數(shù)學(xué)建模匯編

蘇北數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽試題

B題籃球比賽問題

運動員比賽過程的技術(shù)表現(xiàn)是決定競賽成績的主要因素之一?；@球競賽臨

場技術(shù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)既是衡量運動員技術(shù)水平的量化指標(biāo)也是判定運動隊競賽成績

的客觀標(biāo)準(zhǔn)。

某大學(xué)有12個學(xué)院，每個學(xué)院派出一支男子籃球隊參加校內(nèi)籃球比賽。首

先進行分組賽，共分兩組，每組6支代表隊；小組賽結(jié)束后，每組選出兩支代

表隊參加第二階段的決賽。附表1和附表2（附表略）分別為第一組和第二組

的比賽結(jié)果。請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)，研究各個代表隊的下列問題：

（1）每支代表隊的技術(shù)指標(biāo)與該隊的成績之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。

（2）按照技術(shù)指標(biāo)對代表隊成績貢獻的大小，將這些技術(shù)指標(biāo)進行排序。

（3）找出對代表隊成績起重要作用的關(guān)鍵比賽場次。

（4）根據(jù)這兩個小組賽的成績，預(yù)測哪支代表隊最有可能奪冠，并將這

12支代表隊的名次進行排序。

（5）對每支代表隊給出幾點技術(shù)方面的改進建議，以提升該隊的競技水平。

籃球比賽問題

摘要

籃球是世界上公認的三大球類運動之一，在世界各地都有著廣泛而深遠的

影響。在我國籃球也是一項十分普及的運動，深受廣大人民群眾尤其是青少年

的喜愛。

本文主要針對某大學(xué)舉辦的一次校內(nèi)籃球聯(lián)賽，討論了籃球比賽中每支參

賽代表隊的各項技術(shù)指標(biāo)與其比賽成績的關(guān)聯(lián)關(guān)系，并根據(jù)各項指標(biāo)對球隊成

績的“整體”貢獻度將其進行了排序，然后又探討了各支參賽隊伍的排名問題

和影響其排名的關(guān)鍵場次問題。為此，我們先后建立了灰色系統(tǒng)關(guān)聯(lián)模型、競

賽圖理論排序模型和灰色理論預(yù)測模型。

在灰色系統(tǒng)關(guān)聯(lián)模型中，我們定義相關(guān)度這一指標(biāo)來衡量各項技術(shù)指標(biāo)與

比賽成績的關(guān)聯(lián)關(guān)系，構(gòu)建出衡量球隊比賽成績的指標(biāo)體系，并且對每支球隊

的技戰(zhàn)術(shù)水平進行了簡要的分析，給出簡單的改進意見。然后應(yīng)用權(quán)變理論改

進該模型，使其能夠根據(jù)對球隊成績貢獻的大小將各項技術(shù)指標(biāo)排序，最后得

到的排序結(jié)果與實際情況十分吻合。

在對各支代表隊的排序和關(guān)鍵場次的確定中，我們首先用競賽圖排序模型

找出了各支球隊的關(guān)鍵比賽場次，實質(zhì)上這是一種窮舉的方法，但通過優(yōu)化我

們達到了較小的算法復(fù)雜度實現(xiàn)窮舉的效果，既保證了科學(xué)性和準(zhǔn)確性，又體

現(xiàn)出效率性。然后我們通過分析，認為不同的比賽賽制將對應(yīng)不同的球隊排序,

為此我們采用男籃世錦賽的排名方法，并且在競賽排序模型的基礎(chǔ)上引入灰色

預(yù)測模型，預(yù)測出信電學(xué)院將最有可能奪冠，并對其他各支代表隊的排名進行

了預(yù)測。

具體的結(jié)果參見結(jié)果分析。最后我們還對上述各模型進行了優(yōu)化，同時探

討了其他的技術(shù)指標(biāo)與球隊成績相關(guān)性評價模型。

關(guān)鍵字：灰色系統(tǒng)理論、灰色預(yù)測、競賽圖排序、關(guān)聯(lián)度（系數(shù)）、權(quán)變

理論

一、問題重述與分析

1.1問題重述（略）

1.2問題分析（略）

二、問題假設(shè)

1、參賽各隊存在客觀的真正實力；

2、在每場比賽中體現(xiàn)出來的強隊對弱隊的表面實力對比服從以它們真正實

力對比為中心的相互獨立的正態(tài)分布；

3、題目給出的19項指標(biāo)足以反映該球隊的真實實力；

4、小組賽的競賽成績是球隊實力的真實反映，小組賽中各項技術(shù)統(tǒng)計能夠

代表球隊的技戰(zhàn)術(shù)水平；

5、不存在球場不公平競爭現(xiàn)象，如裁判問題和假球問題等。

三、符號說明

全局符號說明如下：

A.（j=0,l,2,...）；技術(shù)指標(biāo)（因素數(shù)列）；A）：基準(zhǔn)指標(biāo)（基準(zhǔn)因素數(shù)列）;

