小升初奧數(shù)專題-第一講行程問題

PAGE112-小升初奧數(shù)專題講座第一講

行程問題走路、行車、一個物體的移動，總是要涉及到三個數(shù)量：距離走了多遠，行駛多少千米，移動了多少米等等；速度在單位時間內(nèi)（例如1小時內(nèi)）行走或移動的距離；時間行走或移動所花時間.這三個數(shù)量之間的關系，可以用下面的公式來表示：距離=速度×時間很明顯，只要知道其中兩個數(shù)量，就馬上可以求出第三個數(shù)量.從數(shù)學上說，這是一種最基本的數(shù)量關系，在小學的應用題中，這樣的數(shù)量關系也是最常見的，例如總量=每個人的數(shù)量×人數(shù).工作量=工作效率×時間.因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題.當然，行程問題有它獨自的特點，在小學的應用題中，行程問題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學，而且在中學數(shù)學、物理的學習中，也是一個重點內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學好這一講，特別是學會對一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時表示速度是每小時5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米1.1追及與相遇有兩個人同時在行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計算兩人走的距離之差.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同時間內(nèi)，甲走的距離-乙走的距離=甲的速度×時間-乙的速度×時間=（甲的速度-乙的速度）×時間.通常，“追及問題”要考慮速度差.例1小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同時從學校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達城門，當面包車到達城門時，小轎車已離城門9千米，問學校到城門的距離是多少千米？解：先計算，從學校開出，到面包車到達城門用了多少時間.此時，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時，因此所用時間=9÷6＝1.5（小時）.小轎車比面包車早10分鐘到達城門，面包車到達時，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是面包車速度是54-6＝48（千米/小時）.城門離學校的距離是48×1.5＝72（千米）.答：學校到城門的距離是72千米.例2小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠？解一：可以作為“追及問題”處理.假設另有一人，比小張早10分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時間是50×10÷（75-50）＝20（分鐘）·因此，小張走的距離是75×20＝1500（米）.答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢？對不同的解法進行比較，能逐漸形成符合你思維習慣的解題思路.例3一輛自行車在前面以固定的速度行進，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時，要1小時才能追上；如果速度是35千米/小時，要40分鐘才能追上.問自行車的速度是多少？解一：自行車1小時走了30×1-已超前距離，自行車40分鐘走了自行車多走20分鐘，走了因此，自行車的速度是答：自行車速度是20千米/小時.解二：因為追上所需時間=追上距離÷速度差1小時與40分鐘是3∶2.所以兩者的速度差之比是2∶3.請看下面示意圖：馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是35-15＝20（千米/小時）.解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？解：畫一張簡單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸騎的距離是4＋8＝12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的12÷4＝3（倍）.按照這個倍數(shù)計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3＝24（千米）.但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了4＋12＝16（千米）.少騎行24-16＝8（千米）.摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.8＋8＋16＝32.答：這時是8點32分.下面講“相遇問題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時出發(fā)，那么甲走的距離+乙走的距離=甲的速度×時間+乙的速度×時間=（甲的速度+乙的速度）×時間.“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.例5小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇？解：走同樣長的距離，小張花費的時間是小王花費時間的36÷12＝3（倍），因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費的時間是36÷（3＋1）＝9（分鐘）.答：兩人在9分鐘后相遇.例6小張從甲地到乙地，每小時步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時步行4千米.兩人同時出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一張示意圖離中點1千米的地方是A點，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米小張比小王每小時多走（5-4）千米，從出發(fā)到相遇所用的時間是2÷（5-4）＝2（小時）.因此，甲、乙兩地的距離是（5＋4）×2＝18（千米）.本題表面的現(xiàn)象是“相遇”，實質(zhì)上卻要考慮“小張比小王多走多少？”豈不是有“追及”的特點嗎？對小學的應用題，不要簡單地說這是什么問題.重要的是抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對題目中的條件好好想一想.千萬不要“兩人面對面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.請再看一個例子.例7甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，6小時后相遇于C點.如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距C點12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距C點16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一張行程示意圖如下設乙加速后與甲相遇于D點，甲加速后與乙相遇于E點.同時出發(fā)后的相遇時間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不論在D點相遇，還是在E點相遇，所用時間是一樣的，這是解決本題的關鍵.下面的考慮重點轉(zhuǎn)向速度差.在同樣的時間內(nèi)，甲如果加速，就到E點，而不加速，只能到D點.