§2直紋面與可展曲面

作者：王幼寧作者：王幼寧--#-第三章曲面的第一基本形式§2直紋面與可展曲面從解析幾何中已經(jīng)知道，直紋面是一類特殊的曲面，它可以由一族直線“織成”，即：過(guò)曲面上每一點(diǎn)都存在過(guò)該點(diǎn)的直線落在該曲面上．將直紋面參數(shù)化，可以較為方便和深入地討論其幾何屬性；同時(shí)，作為其特殊類別，可展曲面的一些特征將得到揭示．一．直紋面及其上的參數(shù)變換如果直紋面S能夠被局部正則參數(shù)化，那么，在其上取一條直紋以及垂直于該直紋的一條正則曲線CuS，則經(jīng)過(guò)曲線C的直紋全體構(gòu)成了直紋面S的一部分．因此，當(dāng)討論局部性質(zhì)時(shí)，直紋面S通常被視為由一個(gè)單參數(shù)直線族而構(gòu)成，族中直線稱為直紋面的直紋或(直)母線；該族直紋總經(jīng)過(guò)一條參數(shù)曲線——準(zhǔn)線(該曲線不一定要求正則)．直紋的位置和直紋上的點(diǎn)的相對(duì)位置，將給出直紋面S的下列自然參數(shù)化S:r=r(u,v)=a(u)+vl(u)，其中準(zhǔn)線為連續(xù)可微參數(shù)曲線C:r*=a(u)，過(guò)準(zhǔn)線上點(diǎn)a(u)處的直紋方向確定為向量l(u)，且l(u)連續(xù)可微．此時(shí)，ru=a'(u)+vl(u)，rv=l(u)，ruxrv=[a'(u)+vP(u)]xl(u)=a，(u)xl(u)+vP(u)xl(u).由此可確定正則條件．其中較為簡(jiǎn)單的情況是，當(dāng)準(zhǔn)線正則并且不與直紋相切時(shí)，直紋面局部為正則參數(shù)化；對(duì)照熟知的圓柱面、圓錐面等等，可以直觀考慮正則性條件．下面一組例子介紹了一些所關(guān)心的直紋面．

例1設(shè)(2.1)式給出直紋面S的一種參數(shù)化，則可按準(zhǔn)線與直紋方向的關(guān)系歸為不同的子類．①柱面：各直紋平行.不妨設(shè)已經(jīng)規(guī)范為l(u)三10w0，則正則性條件化為ruxrv=a'(u)x1(u)w0，此即準(zhǔn)線不與直紋相切.此時(shí)可知，單位法向沿著直紋是常向量，即切平面沿著直紋重合.②錐面：各直紋相交于錐頂點(diǎn).形象地看，準(zhǔn)線可以“收縮”為一點(diǎn)一一錐頂.不妨設(shè)已經(jīng)規(guī)范為a(u)三a0，則正則性條件化為ruxrv=v1'(u)x1(u)w0.故錐頂是奇點(diǎn)；并且，當(dāng)直紋單位方向向量在單位球面上為正則曲線時(shí)，也只有錐頂是奇點(diǎn).其切平面沿著直紋也重合.③切線面：直母線族是某條準(zhǔn)線的切線族，即直母線族有包絡(luò)線可作為準(zhǔn)線.不妨設(shè)已經(jīng)規(guī)范為a'(u)=1(u)w0，且此時(shí)不妨設(shè)準(zhǔn)線以u(píng)為弧長(zhǎng)參數(shù)，則正則性條件化為ruxrv=vT(u)xT(u)w0.此時(shí)的準(zhǔn)線稱為切線面的脊線，其上點(diǎn)點(diǎn)為奇點(diǎn)．當(dāng)脊線無(wú)逗留點(diǎn)時(shí)，切線面上除脊線外的各點(diǎn)都是正則點(diǎn).其切平面沿著直紋也重合.主法線面：直母線族是某條準(zhǔn)線的主法線族，其中準(zhǔn)線無(wú)逗留點(diǎn)．可類似討論．從法線面：直母線族是某條準(zhǔn)線的從法線族，其中準(zhǔn)線無(wú)逗留點(diǎn).也可類似討論. 口

