概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章自測(cè)題

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第四單元自測(cè)題時(shí)間：120分鐘，卷面分值：100分一、填空題：（每空2分，共12分）得分1．設(shè)隨機(jī)變量X與Y，方差D(X)=4，D(Y)=9，相關(guān)系數(shù)XY=，則D(3X-2Y)=。2．已知隨機(jī)變量X~N(0,2)(>0)，Y在區(qū)間[0,3]上遵從均勻分布，若是D(X-Y)=2，則X與Y的相關(guān)系數(shù)XY。=3．二維隨機(jī)變量(X,Y)遵從正態(tài)分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X與Y的相關(guān)系數(shù)XY=-1/2，則當(dāng)a=時(shí)，隨機(jī)變量aX+Y與Y相互獨(dú)立。1e1xx2，，4．設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,4)，Y遵從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為f(x)20，x，00若是

Cov(X,Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X,Z)=Cov(Y,Z)，則

a=

，此時(shí)

X與

Z的相關(guān)系數(shù)為XZ=

。-1，X0，5．設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(-1,2)上遵從均勻分布，隨機(jī)變量Y0，X0，1，X0，則方差D(Y)=。6．設(shè)隨機(jī)變量X遵從參數(shù)為2的泊松分布，用切比雪夫不等式估計(jì)二、單項(xiàng)選擇題：（每題2分，共12分）1．隨機(jī)變量X,Y和X+Y的方差滿足D(X+Y)=D(X)+D(Y)，該條件是

P{X-24}X與Y(

得分)。

。(A)不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件；(B)不相關(guān)的必要條件，但不是充分條件；(C)獨(dú)立的必要條件，但不是充分條件；(D)獨(dú)立的充分必要條件。2．若隨機(jī)變量

X與

Y的方差

D(X),D(Y)都大于零，且

E(XY)=E(X)E(Y)，則有

(

)。(A)X與Y必然相互獨(dú)立；(B)X與Y必然不相關(guān)；(C)D(XY)=D(X)D(Y)；(D)D(X-Y)=D(X)-D(Y)。3．設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布，記隨機(jī)變量U=X+Y，V=X-Y，且協(xié)方差V必然( )。

Cov存在，則

U和(A)不相關(guān)；

(B)相互獨(dú)立；

(C)不獨(dú)立；

(D)

無法判斷。4．若隨機(jī)變量

X與

Y不相關(guān)，則與之等價(jià)的條件是

(

)。(A)D(XY)=D(X)D(Y)；(B)D(X+Y)=D(X-Y)；(C)D(XY)D(X)D(Y)；(D)D(X+Y)D(X-Y)。5．現(xiàn)有

10張獎(jiǎng)券，其中

8張為

2元，2張為

5元，某人從中隨機(jī)地?zé)o放回地抽取

3張，則此人所得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)希望為()。(A)6元；(B)12元；(C)元；(D)9元。6.將長(zhǎng)度為1的木棒隨機(jī)地截成兩段，則兩段長(zhǎng)度的相關(guān)系數(shù)為()。(A)1；(B)1；(C)1；(D)1。22三、判斷題：（每題2分，共12分）得分1.()設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且有D(X)=2，D(Y)=3，則有D(5X-2Y)=4。2.()設(shè)隨機(jī)變量X，Y，且E(X)=5,E(Y)=3,D(X)=2,D(Y)=3,E(XY)=0，則方差D(2X-3Y)=35。3.()設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律為X-112Y-11/41/4011/401/4可知X與Y不相互獨(dú)立，所以X與Y不相關(guān)。1ex,x0,4.()設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)2則X的數(shù)學(xué)希望為1ex,x0,21xexdx1,x0,E(X)20201,1xexdxx0,225.()設(shè)二維隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y)sinxsiny,0x,y,20,其他，/2xsinxsinydxsiny。則數(shù)學(xué)希望E(X)06.()若二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為，x1,0y，f(x,y)其他，0,則隨機(jī)變量X與Y不是不相關(guān)，所以X與Y不相互獨(dú)立。四、計(jì)算題（共34分）1．(8分)設(shè)隨機(jī)變量,是相互獨(dú)立且遵從同一分布，已知的分布律為P{=i}=1/3，i=1,2,3，又設(shè)X=max(,)，Y=min(,)，求(1)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)希望E(X)，(2)X與Y的相關(guān)系數(shù)XY。得分2．(10分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為2x，0x1,0y，f(x,y)，其他，0(1)鑒識(shí)X與Y可否相互獨(dú)立可否相關(guān)(2)求D(X+Y)。得分3．(8分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為，x,0<x<1，f(x,y)1y，其他，0求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，XY。得分4.(8分)設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,,Xn相互獨(dú)立，且都遵從數(shù)學(xué)希望為1的指數(shù)分布，求隨機(jī)變量Z=min{X1,X2,,Xn}的數(shù)學(xué)希望與方差。得分五、應(yīng)用題（共16分）1.(8分)某系某班共有n名再生，班長(zhǎng)從系里領(lǐng)來他們所有的學(xué)生證，隨機(jī)地發(fā)給每一同學(xué)，求恰好拿到自己的學(xué)生證的人數(shù)X的數(shù)學(xué)希望與方差。得分(8分)設(shè)某種商品每周需求量X是遵從區(qū)間(10,30)上均勻分布的隨機(jī)變量，而經(jīng)銷商店進(jìn)貨數(shù)量為區(qū)間[10,30]中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可盈利500元，若供大于求則削價(jià)辦理，每辦理一單位商品損失100元，若供不應(yīng)求，則可從外面調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每單位商品僅盈利300元，求最優(yōu)進(jìn)貨量。得分六、綜合題（14分）設(shè)隨機(jī)變量X12nN(0,1)，記,X,,X(n>2)為獨(dú)立同分布，均遵從X=1n，YiiXi=X-X，i=1,2,,n，ni1(1)求Y的方差D(Y)，i=1,2,,n；ii(2)求Y與Y的協(xié)方差Cov(Y,Y)；1n1n(3)求P{Y+Y0}；1n(4)證明Y1與Yn的相關(guān)系數(shù)為YY1n