這兩點距離是12＋16＝28（千米），加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時.因此，在D點（或E點）相遇所用時間是28÷5＝5.6（小時）.比C點相遇少用6-5.6＝0.4（小時）.甲到達D，和到達C點速度是一樣的，少用0.4小時，少走12千米，因此甲的速度是12÷0.4＝30（千米/小時）.同樣道理，乙的速度是16÷0.4＝40（千米/小時）.A到B距離是（30＋40）×6＝420（千米）.答：A，B兩地距離是420千米.很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題”.例8如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時，平路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時.問：（1）小張和小王分別從A，D同時出發(fā)，相向而行，問多少時間后他們相遇？（2）相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當某一個人達到終點時，另一人離終點還有多少千米？解：（1）小張從A到B需要1÷6×60＝10（分鐘）；小王從D到C也是下坡，需要2.5÷6×60＝25（分鐘）；當小王到達C點時，小張已在平路上走了25-10＝15（分鐘），走了因此在B與C之間平路上留下3-1＝2（千米）由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時間是2÷（4＋4）×60＝15（分鐘）.從出發(fā)到相遇的時間是25＋15＝40（分鐘）.（2）相遇后，小王再走30分鐘平路，到達B點，從B點到A點需要走1÷2×60=30分鐘，即他再走60分鐘到達終點.小張走15分鐘平路到達D點，45分鐘可走小張離終點還有2.5-1.5=1（千米）.答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達終點時，小張離終點還有1千米.1.2環(huán)形路上的行程問題人在環(huán)形路上行走，計算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關.例9小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1）小張和小王同時從同一地點出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？（2）小張和小王同時從同一點出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？解：（1）75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程.小張的速度是500÷1.25-180=220（米/分）.（2）在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個周長），因此需要的時間是500÷（220-180）＝12.5（分）.220×12.5÷500＝5.5（圈）.答：（1）小張的速度是220米/分；（2）小張跑5.5圈后才能追上小王.例10如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點同時出發(fā)反向行走，他們在C點第一次相遇，C離A點80米；在D點第二次相遇，D點離B點6O米.求這個圓的周長.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個周長；第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應該是從A到C距離的3倍，即A到D是80×3＝240（米）.240-60=180（米）.180×2＝360（米）.答：這個圓的周長是360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達另一村后就馬上返回）.在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少？解：畫示意圖如下：如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時間是40×3÷60＝2（小時）.從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了6×2-2＝10（千米）.小王已走了6＋2=8（千米）.因此，他們的速度分別是小張10÷2＝5（千米/小時），小王8÷2=4（千米/小時）.答：小張和小王的速度分別是5千米/小時和4千米/小時.例12小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達另一村后就馬上返回），他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點離乙村多遠（相遇指迎面相遇）？解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3.5×3＝10.5（千米）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-2＝8.5（千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離（3＋2＋2）倍的行程.其中張走了3.5×7＝24.5（千米），24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地點離乙村1千米.下面仍回到環(huán)行路上的問題.例13繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時速度每走1小時后休息5分鐘；小張以6千米/小時速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發(fā)多少時間第一次相遇？解：小張的速度是6千米/小時，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時間與行程列出下表：12＋15＝27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時10分至3小時15分之間.出發(fā)后2小時10分小張已走了此時兩人相距24-（8＋11）=5（千米）.由于從此時到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時間是5÷（4＋6）＝0.5（小時）.2小時10分再加上半小時是2小時40分.答：他們相遇時是出發(fā)后2小時40分.例14一個圓周長90厘米，3個點把這個圓周分成三等分，3只爬蟲A，B，C分別在這3個點上.它們同時出發(fā)，按順時針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達同一位置？解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時候能到達同一位置.開始時，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C（5-3）厘米0.30÷（5-3）＝15（秒）.因此15秒后B與C到達同一位置.以后再要到達同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90÷（5-3）＝45（秒）.B與C到達同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是15，，105，150，195，……再看看A與B什么時候到達同一位置.第一次是出發(fā)后30÷（10-5）=6（秒），以后再要到達同一位置是A追上B一圈.