y圖3-9例2垂直相交于旋轉(zhuǎn)軸并勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的直線，同時(shí)沿著旋轉(zhuǎn)軸方向勻速直線運(yùn)動(dòng)，所構(gòu)成的直紋面稱為正螺旋面或正螺面；其準(zhǔn)線可取為旋轉(zhuǎn)軸.取常數(shù)b豐0,正螺面y圖3-9r(u,v)=(0,0,bu)+v(cosu,sinu,0)=(vcosu,vsinu,bu),直接計(jì)算可得ru*rv=(-bsinu，bcosu，-V"0?故此，此正螺面為正則曲面.z軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于參數(shù)值v=0，相應(yīng)單位法向垂直于z軸；既得，旋轉(zhuǎn)軸上各點(diǎn)處的切平面公交于旋轉(zhuǎn)軸. 口例3Mobius帶是一種曲面的模型，可以用矩形紙條擰180。后粘合一組對(duì)邊而構(gòu)成．它可以如下參數(shù)化為直紋面：準(zhǔn)線取為單位圓周，直母線沿準(zhǔn)線移動(dòng)時(shí)垂直于準(zhǔn)線轉(zhuǎn)動(dòng)，并且轉(zhuǎn)動(dòng)角速率是準(zhǔn)線動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)角速率的一半．光滑的參數(shù)方程可寫(xiě)為u u ur(u,v)=(cosu,sinu,0)+v(sincosu,sin工sinu,cos了)=((1+vsin號(hào))cosu,(1+vsinu)sinu,vcos它是參數(shù)u的4汽周期函數(shù)，但曲面關(guān)于參數(shù)u以2汽為封閉周期.直接計(jì)算可得, , v2?ru*rvI2=(1+vsin+了〉0?由此可知曲面正則．若限制參數(shù)?v?<4,則曲面實(shí)體是“簡(jiǎn)單”的(定義詳見(jiàn)第八章)；此時(shí)，曲面只有一個(gè)“面”和一條“邊”．易知單位法向n關(guān)于參 圖3-10數(shù)u以4汽為周期，并且對(duì)應(yīng)于曲面實(shí)體的同一個(gè)點(diǎn)有n(2汽+u,v)=-n(u,v).這說(shuō)明Mobius帶實(shí)體無(wú)所謂“正”的定向. 口

注意，直紋面按照準(zhǔn)線和直母線族的自然參數(shù)化，只是其參數(shù)化的特定形式(參見(jiàn)習(xí)題4)．這種參數(shù)化具有明顯的幾何直觀，在分析其幾何性質(zhì)的過(guò)程中具有直觀優(yōu)勢(shì)，因而得到特別注意．為了使相關(guān)分析和運(yùn)算更為簡(jiǎn)便，往往需要根據(jù)具體情況選取特定的準(zhǔn)線和直紋方向向量．準(zhǔn)線的轉(zhuǎn)換以及直紋方向向量長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)換，在自然參數(shù)化下，就等價(jià)于適當(dāng)?shù)膮?shù)變換；當(dāng)然這是一種具有幾何意義的參數(shù)變換．下面將一般性地考察直紋面的這種參數(shù)變換．設(shè)直紋面S的自然參數(shù)化由(2.1)-(2.2)式給出．作直母線方向向量的“伸縮”變換和準(zhǔn)線變換分別為l*(u)=Mu)l(u),Mu)w0，a*(u)=a(u)+Mu)l(u),其中變換系數(shù)函數(shù)Mu)和Mu)都是連續(xù)可微的．則有r=r(u,v)=a(u)+vl(u)=a*(u)+[v一^(u)]l(u)v-u(u .=a*(u)+l器 I*(u).令u*=u{*_[v-Mu)],v= M(u)則由以下計(jì)算結(jié)果得到參數(shù)變換的容許性：(2.13)a(u*,(2.13)a(u*,v*)