1。得分n1《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第四單元自測(cè)題參照答案一、填空題：1．；2.1/4；3.2；4.-1,6/4；5.8/9；6.1/8。二、選擇題：1．C；2.B；3.A；4.B；5.C；6.D。三、判斷題：1．錯(cuò)；2.錯(cuò)；3.錯(cuò)；4.錯(cuò)；5.錯(cuò)；6.對(duì)。四、計(jì)算題1．【答】E(X)=22/9，XY。=8/19【解】X與Y的聯(lián)合分布律為：Y23P{X=i}X111/9001/922/91/903/932/92/91/95/9P{Y=j}5/93/91/91E(X)=22/9，E(Y)=14/9，E(X2)=58/9，E(Y2)=26/9，XY123469P1/92/92/91/92/91/9E(XY)=4。2．【答】(1)不獨(dú)立，相關(guān)。(2)D(X+Y)=5/36。【解】13x,0x1,，fX(x)f(x,y)dy(2xy)dy200,其他,3y,0y1,同理fY(y)f(x,y)dx20,其他,在0<x<1,0<y<1內(nèi)，f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X與Y不相互獨(dú)立。135，由x與y的對(duì)稱性知E(Y)=5E(X)xf(x,y)dxdyx(x)dx，0212121112x)dx1，E(XY)xyf(x,y)dxdyxdxy(2xy)dyx(0003361x2(31E(X2)x2fX(x)dxx)dxE(Y2)，02422，D(X)=E(X)-(E(X))=11/144=D(Y)，Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=/144-ρXYCov(X,Y)1D(X)D(X)0，故X與Y相關(guān)。11D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=5/36。3．【答】E(X)=2/3，E(Y)=0(由奇偶性及對(duì)稱性)，D(X)=1/18，D(Y)=1/6，XY=0。方法同上例，略。4.【答】E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2?！窘狻侩S機(jī)變量X12n的分布函數(shù)為1ez,z0,,X,,XFX(z)z0,0,則FZ(z)1(1FX(z))n1enz,z0,0,z0,即Z遵從參數(shù)為1/n的指數(shù)分布，故E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2。五、應(yīng)用題1.【答】E(X)=1，D(X)=1?！窘狻吭O(shè)隨機(jī)變量Xi

1,0,

若第i名學(xué)生拿到自己的學(xué)生證,i1,2,L,n，若第i名學(xué)生沒拿到自己的學(xué)生證,1111,2,L,n，E(Xi)，D(Xi)n2，inn又X=X1+L+Xn，注意X1,X2,,Xn不相互獨(dú)立，E(X)=E(X1+L+Xn)=E(X1)+L+E(Xn)=1，又PXiXj1PXi1PXj1Xi111n1，nXiXj01P111n(n1)n(n1)于是1，Cov(Xi,Xj)E(XiXj)E(Xi)E(Xj)1，(ij)E(XiXj)n2(nn(n1)1)D(X)=D(X1+L+Xn)=D(X1)+L+D(Xn)2Cov(Xi,Xj)1ijnn(112)2Cn2211)1。nnn(n2.【答】約23單位商品?！窘狻?1)由題設(shè)，X的概率密度為f(x)1,10x30,200,其他，設(shè)進(jìn)貨量為a，則利潤(rùn)為Mag(X)500X(aX)100,10Xa,500a(Xa)300,aX30,600X100a,10Xa,300X200a,aX30,30g(x)1dx1a30E(Ma)((600x100a)dx(300x200a)dx)10202010a=-7.5a2+350a+5250，求最優(yōu)進(jìn)貨量，即求使E(Ma)達(dá)到最大值的a，E(Ma)=(a-(350/15))2+，從而a=350/15=，即進(jìn)23單位該種商品為最正確。六、綜合題【答】(1)n1；(2)1；(3)1/2。nn【解】(1)由題設(shè)，X1,X2,,nX相互獨(dú)立，所以Yi=XiX1X1L1Xi1(11Xi)1Xi1L1Xn，i=1,2,,n,nnnnn11n121nD(Yi)=D(Xi-X)=D((1-n)Xi-nj=1Xj)=(1-n)D(Xi)n2j=1D(Xj)jiji=(1-1)212(n1)n1，i=1,2,,n。nnn(2)利用協(xié)方差的性質(zhì)Cov(Y1,Yn)n11111n1Cov(nX1-nX2-L-nXn,-nX1-nX2-L-nXn)因?yàn)閄1,X2,,nX相互獨(dú)立，1-nD(X1)1(D(X2)LD