A：比較指標(biāo)（比較因素數(shù)列）3場次號（時刻值）；

4伏）：為因素在％時刻觀察得到的值；取k）：比較數(shù)列A,對基準(zhǔn)數(shù)列

4在k的關(guān)聯(lián)系數(shù)；

P：分辨系數(shù)；e：殘差；

minmin|4（左）兩極最小差;maxmax|A；（^）-A.（k）\：兩極最大

ikik

差。

四、模型建立與求解

4.1數(shù)據(jù)的整合

由于題目中的數(shù)據(jù)是在WORD文檔中，處理起來較為困難，根據(jù)后面模

型建立與求解過程中的要求，我們首先對數(shù)據(jù)進行整合，將其導(dǎo)入EXCEL,同

時統(tǒng)計出每支球隊在小組賽六場比賽中的技術(shù)統(tǒng)計情況，具體表格見附錄1，

表中我們按照場次的先后順序排序，標(biāo)注出每支球隊每場比賽的勝負關(guān)系和總

的勝負關(guān)系，計算出每支球隊在全部六場小組賽中的技術(shù)統(tǒng)計的總體情況。

4.2灰色系統(tǒng)模型的建立：

模型I灰色系統(tǒng)相關(guān)模型

根據(jù)問題分析和灰色理論相關(guān)原理，我們首先為各項技術(shù)指標(biāo)建立一個灰

色系統(tǒng)相關(guān)模型。

假設(shè)4（/=o,i,2,…）為系統(tǒng)的多個因素，我們在這里即是多個技術(shù)指標(biāo)。

現(xiàn)在選取其中一個因素4作為比較基準(zhǔn)，4可以表示為數(shù)列（稱為基準(zhǔn)數(shù)列）:

4={4伙）|k=1,2,...〃}=&⑴,原〃））

其中左表示時間序號，這里即是場次號，&（&）則表示A因素在后時刻觀察

得到的值。假設(shè)另外有機個需要與基準(zhǔn)因素比較的因素的數(shù)列（稱為比較數(shù)

列）：

A={Ai（k）\k=1,2,...〃}=（4⑴,A，（2）,...,A,.（"））...i=1,2,.

那么，比較數(shù)列A,對基準(zhǔn)數(shù)列4在k的關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為：

IA）⑹—4⑹|+。minmin|&（k）一4⑹|

4伙）=-----------------'-~七-----------------------

\A0（k）~4伏）|+pmaxmax|4（女）一似左）|

ik

其中pe[0,+oo）稱為分辨系數(shù)，minmin|4（A）-4（Z）|和

ik

maxmax|4（4）-4伙）|分別稱為兩極最小差和兩極最大差。?般來說，分辨系

ik

數(shù)Qe[O,l]。而且「越大，則關(guān)聯(lián)系數(shù)越大，分辨率也越高。反之，0越小，

則關(guān)聯(lián)系數(shù)越小，分辨率也就越小。

關(guān)聯(lián)系數(shù)這一指標(biāo)描述了比較數(shù)列與基準(zhǔn)數(shù)列在某一時刻的關(guān)聯(lián)程度，但

是每一個時刻都有一個關(guān)聯(lián)系數(shù)就顯得過于分散，難以全面比較。因此，定義

比較數(shù)列4對基準(zhǔn)數(shù)列4的關(guān)聯(lián)度為彳=工￡《伏），作為衡量系統(tǒng)因素間的關(guān)

n4=i

聯(lián)程度大小的唯一指標(biāo)。

這里我們還要注意兩個問題，一個是在計算關(guān)聯(lián)系數(shù)和關(guān)聯(lián)度時，要求不

同的技術(shù)指標(biāo)數(shù)列具有相同的量綱單位，但顯然本題中的量綱不統(tǒng)一，因此就

需要我們對其進一步處理。我們采用的辦法是以每支球隊的第?場比賽的各項

技術(shù)統(tǒng)計為標(biāo)準(zhǔn)，將其后每場比賽的各項技術(shù)統(tǒng)計與第一場的各項技術(shù)統(tǒng)計做

商，得到一個新的相對技術(shù)統(tǒng)計矩陣，即為所要矩陣，我們稱其為技術(shù)指標(biāo)數(shù)

據(jù)的初始化，以實現(xiàn)無量綱化：

如原始序列：A=（A（D,A（2）,...,A（〃））

』型,.,9）

則可以構(gòu)造其初始化序列：A⑴A⑴

第二個問題是關(guān)聯(lián)系數(shù)的定義公式

IA）（%）—4⑹I+。minmin|&⑹—4⑹|

奴女）=------------------!-&---------------

14（左）-A.（左）|+Vmaxmax14（左）一4（左）|

ik

其算出的數(shù)值均是正數(shù)，不能區(qū)分是正關(guān)聯(lián)（兩個技術(shù)指標(biāo)成正比）還是負關(guān)

