歐氏空間的定義與基本性質(zhì)

歐氏空間的定義與基本性質(zhì)第1頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五問題的引入：性質(zhì)(如長度、夾角)等在一般線性空間中沒有涉及.其具體模型為幾何空間、

1、線性空間中，向量之間的基本運(yùn)算為線性運(yùn)算，但幾何空間的度量長度：都可以通過內(nèi)積反映出來：夾角

：2、在解析幾何中，向量的長度，夾角等度量性質(zhì)3、幾何空間中向量的內(nèi)積具有比較明顯的代數(shù)性質(zhì).第2頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五滿足性質(zhì)：當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)一、歐氏空間的定義1.定義設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的線性空間，對V中任意兩個(gè)向量、定義一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，記作，若（對稱性）（數(shù)乘）（可加性）（正定性）第3頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五①

V為實(shí)數(shù)域R上的線性空間;②V除向量的線性運(yùn)算外，還有“內(nèi)積”運(yùn)算;③

歐氏空間V是特殊的線性空間則稱

為

和

的內(nèi)積，并稱這種定義了內(nèi)積的實(shí)數(shù)域R上的線性空間V為歐氏空間.注：第4頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五例1．在中，對于向量

當(dāng)時(shí)，1）即為幾何空間中內(nèi)積在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式.即這樣對于內(nèi)積就成為一個(gè)歐氏空間.易證滿足定義中的性質(zhì)～.1）定義

（1）

所以,為內(nèi)積.第5頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五2）定義

從而對于內(nèi)積也構(gòu)成一個(gè)歐氏空間.由于對未必有注意：所以1），2）是兩種不同的內(nèi)積.從而對于這兩種內(nèi)積就構(gòu)成了不同的歐氏空間.易證滿足定義中的性質(zhì)～.所以也為內(nèi)積.第6頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五例2．為閉區(qū)間上的所有實(shí)連續(xù)函數(shù)所成線性空間，對于函數(shù)，定義（2）

則對于（2）作成一個(gè)歐氏空間.證：

第7頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五且若則從而故因此，為內(nèi)積，為歐氏空間.第8頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五推廣：

2.內(nèi)積的簡單性質(zhì)V為歐氏空間，第9頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五2)歐氏空間V中，使得有意義.二、歐氏空間中向量的長度1.引入長度概念的可能性1）在向量的長度（模）

2.向量長度的定義稱為向量的長度.特別地，當(dāng)時(shí)，稱為單位向量.

第10頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五3.向量長度的簡單性質(zhì)3）非零向量的單位化：

（3）

第11頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五1）在

中向量與的夾角

2）在一般歐氏空間中推廣（4）的形式，首先三、歐氏空間中向量的夾角1.引入夾角概念的可能性與困難應(yīng)證明不等式：

此即,（4）

第12頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五對歐氏空間V中任意兩個(gè)向量，有（5）2.柯西－布涅柯夫斯基不等式當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時(shí)等號成立.證：當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.當(dāng)時(shí)，作向量第13頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五由內(nèi)積的正定性，對，皆有（6）取代入（6）式，得即兩邊開方，即得第14頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)線性相關(guān)時(shí)，不妨設(shè)于是，(5)式等號成立.反之，若（5）式等號成立，由以上證明過程知或者，或者也即線性相關(guān).第15頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五3.柯西－布涅柯夫斯基不等式的應(yīng)用柯西不等式（7）1）第16頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五施瓦茲不等式由柯西－布涅柯夫斯基不等式有從而得證.證：在中，與的內(nèi)積定義為2）第17頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五（7）

證：

兩邊開方，即得（7）成立.對歐氏空間中的任意兩個(gè)向量有3）三角不等式第18頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)V為歐氏空間，為V中任意兩非零向量，的夾角定義為4.歐氏空間中兩非零向量的夾角定義1：第19頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五①零向量與任意向量正交.注：②即.設(shè)為歐氏空間中兩個(gè)向量，若內(nèi)積

則稱與正交或互相垂直，記作

定義2：第20頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五5.勾股定理設(shè)V為歐氏空間，證：第21頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五若歐氏空間V中向量兩兩正交，推廣：則證：若則即第22頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五例3、已知在通常的內(nèi)積定義下，求解：又通常稱為與的距離，記作第23頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)V為歐氏空間，為V的一組基，對V中任意兩個(gè)向量四、n維歐氏空間中內(nèi)積的矩陣表示令（8）第24頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五定義：矩陣稱為基的度量矩陣.（9）則（10）第25頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五①度量矩陣A是實(shí)對稱矩陣.②由內(nèi)積的正定性，度量矩陣A還是正定矩陣.注：事實(shí)上，對，即有為正定矩陣.③由（10）知，在基下，向量的內(nèi)積由度量矩陣A完全確定.第26頁，共29頁，2023年，2月20日，星期五

④對同一內(nèi)積而言，不同基的度量矩陣是合同的.證：設(shè)為歐氏空間V的兩組基，它們