專題43數(shù)列的綜合應(yīng)用附答案解析2021年高考數(shù)學(xué)（文）尖子生培優(yōu)題典

2021學(xué)年高考數(shù)學(xué)（文）尖子生同步培優(yōu)題典專題4.3數(shù)列綜合應(yīng)用姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：選擇題（在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2020·黑龍江道里·哈爾濱三中三模（文））“克拉茨猜想”又稱“猜想”，是德國數(shù)學(xué)家洛薩克拉茨在年世界數(shù)學(xué)家大會上公布的一個猜想：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半；如果為奇數(shù)就將它乘加，不斷重復(fù)這樣的運算，經(jīng)過有限步后，最終都能夠得到，得到即終止運算，己知正整數(shù)經(jīng)過次運算后得到，則的值為（）A．或 B．或 C． D．或或2．（2020·全國專題練習(xí)（文））公元前四世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對數(shù)和形的關(guān)系進行了研究.他們借助幾何圖形（或格點）來表示數(shù)，稱為形數(shù).形數(shù)是聯(lián)系算術(shù)和幾何的紐帶.如圖所示，數(shù)列1，6，15，28，45，…，從第二項起每一項都可以用六邊形表示出來，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么該數(shù)列的第11項對應(yīng)的六邊形數(shù)為（）A．153 B．190 C．231 D．2763．（2020·重慶市鳳鳴山中學(xué)高三月考（文））已知等差數(shù)列的前項和為，，則（）A． B．13 C．-13 D．-184．（2020·全國高三其他（文））已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足，，設(shè)為數(shù)列的前項和，則（）A． B． C． D．5．（2020·全國高三其他（文））設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，，則（）A． B． C． D．16．（2020·全國高三其他（文））已知函數(shù)（為常數(shù)），若數(shù)列，且，則數(shù)列前100項和為（）A．78800 B． C．39400 D．7．（2020·甘肅高三一模（文））《周髀算經(jīng)》是我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作.其中有一個問題大意為：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷長損益相同（即太陽照射物體影子的長度增加和減少大小相同）.二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示，若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），則夏至后的那個節(jié)氣（小暑）晷長為（）A．五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸8．（2020·四川達(dá)州·高三其他（文））是數(shù)列的前n項和，，有且只有兩個正整數(shù)n滿足，則實數(shù)λ的取值范圍是（）A． B． C． D．9．（2020·寧夏興慶·長慶高中高三一模（文））已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A． B． C． D．10．（2020·全國高三二模（文））各項均為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，其首項的平方與其余各項之和不超過33，則這樣的數(shù)列至多有（）A．5項 B．6項 C．7項 D．8項11．（2020·銀川唐徠回民中學(xué)高三三模（文））等差數(shù)列前項和為，若，則的值為（）A．9 B．12 C．16 D．1712．（2020·全國專題練習(xí)（文））數(shù)列滿足，，且（），則__.13．（2020·湖南衡陽·三模（文））已知數(shù)列的首項，函數(shù)為奇函數(shù)，記為數(shù)列的前項和，則的值為__.14．（2020·湖南衡陽·三模（文））已知數(shù)列的首項，函數(shù)為奇函數(shù)，記為數(shù)列的前n項和，則的值為______.15．（2020·四川廣元·期末）定義：如果一個數(shù)列從第二項起，后一項與前一項的和相等且為同一常數(shù)，這樣的數(shù)列叫“等和數(shù)列”，這個常數(shù)叫公和．給出下列命題：①“等和數(shù)列”一定是常數(shù)數(shù)列；②如果一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是“等和數(shù)列”，則這個數(shù)列一定是常數(shù)列；③如果一個數(shù)列既是等比數(shù)列又是“等和數(shù)列”，則這個數(shù)列一定是常數(shù)列；④數(shù)列是“等和數(shù)列”且公和，則其前項之和；其中，正確的命題為__________．（請?zhí)畛鏊姓_命題的序號）16．（2020·河南禹州市高級中學(xué)高三月考（文））已知數(shù)列滿足，若，則的最大值為__________．三、解答題17．（2020·梅河口市第五中學(xué)月考）已知等差數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列的前項和為，且（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和18．