三次樣條函數(shù)的定解條件

課題二、船體型線的數(shù)值表示（二）三次樣條函數(shù)

課題二、船體型線的數(shù)值表示（二）三次樣條函數(shù)的定解條件一、概述這是我們推導(dǎo)出的三次樣條函數(shù)，將其寫出普通的形式注意x的變化范圍Pi+1Pi

其實(shí)，這只是在相鄰兩壓鐵點(diǎn)之間的一段曲線函數(shù)。

而三次樣條函數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這一段，上面的函數(shù)只是其中的任意一段。

那么，任意一段函數(shù)都是三次樣條函數(shù)，各個(gè)函數(shù)的區(qū)別只是在待定系數(shù)。式中不再只有四個(gè)待定系數(shù)，而是有4（n-1）個(gè)。三次樣條函數(shù)的通式：

可見，要求出三次樣條函數(shù)必須確定這4(n-1)個(gè)待定系數(shù)，要得到4(n-1)個(gè)獨(dú)立的方程。二、三次樣條函數(shù)的定解條件1、三次樣條函數(shù)的特點(diǎn)

三次樣條函數(shù)主要是用在飛機(jī)、汽車、船舶、建筑物和熒光屏的工程設(shè)計(jì)中，這些曲面或曲線要求連續(xù)且光順的。所以，三次樣條函數(shù)就應(yīng)該滿足連續(xù)且光順的條件。（1）通過所有的插值節(jié)點(diǎn)

可以得到n個(gè)方程插值條件（3）內(nèi)節(jié)點(diǎn)（即除去前后兩端點(diǎn)）處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)

可以得到n-2個(gè)方程（4）內(nèi)節(jié)點(diǎn)（即除去前后兩端點(diǎn)）處二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)

有相同的轉(zhuǎn)角（2）內(nèi)節(jié)點(diǎn)處（即除去前后兩端點(diǎn)）函數(shù)連續(xù)

可以得到n-2個(gè)方程可以得到n-2個(gè)方程有相同的彎矩總的方程個(gè)數(shù)為：n+n-2+n-2+n-2=4n-6需要的方程個(gè)數(shù)為：4n-4仍然缺少2個(gè)方程

根據(jù)三次樣條函數(shù)的特點(diǎn)，所能夠找到的方程只有這么多。2、三次樣條函數(shù)的端點(diǎn)條件觀察手工放樣中的樣條

樣條的首尾端總是留有一段沒有放置壓鐵，即留有自由段。

中間的點(diǎn)左右兩端都?jí)鸿F固定，使其有了固定的轉(zhuǎn)角和彎矩。有固定的撓度、轉(zhuǎn)角和彎矩

而兩端點(diǎn)處只有一端固定，致使其存在了不確定性，故不能確定其函數(shù)、一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，所以才缺少了2個(gè)方程。為了補(bǔ)充這缺少的2個(gè)方程，必須人為給定端點(diǎn)的條件！邊界條件：

（1）固支條件兩端點(diǎn)固定，使其無法轉(zhuǎn)動(dòng)。即確定端點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角（一階導(dǎo)數(shù)）。（2）給定兩端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)給定兩端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)值，即確定端點(diǎn)處的彎矩值。自然邊界條件

即將樣條的兩個(gè)端點(diǎn)完全放開，使其不受彎矩的作用，自由伸展。（3）拋物線條件使端點(diǎn)與其相鄰的點(diǎn)形成一拋物線

例題1

已知三次樣條函數(shù)在三型值點(diǎn)的值為在區(qū)間上，求在自然邊界條件下的三次樣條函數(shù)表達(dá)式。解：這里有三個(gè)插值點(diǎn)，將插值區(qū)間分成了兩個(gè)：

設(shè)三次樣條函數(shù)的插值多項(xiàng)式為：

由曲線插值及函數(shù)連續(xù)條件：2n-2＝4個(gè)方程由內(nèi)節(jié)點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)得：

n-2＝1個(gè)方程由內(nèi)節(jié)點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)得：

n-2＝1個(gè)方程由自然邊界條件得：2個(gè)方程聯(lián)立上述獨(dú)立的方程