d(u,v)_1-^―=西M(u)在新參數(shù)下，直紋面仍然有自然參數(shù)化方程，與原有方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系為r=r(u,v)=a(u)+vl(u)=r*(u*,v*)=a*(u*)+v*l*(u*)．由此可以進(jìn)一步考察準(zhǔn)線和直母線是否允許有特殊關(guān)系，比如垂直相交等等．下列引理(其證明留作習(xí)題)說(shuō)明，這類考察是有效的．引理1已知直紋面的自然參數(shù)化由(2.1)-(2.2)式給出，則存在新的參數(shù)化，使其準(zhǔn)線與直母線處處正交，并且直紋方向向量為單位向量．

二．可展曲面及其局部形狀分類從例1已經(jīng)知道，柱面、錐面、切線面的切平面分別沿著直紋重合；而從例2正螺面的圖形觀察到，沿著所給定的直紋移動(dòng)時(shí)，切平面將發(fā)生扭轉(zhuǎn).按直紋面切平面的特殊行為，可以進(jìn)一步考察直紋面的子類.定義1若直紋面的切平面沿著每一條直紋都分別重合，則稱該直紋面為可展曲面，或稱該直紋面可展．例4柱面、錐面、切線面都可展.單葉雙曲面和雙曲拋物面都不可展一一這從圖形上可以觀察到；也可以在任何直紋上展開(kāi)計(jì)算，而由定義得到驗(yàn)證(略)．定理1(直紋面可展的解析條件)設(shè)直紋面S:r=r(u,v)=?(u)+vl(u)正則.S可展的充要條件為a',l,r共面，即(a',l,l')三0.證明由(2.1)-(2.5)式給出了直紋面S的基本情況．必要性：S可展，即單位法向n沿直母線v線平行，即n與v無(wú)關(guān)而只是u的函數(shù)，表示為r.(u,v)xr(u,v) a'(u)xl(u)+vl(u)xl(u)nu)—|r((u,v)xrv(u,v)|一|a'(u)xl(u)+vl(u)xl(u)|將上式分母記為函數(shù)Mu,v),變形為圖3-12a'(u)xl(u)+vl'(u)xl(u)—M(u,v)n(u).圖3-12當(dāng)v變動(dòng)而u保持不變時(shí)，直紋面上的點(diǎn)沿著直紋運(yùn)動(dòng)，上式右端保持平行而使左端也保持平行．注意，如圖3-12所示，兩個(gè)不平行向量的線性組合不能保持平行，故可判斷成立[a'(u)xl(u)]〃[l(u)xl(u)].事實(shí)上，取v產(chǎn)v2分別代入上式，得a'(u)xl(u)+v11'(u)xl(u)—M(u,v1)n(u),a'(u)xl(u)+v2l'(u)xl(u)—M(u,v2)n(u)；此兩式作外積或相減，易得a'(u)xl(u)〃l(u)xl(u).此時(shí)，幾何上看，三個(gè)向量a，(u),l(u),l(u)都垂直于n(u),因而共面.解析推導(dǎo)可分兩種情況討論如下：當(dāng)l'(u)xl(u)―0時(shí)，顯然(ar(u),l(u),r(u))—af(u)?[l(u)xl(u)]—0;當(dāng)l'(u)xl(u)w0時(shí)，存在日使a'(u)xl(u)—Rl(u)xl(u),故

(a,(u),l(u),l(u))=[a'(u)xl(u)]?l'(u)=巾l'(u)xl(u)]?l'(u)=0.充分性： 已知(a,i,i)三o，則分兩種情況討論.當(dāng)l'(u)xl(u)=0時(shí)，顯然ruxrv=a'(u)xl(u)與v無(wú)關(guān)，從而單位法向n與v無(wú)關(guān)，即n沿直母線v線平行；當(dāng)l(u)xl(u)w0時(shí)，存在九和N使a'(u)=入l(u)+Nl(u)，從而a'(u)xl(u)=入P(u)xl(u)，ru(u,v)xrv(u,v)=(入+v)l'(u)xl(u)，_l'(u)xl(u)n_l'(u)xl(u)n(u)=11,(u)xl(u)1sgn(入+v)，沿直母線v線平行．由兩種情形的結(jié)果以及可展定義，結(jié)論得證. 口對(duì)指定直紋族的直紋.面而言，該解析條件不依賴于準(zhǔn)線以及直紋方向向量長(zhǎng)度的選??