（2020·黑龍江龍鳳·大慶四中月考（文））已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項，前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．19．（2020·湖北宜昌·其他（文））數(shù)列中，，.（1）求，的值；（2）已知數(shù)列的通項公式是，，中的一個，設(shè)數(shù)列的前項和為，的前項和為，若，求的取值范圍．20．（2020·岳麓·湖南師大附中高三月考（文））已知遞增的等比數(shù)列滿足，且是，的等差中項.（1）求的通項公式；（2）若，求使成立的的最小值.解析附后2021學(xué)年高考數(shù)學(xué)（文）尖子生同步培優(yōu)題典專題4.3數(shù)列綜合應(yīng)用姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：選擇題（在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2020·黑龍江道里·哈爾濱三中三模（文））“克拉茨猜想”又稱“猜想”，是德國數(shù)學(xué)家洛薩克拉茨在年世界數(shù)學(xué)家大會上公布的一個猜想：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半；如果為奇數(shù)就將它乘加，不斷重復(fù)這樣的運算，經(jīng)過有限步后，最終都能夠得到，得到即終止運算，己知正整數(shù)經(jīng)過次運算后得到，則的值為（）A．或 B．或 C． D．或或【答案】A【解析】設(shè)經(jīng)過第次運算后變?yōu)?，可知，，，，，則，，若為奇數(shù)，則，得，不合乎題意，所以，為偶數(shù)，且.若為奇數(shù)，則，得，不合乎題意；若為偶數(shù)，則.若為奇數(shù)，則，可得；若為偶數(shù)，則.綜上所述，或.故選：A.2．（2020·全國專題練習(xí)（文））公元前四世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對數(shù)和形的關(guān)系進行了研究.他們借助幾何圖形（或格點）來表示數(shù)，稱為形數(shù).形數(shù)是聯(lián)系算術(shù)和幾何的紐帶.如圖所示，數(shù)列1，6，15，28，45，…，從第二項起每一項都可以用六邊形表示出來，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么該數(shù)列的第11項對應(yīng)的六邊形數(shù)為（）A．153 B．190 C．231 D．276【答案】C【解析】記第個六邊形數(shù)為，由題意知：，，，，，，累加得，即，所以，故選：C.3．（2020·重慶市鳳鳴山中學(xué)高三月考（文））已知等差數(shù)列的前項和為，，則（）A． B．13 C．-13 D．-18【答案】D【解析】由，可設(shè)∵為等差數(shù)列，∴S3，S6S3，S9S6為等差數(shù)列，即a，6a，成等差數(shù)列，∴，即∴故選:D.4．（2020·全國高三其他（文））已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足，，設(shè)為數(shù)列的前項和，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以有，所以，因為數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，即，又因為，所以數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以①，②，①-②得：，所以，所以，故選：C.5．（2020·全國高三其他（文））設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，，則（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性可得：，即，所以故選B6．（2020·全國高三其他（文））已知函數(shù)（為常數(shù)），若數(shù)列，且，則數(shù)列前100項和為（）A．78800 B． C．39400 D．【答案】D【解析】∵，解得，所以，進而.于是，故選：D.7．（2020·甘肅高三一模（文））《周髀算經(jīng)》是我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作.其中有一個問題大意為：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷長損益相同（即太陽照射物體影子的長度增加和減少大小相同）.二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示，若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），則夏至后的那個節(jié)氣（小暑）晷長為（）A．五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸【答案】B【解析】：設(shè)從夏至到冬至，每個節(jié)氣冕長為，即夏至?xí)r冕長為，冬至?xí)r冕長為，由每個節(jié)氣晷長損益相同可知，常數(shù)，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意知，，解得，則.故選:B.8．（2020·四川達(dá)州·高三其他（文））是數(shù)列的前n項和，，有且只有兩個正整數(shù)n滿足，則實數(shù)λ的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可知是首項為6，公差為的等差數(shù)列，，，即.