第五知識(shí)塊數(shù)列知識(shí)網(wǎng)絡(luò)及題型解讀

第五知識(shí)塊數(shù)列知識(shí)網(wǎng)絡(luò)及題型解讀考點(diǎn)透析高考對(duì)數(shù)列的考查比較全面，重點(diǎn)是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等差（比）中項(xiàng)及等差和等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用；在能力要求上，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，邏輯思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，其中考查思維能力是支柱，運(yùn)算能力是主體，應(yīng)用是歸宿．主要考點(diǎn)有：1．?dāng)?shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式）；（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)．2．等差數(shù)列、等比數(shù)列（1）理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念；（2）掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；（3）能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題；（4）了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．知識(shí)網(wǎng)絡(luò)2022考綱解讀1、理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義．了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)．2、理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．3、理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．重難點(diǎn)重點(diǎn):等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式難點(diǎn)：遞推數(shù)列及與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合2022命題趨勢(shì)1、數(shù)列是特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)和數(shù)列的重要工具，三者的綜合求解題是對(duì)基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn)，而三者的求證題所顯現(xiàn)出的代數(shù)推理是近年來(lái)高考命題的新熱點(diǎn)；2、數(shù)列推理題是新出現(xiàn)的命題熱點(diǎn).以往高考常使用主體幾何題來(lái)考查邏輯推理能力，近兩年在數(shù)列題中也加強(qiáng)了推理能力的考查；3、數(shù)列在歷年高考中都占有較重要的地位，一般情況下都是一個(gè)客觀性試題加一個(gè)解答題，分值占整個(gè)試卷的10%左右；4、客觀性試題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容，對(duì)基本的計(jì)算技能要求比較高；5、數(shù)列解答試題理科多與不等式聯(lián)系，而文科往往與等式相關(guān)．考查的知識(shí)重點(diǎn)和熱點(diǎn)是數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式以及二者之間的關(guān)系，等差數(shù)列和等比數(shù)列，歸納與猜想，數(shù)學(xué)歸納法．考查的題型出現(xiàn)比較多的如不等式證明，比較大小，參數(shù)取值范圍的探求，判定一個(gè)數(shù)列是否等差數(shù)列或等比數(shù)列，數(shù)列應(yīng)用性問(wèn)題、探索性問(wèn)題在高考里多有涉及．（也可能是簡(jiǎn)單解答題）。數(shù)列多與函數(shù)、不等式、方程、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相交匯，以便考查學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)對(duì)知識(shí)的靈活變通、融合與遷移，考查學(xué)生數(shù)學(xué)視野的廣度和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能．近年來(lái)加強(qiáng)了對(duì)遞推數(shù)列考查的力度，和常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，如：函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化。這點(diǎn)應(yīng)當(dāng)引起我們高度的重視．備考指導(dǎo)在進(jìn)行數(shù)列一輪復(fù)習(xí)時(shí)，建議可以具體從以下幾個(gè)方面著手:1、運(yùn)用基本量思想(方程思想)解決有關(guān)問(wèn)題；2、注意等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用；3、注意等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的特征在解題中的應(yīng)用；4、注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價(jià)形式；5、根據(jù)遞推公式，通過(guò)尋找規(guī)律，運(yùn)用歸納思想，寫出數(shù)列中的某一項(xiàng)或通項(xiàng)，主要需注意從等差、等比、周期等方面進(jìn)行歸納；6、掌握數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系；7、根據(jù)遞推關(guān)系，運(yùn)用化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)數(shù)列；8、掌握一些數(shù)列求和的方法(1)分解成特殊數(shù)列的和(2)裂項(xiàng)求和(3)“錯(cuò)位相減”法求和9、以等差、等比數(shù)列的基本問(wèn)題為主，突出數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與方程、數(shù)列與不等式、數(shù)列與幾何等的綜合應(yīng)用．熱點(diǎn)題型解讀考點(diǎn)一、數(shù)列的有關(guān)概念1、（2022安徽文5）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為（A）15(B)16(C)49（D）64【解析】.【方法技巧】直接根據(jù)即可得出結(jié)論.2、（2022福建理11）在等比數(shù)列中,若公比,且前3項(xiàng)之和等于21,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】由題意知，解得，所以通項(xiàng)?！