06光纖模式理論

6.1光纖電磁場(chǎng)方程6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法6.3光纖線偏振模6.4梯度光纖模場(chǎng)分析矢量解法：求解滿足邊界條件的矢量Helmholtz方程，精確分析光纖中場(chǎng)傳輸問題，確定各模式場(chǎng)的所有分量及傳播常數(shù)。嚴(yán)格、復(fù)雜。直角坐標(biāo)系：電磁場(chǎng)的任一分量都滿足標(biāo)量Helmholtz方程。柱坐標(biāo)系：只有Ez和Hz滿足標(biāo)量Helmholtz方程。矢量法是從求解Ez和Hz的標(biāo)量Helmholtz方程出發(fā)，再通過兩縱向分量求得其余的橫向分量。標(biāo)量解法：對(duì)于弱導(dǎo)光纖，橫向場(chǎng)是主要分量，光波近似為準(zhǔn)TEM波，這時(shí)可繼續(xù)選取直角坐標(biāo)系，近似地認(rèn)為電場(chǎng)和磁場(chǎng)的橫向分量均滿足標(biāo)量Helmholtz方程。本章將用兩種方法對(duì)階躍光纖和梯度光纖加以分析。6.1光纖的電磁場(chǎng)方程矢量Helmholtz方程直角坐標(biāo)系中

柱坐標(biāo)系中電磁場(chǎng)的任一分量u均滿足方程圖6.1柱坐標(biāo)系及光纖結(jié)構(gòu)6.1光纖的電磁場(chǎng)方程方向

方向

方向只有縱向分量Ez、Hz滿足標(biāo)量形式的Helmholtz方程6.1光纖的電磁場(chǎng)方程電磁場(chǎng)橫向分量電磁場(chǎng)的橫向分量均可由縱向分量表示6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.1芯區(qū)和包層的電磁場(chǎng)分離變量法求解6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.1芯區(qū)和包層的電磁場(chǎng)

角向函數(shù)()方程的解：由邊值關(guān)系可知，芯區(qū)和包層中的()應(yīng)按相同的規(guī)律變化。

()必以2為周期

m只能取整數(shù),

m＝0，1，2，

…Ez：Hz：Ez：Hz：6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.1芯區(qū)和包層的電磁場(chǎng)

徑向函數(shù)R(r)芯區(qū)r≤a，n=n1合理解為Bessel方程附Bessel方程和Bessel函數(shù)Bessel方程第一類Bessel函數(shù)第二類Bessel函數(shù)也稱Neumann函數(shù)Bessel函數(shù)遞推關(guān)系：附Bessel方程和Bessel函數(shù)第一類變形Bessel函數(shù)第二類變形Bessel函數(shù)Bessel函數(shù)遞推關(guān)系：Bessel方程x→ix

變形Bessel方程：6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.1芯區(qū)和包層的電磁場(chǎng)

徑向函數(shù)R(r)

包層

r>a，n=n2導(dǎo)模場(chǎng)應(yīng)該隨r的增加而衰減，方程解應(yīng)為變形Bessel函數(shù)。合理解為6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.1芯區(qū)和包層的電磁場(chǎng)

芯區(qū)r≤a，n=n1包層r>a，n=n2模式遠(yuǎn)離截止時(shí)U→0，W→V；

臨近截止?fàn)顟B(tài)U→V，W→0.

模參量設(shè)計(jì)參量歸一化頻率歸一化徑向相位常數(shù)歸一化徑向衰減常數(shù)無量綱6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.1芯區(qū)和包層的電磁場(chǎng)

邊值關(guān)系

電磁場(chǎng)縱向分量6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.1芯區(qū)和包層的電磁場(chǎng)

電磁場(chǎng)橫向分量U、W、待定A、B待定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為對(duì)宗量求導(dǎo)Ezsin，Hzcos6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.2導(dǎo)模特征方程

利用邊值關(guān)系

特征方程確定U、W、(三者中只一個(gè)獨(dú)立)。模場(chǎng)分布6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.3導(dǎo)模分類

TE模和TM模

根據(jù)模式序數(shù)m和場(chǎng)的特性，光纖中的模式分為四類。（1）TE模m=0，A＝0

(Ez=0)TE模特征方程（2）TM模m=0，B＝0

(Hz=0)TM模特征方程場(chǎng)量只有Er、Ez

H場(chǎng)量只有E、Hr

Hz弱導(dǎo)近似，

n1≈n2，TE和TM模特征方程相同，二者簡(jiǎn)并。m=0，A、B中必有一個(gè)為零TE、TM模場(chǎng)量與無關(guān)，軸對(duì)稱6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.3導(dǎo)模分類

