(n>3)TOC\o"1-5"\h\z12 24 (n=1)3 11-n2- n+10(n>2)2 2題2（2021年高考浙江卷理科第18題）在公差為d的等差數(shù)列｛a｝中，已知a-10,n 1且a1，2a2+2,5a3成等比數(shù)列.⑴求d,a；n⑵假設(shè)d<0,求IaI+1aI+1aIH bIaI.1 2 3 n答案(1)(d=4,a=4n+6)或(d=-1,a=11—n)n n

1.21--n12+——n1.21--n12+——n2 21n2-21n+110[2 2n<11（那個(gè)答案也對：Jn>121,21——n2+——n2 21n2-21n+1102 2n<10).n>11下面研究這種高考題的一樣情形等差數(shù)列各項(xiàng)絕對值的前n項(xiàng)和.當(dāng)?shù)炔顢?shù)列1｝是常數(shù)列時(shí)，問題極易解決.n當(dāng)?shù)炔顢?shù)列1｝不是常數(shù)列時(shí)，可不妨設(shè)通項(xiàng)公式a=dn-da（d豐0;d,a均是常數(shù))，得[q|二|《|n—a|(|d\>0).來求數(shù)列%-a|｝的前n項(xiàng)和T.n設(shè)b=n-a，得n(1)當(dāng)a<1時(shí)，|bn|=bn,因此T=T=b+b+???+b=1a——2⑵當(dāng)a〉1時(shí)，b<0on<aon<[a]（其中[a]表示不大于實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)，n下同）.又當(dāng)nV[a]時(shí)，S=-(b+b+…+b)=-1n2+a-二n1 2J2I2又當(dāng)n>[a]+1時(shí)，T=-(b+b+...+b)+(b+b+...+b)

n 12 a a+a+2 n=-2(b+b+…+b)+(b+b+…+b)1 2 a] 1 2 n1a——2n+[a](2a-[a]-1)1--H221—n2-2(【2)(1)OC一一Tl+n<[a]n>[a]+l在式①的兩段表達(dá)式中，能夠驗(yàn)證第二段表達(dá)式對〃=[a]也適合.事實(shí)上，這也可由上面取得的等式?S=—2(。+b+…+b「J+S+b+...+/?)"對〃=[a]也適合得出.n 1 2 1a」 1 2 n由以上論述，可得關(guān)于等差數(shù)列各項(xiàng)絕對值的前〃項(xiàng)和的完整結(jié)論：定理(1)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列是常數(shù)列時(shí)，數(shù)列的前〃項(xiàng)和為〃m.(2)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列｝不是常數(shù)列時(shí)，可設(shè)。=成-da(dwO；d,a均是常數(shù))，又設(shè)數(shù)n n歹｝的前〃項(xiàng)和為s,那么n n①當(dāng)awl時(shí)，S=回(〃2—(2a—1)孔).②當(dāng)a〉1時(shí),-H(z：2-(2a-l)n)H(n2-(2a-l)n+2[a](2a-[a]-l))、2n<[a]n>[a]+l③當(dāng)a22時(shí)，Sn-H(n2-(2a-l