；因而，當(dāng)直紋面的準(zhǔn)線以及直紋方向向量容易求出時(shí)，應(yīng)用該解析條件將是方便的．當(dāng)然，有時(shí)直紋面的準(zhǔn)線以及直紋方向向量并不容易求出，這就要考慮可展曲面的其它特征；除了本節(jié)將繼續(xù)討論的以外，可展曲面的“內(nèi)在特征”將在后續(xù)章節(jié)中出現(xiàn)．注記直紋面的直紋族并不一定是唯一的，比如單葉雙曲面、雙曲拋物面都有兩族直紋，而平面的直紋族更加隨意指定．以后可以證明，兩族坐標(biāo)曲線都是直線的正則曲面若可展，則只能是平面(或其局部)．此結(jié)論得到確認(rèn)后，應(yīng)用解析條件判定是否可展時(shí)，將更加靈活．在“較好”的準(zhǔn)線a(u)和直紋方向向量l(u)之下，解析條件可以進(jìn)一步化簡(jiǎn).特別當(dāng)直紋方向向量規(guī)范為單位向量場(chǎng)時(shí)，即11(u)|2三1時(shí)，有l(wèi)'(u)?l(u)三0；進(jìn)而分兩種情形：當(dāng)l(u)xl(u)=0時(shí)，自然總有等價(jià)條件(a'(u),l(u),l'(u))=0ol'(u)=0；當(dāng)l'(u)xl(u)w0時(shí)，P(u)w0，便有等價(jià)條件(a,(u),l(u),l'(u))=0=3X(u),N(u)使a'='l'+Nl；從此出發(fā)，利用準(zhǔn)線變換，對(duì)可展曲面的局部形狀可構(gòu)造性地進(jìn)行分類．參數(shù)變換的目標(biāo)是確定如例1所給出的規(guī)范參數(shù)方程．在下面定理的證明中，可注意體會(huì)幾何直觀對(duì)證法的啟發(fā)，以及如何明確地加以表述．定理2(可展曲面局部形狀分類)可展曲面必是柱面、錐面和切線面之一或由它們沿直母線所適當(dāng)拼接而成．證明由引理1和定理1,設(shè)可展曲面S:r=r(u,v)=a(u)+vl(u)滿足11(U)|2三1；則由簡(jiǎn)化的解析條件，可完全分類為以下三種情形：①l三0，則1(u)=const,豐0；此時(shí)S為柱面.②r豐0,或,N使a=入r+N1；此時(shí)要證S為錐面或切線面.(注意：錐面存在新準(zhǔn)線C*：：a*(u)使a*=const.，而切線面存在新準(zhǔn)線C*：da*a*(u)使關(guān)于弧長(zhǎng)的導(dǎo)數(shù)詈一=1，它們的共同特征是a*\u)〃1.)作待定的新準(zhǔn)線C*：a*(u)=a(u)+b(u)1(u)使a*'(u)x1(u)三0,其中待定函數(shù)b(u)連續(xù)可微,則a*'=a'+bb1+b1'=(k+b)1'+⑴+b')1；故取b=-k即可滿足要求.此時(shí)，a*=(日-k')1.由此，當(dāng)a*'三0即k'三日時(shí)，a*=const.,則S為錐面；當(dāng)a*'中0即k'中a*' da*四時(shí),1=常)="一’則S為切線面?③其他；由以上兩種情形的討論過(guò)程可知，1，以及3-k')的例外零點(diǎn)對(duì)應(yīng)于曲面上相應(yīng)的直母線．綜合各種情形，得證. 口三．單參數(shù)曲面族的包絡(luò)類似于考慮曲線族與其它曲線的關(guān)系,這里將討論較為簡(jiǎn)單的曲面族與其它曲面的關(guān)系．觀察下例．例5單位球面|r(u,v)-r0|2三1當(dāng)球心r0沿著指定的正則曲線C:a(k)平行移動(dòng)時(shí),形成單位球面族：Sk:r*(u,v;k)=a(k)+r(u,v)．形象地看，這族球面都落在一條“管子”——管狀面內(nèi)，管子的“半徑”就是球面的半徑(可參閱第八章§3以及圖8-3)．直觀感覺(jué)上看(可以得到驗(yàn)證),對(duì)管狀面上的任何一條正截圓周,在單位球面族中有且只有一張球面與管狀面公切于這條單位圓周．