EH模和HE模

m0，A0，B

0，Ez

0，Hz

0，混合模EH模

“+”HE模

“”6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.3導(dǎo)模分類

EH模和HE模EH模特征方程HE模特征方程考慮弱導(dǎo)近似，

n1≈n2Bessel遞推關(guān)系Bessel遞推關(guān)系A(chǔ)、B同號(hào)，六個(gè)場(chǎng)分量，角向函數(shù)：sinm,cosm,exp(i

m)A、B異號(hào)，六個(gè)場(chǎng)分量，場(chǎng)無對(duì)稱性6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.4導(dǎo)模截止條件與單模傳輸TE模、TM模、EH模和HE模四類導(dǎo)模，每一類都由一系列模式構(gòu)成，分別標(biāo)記為TE0n、TM0n、EHmn、HEmnm是與場(chǎng)的角分布有關(guān)的模序數(shù)，m=1,

2,

3…n是與場(chǎng)的徑向分布有關(guān)的模序數(shù)，n=1,

2,

3…6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.4導(dǎo)模截止條件與單模傳輸

TE0n模TM0n模

（弱導(dǎo)，簡(jiǎn)并）簡(jiǎn)記為圖6.3TE/TM模特征方程圖像解法Bessel函數(shù)Jm(x)的零點(diǎn)umn低階TE0n/TM0n模特征值U0n的范圍

u0n＜U0n＜u1nTE0n/TM0n模特征值截止限

U0nc＝u0nTE0n/TM0n歸一化頻率截止限

V0nc＝u0n

V01

c＝2.4056.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.4導(dǎo)模截止條件與單模傳輸

EHmn模

（m1，

n1）圖6.4EHmn模的J-K曲線簡(jiǎn)記為Bessel函數(shù)Jm(x)的零點(diǎn)umnEHmn模特征值Umn的范圍

umn＜Umn＜um+1,nUmnc＝

Vmnc＝umn低階模EH11Vmnc＝u11＝3.8326.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.4導(dǎo)模截止條件與單模傳輸

HEmn模

HE1n模（m=1，

n1）圖6.5HE1n模的J-K曲線HE1n模特征值U1n的范圍

u1,n-1＜U1n＜u0,nV1nc=U1nc＝u1,n-1光纖的HE11模永不截止！光纖主模：HE11模簡(jiǎn)記為HE11模:u1,0=00＜U11

＜2.405V11c=U11

c＝06.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.4導(dǎo)模截止條件與單模傳輸

HEmn模

（m2，

n1）圖6.6HEmn模的J-K曲線簡(jiǎn)記為HEmn模特征值Umn的范圍

um-2,n＜Umn＜um-1,nHEmn特征值及歸一化頻率截止限

Vmnc=Umnc＝um-2,nBessel遞推關(guān)系6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.4導(dǎo)模截止條件與單模傳輸

單模條件

光纖的歸一化頻率即光纖設(shè)計(jì)參數(shù)V小于某模特征值的截止限Uc時(shí)，相應(yīng)的模式截止。TE01/TM01模截止限

Vc＝u01＝2.405EH11模截止限Vc＝u11＝3.832HE11模截止限Vc＝0

只要V<2.405，除HE11模外其它所有模截止。HE21:Vc＝2.405；

HE12:Vc＝3.832

6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.4導(dǎo)模截止條件與單模傳輸

單模條件

例：當(dāng)光纖參數(shù)

=0.003，

n1=1.46，a=4m時(shí)，若要求光纖只傳輸主模，則光波長(zhǎng)需滿足什么條件？例：光纖參數(shù)

=0.003，

n1=1.46，若實(shí)現(xiàn)

=1.31m光的單模傳輸，則光纖芯徑不能超過多少微米？所以對(duì)1.53

m的光波該光纖可實(shí)現(xiàn)單模傳輸，而對(duì)0.85

m的光，該光纖不是單模光纖。通常的單模光纖芯徑2a:

8~10m.6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.5光纖模色散曲線

歸一化頻率歸一化傳播常數(shù)由光纖設(shè)計(jì)參量可知光纖內(nèi)導(dǎo)模存在情況，并可對(duì)光纖進(jìn)行設(shè)計(jì)。通過特征方程確定傳播常數(shù)后可知道光纖內(nèi)電磁場(chǎng)的分布。圖6.7光纖的歸一化模色散曲線簡(jiǎn)并消除情況6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.6導(dǎo)模電磁場(chǎng)分布

TE0n和TM0n模

每一個(gè)確定的導(dǎo)波模式對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的電磁場(chǎng)分布U，W，TE0n模場(chǎng)TM0n模場(chǎng)包層區(qū)域的場(chǎng)，只須用函數(shù)K代替J，用W代替U即可。

圖6.8TE模與TM模的場(chǎng)型圖TE01EHrTE026.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.6導(dǎo)模電磁場(chǎng)分布

TE0n和TM0n模

由場(chǎng)線描述的場(chǎng)分布:各點(diǎn)的場(chǎng)線方向表示該點(diǎn)電場(chǎng)、磁場(chǎng)的方向，場(chǎng)線密度表示場(chǎng)幅。TE0n和TM0n模非零的場(chǎng)分量呈軸對(duì)稱性。TM01HErTM01n表示場(chǎng)量在徑向出現(xiàn)極值的個(gè)數(shù)。Ref:E.SNITZER,JournaloftheOPTICALOfSOCIETYAMERICA,1961,51(5):491-4986.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.6導(dǎo)模電磁場(chǎng)分布

HEmn模

Ezsinm；Hz

cosm包層區(qū)域的場(chǎng)，只須用函數(shù)K代替J，用W代替U即可。角向函數(shù)的另一種選擇Ezcosm；HzsinmHEmnHEmn模二度簡(jiǎn)并6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.6導(dǎo)模電磁場(chǎng)分布

HEmn模

圖6.9HE模場(chǎng)型圖電場(chǎng)線和磁場(chǎng)線是根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的所有分量的矢量和得到的，所以總場(chǎng)與某一個(gè)場(chǎng)分量的分布規(guī)律可能不完全一致，如角向上，矢量場(chǎng)可能不按sinm或cosm

的形式變化，HE11模就屬此種情況。6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.6導(dǎo)模電磁場(chǎng)分布

HEmn模

HE12模場(chǎng)型圖m相同而n不同時(shí)，各模式的電場(chǎng)線或磁場(chǎng)線的曲線形狀是類似的,但沿徑向的疏密分布狀況不同，n表示場(chǎng)量在徑向出現(xiàn)極大值的個(gè)數(shù)。Ref:E.SNITZER,JournaloftheOPTICALOfSOCIETYAMERICA,1961,51(5):491-4986.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.6導(dǎo)模電磁場(chǎng)分布

EHmn模

Ezsinm；Hz

cosm包層區(qū)域的場(chǎng)，只須用函數(shù)K代替J，用W代替U即可。角向函數(shù)的另一種選擇Ezcosm；HzsinmEHmnEHmn模二度簡(jiǎn)并6.2階躍光纖電磁場(chǎng)方程的矢量解法

6.2.6導(dǎo)模電磁場(chǎng)分布

EHmn模

圖6.10EH模場(chǎng)型圖6.3光纖的線偏振模

6.3.1場(chǎng)的直角分量與場(chǎng)方程的標(biāo)量解法

弱導(dǎo)光纖模式場(chǎng)的直角分量與線偏振模

=10－2～10－3光線近似沿軸傳播橫場(chǎng)與縱場(chǎng)振幅之比弱導(dǎo)光纖，縱場(chǎng)分量總是很小，光波可按準(zhǔn)TEM波處理橫向電、磁場(chǎng)間存在特殊關(guān)系和平面波特性一致，電場(chǎng)與磁場(chǎng)正交，且都與z軸垂直，傳播過程中保持偏振狀態(tài)不變，稱為線偏振模(LinearPolarizedmode)，簡(jiǎn)稱LP模?？衫^續(xù)用直角分量描述場(chǎng)，選擇直角坐標(biāo)系，問題得到簡(jiǎn)化。6.3光纖的線偏振模

