第13講 軸對稱與旋轉(zhuǎn)（知識點梳理）（記誦版）-【2022年】中考數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)（知識點·易錯點·題型訓(xùn)練·壓軸題組）

第13講軸對稱與旋轉(zhuǎn)知識點梳理考點01軸對稱1.軸對稱圖形如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸，這時，我們也說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱.2.軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點.3軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系名稱關(guān)系軸對稱軸對稱圖形區(qū)別意義不同兩個圖形之間的對稱關(guān)系具有特殊形狀的圖形對象不同兩個圖形一個圖形對稱軸的位置不同在兩個圖形之間過圖形的某條直線對稱軸的數(shù)量不同只有一條不一定只有一條聯(lián)系(1)沿對稱軸折疊，兩個圖形重合；(2)如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形(1)沿對稱軸折疊，圖形的兩部分重合；(2)如果把軸對稱圖形的兩部分看作兩個圖形，那么這兩個圖形成軸對稱4.線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.5.圖形軸對稱的性質(zhì)(1)如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線，如圖，MN為AB的垂直平分線.(2)軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線。6.線段的垂直平分線的性質(zhì)(1)線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.(2)與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.7.線段垂直平分線的尺規(guī)作圖已知線段AB，求作AB的垂直平分線.作法：分別以點A和點B為圓心，大于12作直線CD。CD就是所求作的直線。8.利用垂直平分線解決實際問題線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，利用此性質(zhì)可以解決生活中由同一點到幾個不同地點距離相等的問題.9.畫圖形的對稱軸如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線，因此，我們只要找到一對對應(yīng)點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸.同樣，對于軸對稱圖形，只要找到任意一組對應(yīng)點，作出對應(yīng)點所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸。考點02畫軸對稱圖形1.畫軸對稱圖形(1)由一個平面圖形可以得到與它關(guān)于一條直線l對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同。新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關(guān)于直線l的對稱點；連接任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分。(2)畫一個圖形的軸對稱圖形的方法①找一在原圖形上找特殊點（如線段的端點）②作一作各個特殊點關(guān)于對稱軸的對稱點③連一依次連接各對稱點2.用坐標(biāo)表示軸對稱(1)已知點關(guān)于x軸或y軸對稱的點的坐標(biāo)的規(guī)律◎點(x，y)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(x，-y).a點(x，y)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為(-x，y).此外，點(x，y)關(guān)于第一、三象限角平分線的對稱點的坐標(biāo)為(y，x)；點(x，y)關(guān)于第二、四象限角平分線的對稱點的坐標(biāo)為(-y，-x).(2)在坐標(biāo)系中畫出一個已知圖形的對稱圖形對于某些圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形?？键c03等腰三角形1.等腰三角形：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角。頂角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形。2.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)。性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）。3.等腰三角形的判定(1)定義法：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。(2)如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”）。4.等邊三角形：等邊三角形是三邊都相等的三角形，也叫正三角形。5.等邊三角形的性質(zhì)(1)等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°。(2)等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，三條對稱軸交于一點，該點稱為“中心”。(3)等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì)。(4)等邊三角形外心、內(nèi)心、重心、垂心四心合一。6.等邊三角形的判定(1)定義法：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形.(3)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.7.含30°角的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.如圖，在Rt△ABC中，∠A=30°，則BC=考點04最短路徑問題1.求直線異側(cè)的兩點到直線上一點距離的和最小的問題，只要連接這兩點，所得線段與直線的交點即為所求的位置.點A，點B分別是直線l異側(cè)的兩個點，在l上找到一個點C，使CA+CB最小，這時點C是直線l與AB的交點，如圖所示。2.求直線同側(cè)的兩點到直線上一點距離的和最小的問題，只要找到其中一個點關(guān)于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，所得線段與該直線的交點即為所求的位置.點A，點B分別是直線l同側(cè)的兩個點，在l上找到一個點C，使CA+CB最小.這時先作點A關(guān)于直線l的對稱點A＇，則點C是直線l與A＇B的交點；或者先作點B關(guān)于直線l的對稱點B＇，則點C是直線l與直線AB＇的交點，如圖所示?？键c05圖形的旋轉(zhuǎn)1.定義：把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一個角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角.如果圖形上的點P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cP＇，那么這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點.2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(1)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.(2)對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.3.圖形的旋轉(zhuǎn)：把一個圖案進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，選擇不同的旋轉(zhuǎn)中心、不同的旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)同一個圖案，會出現(xiàn)不同的效果.(1)旋轉(zhuǎn)中心不變，改變旋轉(zhuǎn)角如下圖所示的四邊形ABCD的旋轉(zhuǎn)圖形，是以O(shè)點為中心，分別以40°，60°為旋轉(zhuǎn)角順時針旋轉(zhuǎn)得到的(2)旋轉(zhuǎn)角不變，改變旋轉(zhuǎn)中心考點06中心對稱1.中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心.這兩個圖形在旋轉(zhuǎn)后能重合的對應(yīng)點叫做關(guān)于對稱中心的對稱點。2.中心對稱的性質(zhì)(1)中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分.(2)中心對稱的兩個圖形是全等圖形。3.簡單圖形的中心對稱圖形的畫法(1)在圖形中找到各線段的端點，如點A，B，C，然后作出點A，B，C關(guān)于對稱中心O的對稱點A＇，B＇，C＇.(2)按原圖形中點的連接順序?qū)ΨQ點相應(yīng)地連接起來。4.中心對稱圖形(1)中心對稱圖形的概念：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心；線段和平行四邊形是最常見的中心對稱圖形，線段的對稱中心是它的中點，平行四邊形的對稱中心是它兩條對角線的交點。(2)中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系中心對稱中心對稱圖形區(qū)別(1)是針對兩個圖形而言的；(2)是指兩個圖形的位置關(guān)系(1)是針對一個圖形而言的；(2)是指具有某種性質(zhì)的一個圖形聯(lián)系(1)都是通過把圖形旋轉(zhuǎn)180°重合來定義的；(2)兩者可相互轉(zhuǎn)化，若把中心對稱的兩個圖形看成一個整體，那么這“一個圖形”就是中心對稱圖形；反之，若把一個中心對稱圖形