當(dāng)球面族的參數(shù)k連續(xù)變動(dòng)時(shí),公切圓周同時(shí)在管狀面上連續(xù)可微變動(dòng),并且對(duì)于相近的公切點(diǎn)而言,所在的兩張球面上對(duì)應(yīng)于本身參數(shù)(u,V)的取值(u入,V入)也很相近；管狀面上可以取參數(shù)九作為正則參數(shù)之一，同時(shí)可以取公切圓周的參數(shù)作為正則參數(shù)之一，此時(shí)公切圓周在單位球面上可以對(duì)應(yīng)于連續(xù)可微參數(shù)曲線u=u收),V=Vx(t).定義2對(duì)于給定的單參數(shù)入正則曲面族S入:r(u,v;入)和對(duì)應(yīng)的正則曲面S*:r*(兒t),對(duì)應(yīng)關(guān)系為r*(兒t)=r(u(兒t),V(兒t);入)；設(shè)曲面族和對(duì)應(yīng)關(guān)系關(guān)于參數(shù)(X,t)都是連續(xù)可微的，即二元函數(shù)組u(k,t),v(k,t)和三元向量函數(shù)r(u,v;k)都是連續(xù)可微的.若對(duì)S*上的任意點(diǎn)r*(k,t)，在曲面族中都存在對(duì)應(yīng)曲面Sk與S*公切于該點(diǎn)，而且曲面族中的每張曲面都與S*公切于某點(diǎn)，則稱曲面S*為單參數(shù)曲面族Sk的一張包絡(luò)面，簡(jiǎn)稱包絡(luò)．例6可展曲面是其本身切平面族的包絡(luò)，切平面族的單參數(shù)就取為某條正則準(zhǔn)線的參數(shù).事實(shí)上，設(shè)可展曲面S:r=r(u,v)=a(u)+vl(u)滿足11(u)|2三1;則n與v無(wú)關(guān)而只是u的函數(shù)，表示為n(u)，從而切平面族為T(mén)u：n(u)?[p-r(u,v0)]=0，其中p表示切平面上的點(diǎn)的位置向量，v0是取定的參數(shù)值，r(u,V0)是取定的準(zhǔn)線，而函數(shù)n(u)?r(u,v0)由參數(shù)u確定.作為特例，當(dāng)n，(u)三0時(shí)，S為平面，其切平面族重合于該平面；當(dāng)n'(u)豐0時(shí)，S不是平面，其切平面族為單參數(shù)u切平面族Tu．平面Tu與曲面S公切于直母線lu：r(u,v)-r(u,v0)=(v-v0)1(u).類似于曲線的情況，在求解包絡(luò)時(shí)，定義中的連續(xù)可微性條件有時(shí)當(dāng)成先驗(yàn)假定，此時(shí)需要根據(jù)求解情況反驗(yàn)其合理性．從已知的單參數(shù)曲面族出發(fā)，可以確定如何求解其包絡(luò)．按定義中的記號(hào)，在對(duì)應(yīng)點(diǎn)r*(k0,10)=r(u(k0,10),v(k0,10);k0)，曲面S*具有自然切向r*k(k0,10)=(看r(u(k,t),v(k,t);k)J。八 /k=k,t=tTOC\o"1-5"\h\z0, 0=(rk(u, V；k) +ru(u, V；k)整+ rv(u, V；k)Ik)u-u(k, t), V=V(k, t); f, t=10，r*(k10)= r(u(兒t),v(兒t);k)Jt 。t Xk=k,t=t\o"CurrentDocument"0, 0二(r(u,V；k):+rv(u,V；k)^ir)u=u(k,t),『(k,t);沙10，而相應(yīng)的曲面S在對(duì)應(yīng)參數(shù)值(u(k0,t0),v(k0,t0))的同一點(diǎn)具有自然切向0"u"L=u(k0,10),V=V(k0,10)=ru(u(k0,t0),V(k0,t0)；k0)，⑵19) ’\；L=%10),仁v%10)=q(u(%,to),v(%,t0);勃?