6.3.1場(chǎng)的直角分量與場(chǎng)方程的標(biāo)量解法

橫場(chǎng)標(biāo)量方程及其解

基于弱導(dǎo)時(shí)電磁波特性的分析，可近似認(rèn)為橫向電場(chǎng)和磁場(chǎng)的x或y分量都滿足標(biāo)量Helmholtz方程。橫場(chǎng)偏振方向有兩種（Ey，Hx)和（Ex，Hy)。當(dāng)E=Ey時(shí)，標(biāo)量Helmholtz方程為采用圓柱坐標(biāo)便于應(yīng)用邊界條件。分離變量法求解方程，得式中的負(fù)號(hào)是為了保證

的方向沿z軸正向。6.3光纖的線偏振模

6.3.1場(chǎng)的直角分量與場(chǎng)方程的標(biāo)量解法

橫場(chǎng)標(biāo)量方程及其解

縱向分量6.3光纖的線偏振模

6.3.2線偏振模及簡(jiǎn)并度

LP模特征方程對(duì)確定的m值，特征方程有一系列滿足導(dǎo)模條件的解Umn，一組m和n對(duì)應(yīng)著一個(gè)模式和確定的場(chǎng)分布，就是光纖中的一個(gè)線偏振模式，記作LPmn模，(m=0,1,2…,

n=1,2,3…,

)

也稱為標(biāo)量模。特征方程二者等價(jià)6.3光纖的線偏振模

6.3.2線偏振模及簡(jiǎn)并度

LP模特征方程的解EHmn模特征方程求解示意圖LPmn模特征值及截止限EHm-1HEm+1LP0nHE1n6.3光纖的線偏振模

6.3.2線偏振模及簡(jiǎn)并度

LP模歸一化色散曲線階躍光纖LPmn模的色散曲線6.3光纖的線偏振模

6.3.2線偏振模及簡(jiǎn)并度

LP模簡(jiǎn)并度LPmn模徑向函數(shù)：電場(chǎng)有沿x向和y向兩種正交的偏振模式LPmn模角向函數(shù)：LPmn模:四種偏振模式，簡(jiǎn)并度：4m≠0時(shí)LP0n模簡(jiǎn)并度：2

m=0時(shí)，場(chǎng)與無關(guān)，只有兩種正交的線偏振模式：線偏振模體系中，光纖的主模是LP01.6.3光纖的線偏振模

6.3.3LPmn模的矢量模組成LPmn模是弱導(dǎo)近似下根據(jù)場(chǎng)的標(biāo)量解進(jìn)行命名的，場(chǎng)具有偏振特性，其橫向場(chǎng)的徑向分布為

Jm和Km，角向分布函數(shù)為

cosm或sinm

。特征方程統(tǒng)一為一個(gè)。

矢量模(TE,

TM,

EH,

HE模)有各自的電磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)和特征方程?？v向場(chǎng)的徑向分布為

Jm和Km，角向分布函數(shù)為

cosm或sinm

。其實(shí)各類矢量模式只要傳播常數(shù)相同，模向電磁場(chǎng)疊加，就會(huì)形成線偏振模。

根據(jù)矢量模的場(chǎng)直角分量的分布規(guī)律及各矢量模特征方程的特點(diǎn)，對(duì)全部矢量模式按照線偏振模的命名規(guī)則進(jìn)行歸并重組，可以得到線偏振模與矢量模的關(guān)系。6.3光纖的線偏振模

6.3.3LPmn模的矢量模組成

矢量模的直角分量TE0n

模橫電磁場(chǎng)包層場(chǎng):UW，J1K1（Wr/a)TM0n模橫電場(chǎng)6.3光纖的線偏振模

6.3.3LPmn模的矢量模組成

矢量模的直角分量EHmn

模的橫電場(chǎng)(m1)包層場(chǎng):UW，J1K1（Wr/a)HEmn模的橫電場(chǎng)(m1)