久}意圖】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題?？键c(diǎn)二、等差數(shù)列及前n項(xiàng)和3、（2022全國(guó)卷2理4）如果等差數(shù)列中，，那么（A）14（B）21（C）28（D）35【解析】【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì).4、（2022福建理3）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則當(dāng)取最小值時(shí),n等于A．6 B．7 C．8 D．9【解析】設(shè)該數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以當(dāng)時(shí)，取最小值?！久}意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查二次函數(shù)最值的求法及計(jì)算能力。5、（2022山東理18）已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項(xiàng)和為．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=(nN*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，所以有，解得，所以?=。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即數(shù)列的前n項(xiàng)和=。【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類題目的關(guān)鍵。6、已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.數(shù)列是等比數(shù)列，（其中）（I）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（II）記.解析：（I）公差為d，則.設(shè)等比數(shù)列的公比為， .（II） 作差： .點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本知識(shí)，第二問(wèn)，求前n項(xiàng)和的解法，要抓住它的結(jié)特征，一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列之積，乘以２后變成另外的一個(gè)式子，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想?？键c(diǎn)三、等比數(shù)列及前n項(xiàng)和8、（2022全國(guó)卷1文4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=（）(A)(B)7(C)6(D)【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知,所以,所以【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識(shí)，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.9、（2022天津理6）已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（A）或5（B）或5（C）（D）【解析】顯然q1，所以，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，前5項(xiàng)和.【溫馨提示】本題主要考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中等題。在進(jìn)行等比數(shù)列運(yùn)算時(shí)要注意約分，降低冪的次數(shù)，同時(shí)也要注意基本量法的應(yīng)用。10、（2022安徽文21）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù),圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數(shù)列.(Ⅰ)證明：為等比數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【命題意圖】本題考查等比列的基本知識(shí)，利用錯(cuò)位相減法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理論證能力.【解題指導(dǎo)】（1）求直線傾斜角的正弦，設(shè)的圓心為，得，同理得，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即中與的關(guān)系，證明為等比數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論求的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列，然后用錯(cuò)位相減法求和.考點(diǎn)四：數(shù)列創(chuàng)新題11、（2022江蘇）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：1123456789101112131415………………按照以上排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)為解：前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋…＋（n－1）個(gè)，即個(gè)，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第＋3個(gè)，即為．點(diǎn)評(píng)：本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式，難點(diǎn)在于求出數(shù)列的通項(xiàng)，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。12、定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做此數(shù)列的公和；已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2，公和為5，那么的值為；這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為。解析：由題可得,兩式相減得∴數(shù)列{an}是周期為2的周期數(shù)列,又a1=2,得a2=3,所以∴當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，評(píng)注：本題表面看有點(diǎn)繁瑣,但只要解題時(shí)將閱讀信息與所學(xué)的定義相結(jié)合，則一目了考點(diǎn)五、數(shù)列與解析幾何13、設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為.