由于對(duì)應(yīng)點(diǎn)是公切點(diǎn)，切向(2.16)和(2.17)與曲面S九在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的法向(r*?)U=?J,fh0) 0垂直，即等價(jià)化為0混0合積00&u，?，r以二皿),1?,t)；f、,仁t：0.這就是具有包絡(luò)的單參數(shù)曲面族所必0須0滿足的條件．反之，注意(2.20)式能夠保證對(duì)應(yīng)點(diǎn)為公切點(diǎn)，故已導(dǎo)出單參數(shù)曲面族包絡(luò)的如下判別條件．定理3給定連續(xù)可微單參數(shù)入正則曲面族S入:r(u,v;入).如果判別式⑵21)(小.，r入)=0能夠決定連續(xù)可微的兩個(gè)函數(shù)u0t)和vQ,t)，那么，該曲面族的包絡(luò)若存在則只能確定為判別曲面r(uQ,t),v(X,t);入)；而若判別式無(wú)解函數(shù)u(X,t)和v(X,t),則該單參數(shù)曲面族沒(méi)有包絡(luò).注記：①判別式所確定的函數(shù)同時(shí)明確了對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置.當(dāng)然允許兩個(gè)函數(shù)u(X,t)和v(X,t)在形式上合為一個(gè)函數(shù)u=u(v,t)或v=v(u,t).判別式如果是平凡的，則判別曲面r(u(X,t),v(X,t);X)有可能蛻化為非正則的；此時(shí)需要 是否符合包絡(luò)條件.如果判別曲面r(u(X,t),v(X,t);X)是正則的，則其為包絡(luò)面，并且切向(2.16)和(2.17)的外積非零；此時(shí)在某些具體條件下，兩個(gè)函數(shù)u(X,t)和v(X,t)允許存在反函數(shù)，此即為包絡(luò)面上的特殊參數(shù)變換.對(duì)包絡(luò)面r(u(X,t),v(X,t)；X)，當(dāng)選定參數(shù)X=X0時(shí)，其上曲線r(u(X0,t),v(X0,t);X0)是與族中曲面Sx的公切點(diǎn)木^成的曲線，稱之為包絡(luò)面的特征線. ％例7已知具有包絡(luò)S*的連續(xù)可微單參數(shù)X曲面族SX：r(u,v;X)=(%(u,v;X),y(u,v;X),z(u,v;X))是由隱式方程F(x,y,z;X)=0給出的，其中梯度向量VF=(F%,Fy,Fz)豐0．試證S*的隱式方程為222 {F(%,y,z;X)=0，(2.22) FX(%,y,z;X)=0．證明：由隱式方程F(%,y,z;X)=0求微分得dF(%,y,z;X)=[VF?dr](%,y,z;X)+FX(%,y,z;X)dX三0；而對(duì)于SX之上的點(diǎn)總有dF(%,y,z;X)=[VF?dr](%,y,z;X)=0

即其總以梯度向量VF(x,y,Z；入)為非零法向量；故在特征線SQS*之上總有F/x,y,z;入)d九三0.又特征線SQS*滿足隱式方程F(x,y,z；入)=0，故結(jié)論得證. 口單參數(shù)曲面族由隱式方程給出時(shí)，其包絡(luò)的判別曲面由特征線族方程(2.22)式給出.有時(shí)，隱式方程對(duì)于表示曲面整體非常有效，比如球面、雙葉雙曲面等等；此時(shí)，由(2.22)式討論包絡(luò)是較為方便的．例8求單參數(shù)入球面族x2+y2+(z-入)2=1的包絡(luò).解：記F=x2+y2+(z一九)2-1,則F卜=-2(z一九).令F入=0，得入=Z.代入球面族方程消去參數(shù)入，由(2.22)式即知，所求包絡(luò)為x2+y2=1，此為單位圓柱面．口定理4給定連續(xù)可微單參數(shù)t平面族T：:n(t)?r-p(t)=0,|n\三1,n'(t)w0.如果｛T｝｝的包絡(luò)面S存在，則S可展.證明包絡(luò)面S的隱式方程由(2.22)式給為特征直線族方程｛n(t)?r-p(t)=0,n'(t)?r-p'(t)