需要90÷（10-5）＝18（秒），A與B到達同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是6，24，42，，78，96，…對照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達同一位置.答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請思考，3只爬蟲第二次到達同一位置是出發(fā)后多少秒？例15圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時，在BC上的速度是120千米/小時，在CD上的速度是60千米/小時，在DA上的速度是80千米/小時.從CD上一點P，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點相遇.如果從PC中點M，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點N處相遇.求解：兩車同時出發(fā)至相遇，兩車行駛的時間一樣多.題中有兩個“相遇”，解題過程就是時間的計算.要計算方便，取什么作計算單位是很重要的.設汽車行駛CD所需時間是1.根據(jù)“走同樣距離，時間與速度成反比”，可得出分數(shù)計算總不太方便，把這些所需時間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時間分別是24，12，16，18.從P點同時反向各發(fā)一輛車，它們在AB中點相遇.P→D→A與P→C→B所用時間相等.PC上所需時間-PD上所需時間=DA所需時間-CB所需時間=18-12=6.而（PC上所需時間+PD上所需時間）是CD上所需時間24.根據(jù)“和差”計算得PC上所需時間是（24+6）÷2＝15，PD上所需時間是24-15＝9.現(xiàn)在兩輛汽車從M點同時出發(fā)反向而行，M→P→D→A→N與M→C→B→N所用時間相等.M是PC中點.P→D→A→N與C→B→N時間相等，就有BN上所需時間-AN上所需時間=P→D→A所需時間-CB所需時間=（9＋18）-12=15.BN上所需時間+AN上所需時間=AB上所需時間=16.立即可求BN上所需時間是15.5，AN所需時間是0.5.從這一例子可以看出，對要計算的數(shù)作一些準備性處理，會使問題變得簡單些.1.3稍復雜的問題在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個解題技巧：（1）在行程中能設置一個解題需要的點；（2）靈活地運用比例.例16小王的步行速度是4.8千米/小時，小張的步行速度是5.4千米/小時，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時，從乙地到甲地去.他們3人同時出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時間？解：畫一張示意圖：圖中A點是小張與小李相遇的地點，圖中再設置一個B點，它是張、李兩人相遇時小王到達的地點.5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于這段距離也是出發(fā)后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是（5.4-4.8）千米/小時.小張比小王多走這段距離，需要的時間是1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分鐘）.這也是從出發(fā)到張、李相遇時已花費的時間.小李的速度10.8千米/小時是小張速度5.4千米/小時的2倍.因此小李從A到甲地需要130÷2=65（分鐘）.從乙地到甲地需要的時間是130＋65=195（分鐘）＝3小時15分.答：小李從乙地到甲地需要3小時15分.上面的問題有3個人，既有“相遇”，又有“追及”，思考時要分幾個層次，弄清相互間的關系，問題也就迎刃而解了.在圖中設置一個B點，使我們的思考直觀簡明些.例17小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.小華問姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快”？姐姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比是4∶1，那么從公園門口到目的地的距離超過2千米時，回家取車才合算.”請推算一下，從公園到他們家的距離是多少米？解：先畫一張示意圖設A是離公園2千米處，設置一個B點，公園離B與公園離家一樣遠.如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時間，就能往東走到B點.現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)變成：騎車從家開始，步行從B點開始，騎車追步行，能在A點或更遠處追上步行.具體計算如下：不妨設B到A的距離為1個單位，因為騎車速度是步行速度的4倍，所以從家到A的距離是4個單位，從家到B的距離是3個單位.公園到B是1.5個單位.從公園到A是1＋1.5＝2.5（單位）.每個單位是2000÷2.5＝800（米）.因此，從公園到家的距離是800×1.5＝1200（米）.答：從公園門口到他們家的距離是1200米.這一例子中，取計算單位給計算帶來方便，是值得讀者仿照采用的.請再看一例.例18快車和慢車分別從A，B兩地同時開出，相向而行.經(jīng)過5小時兩車相遇.已知慢車從B到A用了12.5小時，慢車到A停留半小時后返回.快車到B停留1小時后返回.問：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時間？解：畫一張示意圖：設C點是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時，從C到A用了12.5-5=7.5（小時）.我們把慢車半小時行程作為1個單位.B到C10個單位，C到A15個單位.慢車每小時走2個單位，快車每小時走3個單位.有了上面“取單位”準備后，下面很易計算了.慢車從C到A，再加停留半小時，共8小時.此時快車在何處呢？去掉它在B停留1小時.快車行駛7小時，共行駛3×7=21（單位）.從B到C再往前一個單位到D點.離A點15-1＝14（單位）.現(xiàn)在慢車從A，快車從D，同時出發(fā)共同行走14單位，相遇所需時間是14÷（2＋3）＝2.8（小時）.慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了7.5＋0.5＋2.8＝10.8（小時）.答：從第一相遇到再相遇共需10小時48分.例19一只小船從A地到B地往返一次共用2小時.回來時順水，比去時的速度每小時多行駛8千米，因此第二小時比第一小時多行駛6千米.求A至B兩地距離.解：1小時是行駛?cè)痰囊话霑r間，因為去時逆水，小船到達不了B地.我們在B之前設置一個C點，是小船逆水行駛1小時到達處.如下圖第二小時比第一小時多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順水速度比逆水速度每小時多行駛8千米，在圖中再設置D點，D至C是8千米.也就是D至A順水行駛時間是1小時.現(xiàn)在就一目了然了.D至B是5千米順水行駛，與C至B逆水行駛3千米時間一樣多.因此順水速度∶逆水速度=5∶3.由于兩者速度差是8千米.立即可得出A至B距離是12＋3=15（千米）.答：A至B兩地距離是15千米.例20從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時40千米，在第二段上，汽車速度是每小時90千米，在第三段上，汽車速度是每小時50千米.已知第一段公路的長恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時出發(fā)，相向而行。1小時20分后，在第二段的解一：畫出如下示意圖：當從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的到達D處，