解析：由橢圓第二定義知P21P1xyoFPi/Pi，這些線段長(zhǎng)度的最小值為右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離即=，最大值為右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離即P21P1xyoFPi/Pi評(píng)注：本題很好地將數(shù)列與橢圓的有關(guān)性質(zhì)結(jié)合在一起，題型新穎，且有一定的難度，做后讓人回味無(wú)窮，可見(jiàn)命題設(shè)計(jì)者的獨(dú)具匠心。解題的關(guān)鍵是先用橢圓有關(guān)性質(zhì)確定該數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公求出公差的取值范圍。圖B14、設(shè)平面內(nèi)有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)．若用表示這條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則=____________；當(dāng)時(shí)，（用表示）。圖B答案：5，解析：由圖B可得，由，，，，可推得∵n每增加1，則交點(diǎn)增加個(gè)，∴。點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的思路是先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型來(lái)處理。考點(diǎn)六、數(shù)列與函數(shù)15、已知數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列是否存在最大項(xiàng)？若存在最大項(xiàng)，求出該項(xiàng)和相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．點(diǎn)拔：根據(jù)所給的條件，，從方程的角度來(lái)思考，將當(dāng)成末知數(shù)，則可得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，用求根公式可求得．第（2）問(wèn)建立關(guān)于n的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得最值．解析：（1）由得由一元二次方程求根公式得∵∴（2）由知數(shù)列各項(xiàng)滿足函數(shù)∵當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上為減函數(shù)即有∴數(shù)列有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第一項(xiàng)．點(diǎn)評(píng)：本題第（1）問(wèn)是用方程的思想看待等式，則可以用解方程來(lái)求解，通常在解等差數(shù)列、等比數(shù)列的問(wèn)題時(shí)，常常將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于和d（或q）的方程（組）通過(guò)求解方程（組）來(lái)解決問(wèn)題．求數(shù)列中的最值問(wèn)題一般是建立n的函數(shù)，但要注意n的取值為正自然數(shù)．考點(diǎn)七、數(shù)列與向量16、設(shè)軸、軸正方向上的單位向量分別是、，坐標(biāo)平面上點(diǎn)、分別滿足下列兩個(gè)條件：①且＝＋；②且＝．（1）求及的坐標(biāo)；（2）若四邊形的面積是，求的表達(dá)式；（3）對(duì)于（2）中的，是否存在最小的自然數(shù)M，對(duì)一切都有＜M成立？若存在，求M；若不存在，說(shuō)明理由．點(diǎn)拔：本題首先利用有向線段的向量加法寫出向量及的坐標(biāo)，（2）問(wèn)中利用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積來(lái)求解，（3）問(wèn)是開(kāi)放性的問(wèn)題，常是先假設(shè)存在，然后去尋找或證明．解析：（1）．

．（2）．（3）．∴，，．，，，等等．即在數(shù)列中，是數(shù)列的最大項(xiàng)，所以存在最小的自然數(shù)，對(duì)一切，都有＜M成立點(diǎn)評(píng)：本題是向量與數(shù)列的結(jié)合，其實(shí)這里的向量只是個(gè)“外衣”，是個(gè)載體，利用向量的考點(diǎn)八：數(shù)列與不等式17、已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比滿足。又已知，，成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)（2）令，求證：對(duì)于任意，都有解析：（1）∵∴∴∵∴∴（2）證明：∵，∴點(diǎn)評(píng)：把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成清晰的問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（２）問(wèn)，采用裂項(xiàng)相消法法，求出數(shù)列之和，由n的范圍證出不等式?？键c(diǎn)九：數(shù)列與概率18、將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．解：一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有個(gè)，其中為等差數(shù)列有三類：（1）公差為0的有6個(gè)；（2）公差為1或-1的有8個(gè)；（3）公差為2或-2的有4個(gè)，共有18個(gè)，成等差數(shù)列的概率為，選B點(diǎn)評(píng)：本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn)，題型新穎而別開(kāi)生面，有采取分類討論，分類時(shí)要做到不遺漏，不重復(fù)?？键c(diǎn)十：數(shù)列與程序框圖19、根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為；（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）寫出y1，y2，y3，y4，由此猜想出數(shù)列{yn}；的一個(gè)通項(xiàng)公式y(tǒng)n，并證明你的結(jié)論;（Ⅲ）求．解析：（Ⅰ）由框圖，知數(shù)列∴（Ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.由此，猜想證明：由框圖，知數(shù)列{yn}中，yn+1=3yn+2∴∴∴數(shù)列{yn+1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。∴+1=3·3n－1=3n∴=3n－1（）（Ⅲ）zn==1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1）=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）]記Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，①則3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1②①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）