6.3光纖的線偏振模

6.3.3LPmn模的矢量模組成

矢量模LP模橫向場(chǎng)徑向函數(shù)按J0(Ur/a)變化的模式：

HE1n模LP0n模二者特征方程相同，模參量相同，范圍

主模/基模：LP0n模6.3光纖的線偏振模

6.3.3LPmn模的矢量模組成

矢量模LP模橫向場(chǎng)徑向函數(shù)按J1(Ur/a)變化的模式：LP1n模TE0n

模、

TM0n

模、HE2n模三個(gè)矢量模與LP1n模特征方程相同，模參量相同，范圍TE0n

：TM0n

：HE2n

：橫向場(chǎng)規(guī)律相同的矢量模，角向函數(shù)具有可疊加性橫向場(chǎng)角向函數(shù)6.3光纖的線偏振模

6.3.3LPmn模的矢量模組成

矢量模LP模圖6.12LP11模的四種線偏振基模6.3光纖的線偏振模

6.3.3LPmn模的矢量模組成

矢量模LP模橫向場(chǎng)徑向函數(shù)按Jm(Ur/a)變化的模式：LPmn模EHm-1,n

模、HEm+1,n模兩矢量模與LPmn模特征方程相同，模參量相同，范圍EHm-1,n

：HEm+1,n

：四種角向模式疊加，形成線偏振的LP模，

LPmn模4度簡(jiǎn)并。橫向場(chǎng)角向函數(shù)6.3光纖的線偏振模

6.3.3LPmn模的矢量模組成

矢量模LP模LP模僅在弱導(dǎo)光纖中有意義。矢量模是嚴(yán)格求解給出的，弱導(dǎo)條件下，由于模式簡(jiǎn)并，矢量模疊加，形成便于實(shí)驗(yàn)觀察的線偏振模。相應(yīng)各模的歸一化頻率截止限6.3光纖的線偏振模

6.3.4LP模光強(qiáng)和功率

矢量模光強(qiáng)芯內(nèi)光強(qiáng)包層中光強(qiáng)矢量模場(chǎng)的光強(qiáng)分布與無關(guān)，各向同性，基模為中心亮斑，高階模為環(huán)形結(jié)構(gòu)。6.3光纖的線偏振模

6.3.4LP模光強(qiáng)和功率

LP模光強(qiáng)由于矢量模的疊加，有實(shí)際意義的是光纖中傳輸?shù)木€偏振模角向分布：。。。徑向分布。。。6.3光纖的線偏振模

6.3.4LP模光強(qiáng)和功率

LPmn模的光斑圖像光強(qiáng)徑向分布函數(shù)函數(shù)零點(diǎn)線在光斑中表現(xiàn)為暗環(huán)線，有

n-1條。角向分布函數(shù)零點(diǎn)線在光斑中表現(xiàn)為過芯軸的暗直線，有

m條。圖6.13LP模的偏振基模光斑圖像亮斑數(shù)：6.3光纖的線偏振模

6.3.4LP模光強(qiáng)和功率

LPmn模功率與功率因子(m=0時(shí)=2;m0時(shí)=1)功率因子：遠(yuǎn)離截止時(shí),U0,WV,mn1近截止時(shí),UV,W0,m=0,1時(shí)mn0;

m2時(shí)mn1-1/m6.3光纖的線偏振模

6.3.4LP模光強(qiáng)和功率

LPmn模功率與功率因子對(duì)于LP0n模和LP1n模，接近截止?fàn)顟B(tài)時(shí)，功率幾乎完全轉(zhuǎn)移到包層中傳輸，但對(duì)m較大的高階模，即使在近截止?fàn)顟B(tài)，仍有相當(dāng)多的功率保留在纖芯中，m越大，

mn越大，保留在纖芯中的功率越多。圖6.14光纖LPmn模mn-V曲線6.3光纖的線偏振模

6.3.5階躍多模光纖的導(dǎo)模數(shù)量對(duì)于確定的光纖和工作波長(zhǎng)，只要?dú)w一化頻率V值大于LP模的特征值截止限um-1,n

，該模即可傳輸。

當(dāng)

V>>1時(shí)，全部可以傳輸?shù)膶?dǎo)模數(shù)量可以估算出來。問題：確定滿足

的Bessel函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)目。由于LP模4度簡(jiǎn)并，估算的導(dǎo)模數(shù)量近似為6.4梯度光纖模場(chǎng)分析梯度光纖纖芯折射率沿徑向漸變，不同模式的傳播速度十分接近，具有低色散的特性。梯度光纖的折射率分布可以表示為f(r)呈平方律分布的光纖：6.4梯度光纖模場(chǎng)分析

6.4.1梯度光纖場(chǎng)方程及標(biāo)量解非均勻介質(zhì)時(shí)的亥姆霍茲方程弱導(dǎo)條件下，方程中第三項(xiàng)與前兩項(xiàng)相比，可以忽略設(shè)導(dǎo)模遠(yuǎn)離截止：模場(chǎng)能量幾乎完全集中在芯區(qū)，而包層參數(shù)的變