故選：C.9．（2020·寧夏興慶·長慶高中高三一模（文））已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，故，故，故，故選：D．10．（2020·全國高三二模（文））各項均為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，其首項的平方與其余各項之和不超過33，則這樣的數(shù)列至多有（）A．5項 B．6項 C．7項 D．8項【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列為，則，，，，為了使盡量大，故，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，故選：11．（2020·銀川唐徠回民中學(xué)高三三模（文））等差數(shù)列前項和為，若，則的值為（）A．9 B．12 C．16 D．17【答案】A【解析】∵，∴得：，，故選A.12．（2020·全國專題練習(xí)（文））數(shù)列滿足，，且（），則__.【答案】2020【解析】當(dāng)n為偶數(shù)時，，即，故數(shù)列的偶數(shù)項是以2為首項，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：2020.13．（2020·湖南衡陽·三模（文））已知數(shù)列的首項，函數(shù)為奇函數(shù)，記為數(shù)列的前項和，則的值為__.【答案】1010.【解析】解：因為是奇函數(shù)，，所以，，，，，，如此繼續(xù)，得..故答案為：1010.14．（2020·湖南衡陽·三模（文））已知數(shù)列的首項，函數(shù)為奇函數(shù)，記為數(shù)列的前n項和，則的值為______.【答案】1010【解析】因為是奇函數(shù)，，所以，，，，，，如此繼續(xù)，得，周期為4.故答案為：101015．（2020·四川廣元·期末）定義：如果一個數(shù)列從第二項起，后一項與前一項的和相等且為同一常數(shù)，這樣的數(shù)列叫“等和數(shù)列”，這個常數(shù)叫公和．給出下列命題：①“等和數(shù)列”一定是常數(shù)數(shù)列；②如果一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是“等和數(shù)列”，則這個數(shù)列一定是常數(shù)列；③如果一個數(shù)列既是等比數(shù)列又是“等和數(shù)列”，則這個數(shù)列一定是常數(shù)列；④數(shù)列是“等和數(shù)列”且公和，則其前項之和；其中，正確的命題為__________．（請?zhí)畛鏊姓_命題的序號）【答案】②【解析】①“等和數(shù)列”不一定是常數(shù)數(shù)列,如數(shù)列是“等和數(shù)列”，但是不是常數(shù)數(shù)列，所以該命題錯誤；②如果一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是“等和數(shù)列”，則這個數(shù)列一定是常數(shù)列.如果數(shù)列是等差數(shù)列，所以，如果數(shù)列是“等和數(shù)列”，所以所以所以，所以，所以這個數(shù)列一定是常數(shù)列，所以該命題是正確的.③如果一個數(shù)列既是等比數(shù)列又是“等和數(shù)列”，則這個數(shù)列一定是常數(shù)列.如果數(shù)列是等比數(shù)列，所以，如果數(shù)列是“等和數(shù)列”，所以所以所以，所以，所以這個數(shù)列不一定是常數(shù)列，所以該命題是錯誤的.④數(shù)列是“等和數(shù)列”且公和，則其前項之和，是錯誤的.舉例“等和數(shù)列”其，所以該命題是錯誤的.故答案為：②16．（2020·河南禹州市高級中學(xué)高三月考（文））已知數(shù)列滿足，若，則的最大值為__________．【答案】【解析】可得：，即：，整理可得：，又，則數(shù)列是首項為-10，公比為的等比數(shù)列，，則：,很明顯，為偶數(shù)時可能取得最大值，由可得：，則的最大值為.三、解答題17．（2020·梅河口市第五中學(xué)月考）已知等差數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列的前項和為，且（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和【答案】（1），；（2）【解析】：（1）對數(shù)列：當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時也滿足上式（2），而設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為（1）（2）(1)-(2)得當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時，由以上可知所以，數(shù)列的前項和18．（2020·黑龍江龍鳳·大慶四中月考（文））已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項，前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由兩式相減，得：，又，，當(dāng)時，且，故，得（舍去），，數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以．（2）由（1）及題意可得，所以]．19．（2020·湖北宜昌·其他（文））數(shù)列中，，.（1）求，的值；（2）已知數(shù)列的通項公式是，，中的一個，設(shè)數(shù)列的前項和為，的前項和為，若，求的取值范圍．【答案】（