聯(lián)（兩個技術(shù)指標(biāo)成反比）。在計算的過程中，我們發(fā)現(xiàn)不區(qū)分正、負關(guān)聯(lián)，可

能的出比較怪異的結(jié)果，比如失誤這一技術(shù)指標(biāo)反而成為球隊取勝的重要技術(shù)

指標(biāo)——失誤越多，勝率越大?。∥覀儾捎孟旅娴霓k法來判斷是正關(guān)聯(lián)還是負關(guān)

聯(lián)：

巴這3儀）-24（女這七

取太=1k=\k=\〃

5,=巧2_2（/）/〃

k=\A=1

然后定義：1、若sig〃（2）=sig〃（生）,則稱因素a和4是正相關(guān)的；

2、若sign（-）=-sign（—），則稱因素$和A,是負相關(guān)的；

這樣就可以區(qū)分各項技企指標(biāo)與基噓指標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)度，避免出現(xiàn)上述的

怪異結(jié)果。

金型II灰色系統(tǒng)預(yù)測GM模型

根據(jù)灰色理論的相關(guān)原理，我們知道，一?般可以用離散的隨機數(shù)經(jīng)過數(shù)的

生成這一過程，變成隨機性明顯削弱的較有規(guī)律的生成數(shù)列，這樣我們就可以

利用這個數(shù)列對變化過程作較長時間的描述，甚至可以確定微分方程的系數(shù)，

同時用其來對將來的情況進行一定精度的預(yù)測。

設(shè)有N個原始數(shù)據(jù)數(shù)列：

A,（°）=（A,⑼⑴,A，）（2）,...,A”（〃））i=l,2,...,N

對它們分別做一次累加生成，得到N個生成數(shù)列：

2n

4⑴=（4⑼⑴口（。）（團,…,之瞰（時

/n=lZM=I

=&⑴⑴,4⑴⑴+瞰⑵,…,A,⑴（w-1）+般（〃））

i=l,2,...,N

如果將生成數(shù)列4⑴的時刻左=1,2,...,〃看成連續(xù)的變量f,又將生成數(shù)列

4⑴看成關(guān)于時間，的函數(shù)，即A（,）=A（,,（O，那么只要生成數(shù)列

A?、A?..................川）對4⑴的變化率由影響，就可以建立下面的常微分方程:

弱⑴

+aA,=4Af)+&A?+...+b_A,

dtNy

這個N個變量的一階常微分方程模型記為GM（1,N）。

記a=（a,仇也，…，瓦t）’（上述微分方程的參數(shù)列），又記：

《=（邛）⑵，4（。）（3）,...刈。）（〃）尸

按照差分法把所得的常微分方程離散化，得到一個線形方程組，它的?般

形式為：YN^Ba

如果取殘差e=A-8a,則為了得到￡估計值，可以解決下面的極值問題,

即求使得殘差的平方和達到最小時的％值。當(dāng)"TNN的時候，根據(jù)最小二乘

法，可以算得：。=（加8）⑵75

最終可以得到矩陣B為：

手⑴⑴+A7(2)Aj(2)...A義2)

_1A<O(2)+A1)(3)砂(3)...碗(3)

B=(

砂⑺-A;(〃)

這樣常微分方程便確定下來了。我們可以運用該模型對事物的發(fā)展趨勢進

行描述，預(yù)測其發(fā)展變化情況。

4.3球隊技術(shù)指標(biāo)灰色關(guān)聯(lián)模型的建立與求解（解決第一問）：

根據(jù)4.2中建立的灰色系統(tǒng)模型，我們來建立模型來探討每支代表隊的技

術(shù)指標(biāo)與該隊的成績之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。

這里我們認為在小組賽中，球隊比賽成績的衡量是以勝負場次數(shù)目作為標(biāo)

準(zhǔn)的，勝的場次越多說明該球隊成績越好，反之則說明球隊成績較差。選取的

基準(zhǔn)技術(shù)指標(biāo)是球隊的勝負，勝記為1,負記為0。同時根據(jù)問題的分析2所述,

選取13項技術(shù)指標(biāo)來與球隊的成進進行關(guān)聯(lián)分析（注：我們在計算的時候，由

于復(fù)雜度不高的原因，仍是按照19個指標(biāo)來進行計算）。

我們以數(shù)學(xué)學(xué)院為例，來描述技術(shù)指標(biāo)灰色關(guān)聯(lián)模型的建立和求解。對于

其他學(xué)院我們則給出計算的結(jié)果和關(guān)聯(lián)分析。

數(shù)學(xué)學(xué)院小組賽的各項技術(shù)指標(biāo)統(tǒng)計如下：

2分球3分球罰球籃板球助犯失搶蓋得

場次勝負

中次%中次%中次%進防合攻規(guī)誤斷帽分

攻守計

1勝生物學(xué)院264163.41%52520.00%162466.66%1526411016105183

2勝物理學(xué)院193554.28%71546.66%283873.68%717241120178687

3勝化學(xué)學(xué)院211052.50%21118.18%233369.69%102333612159371

4勝資源學(xué)院223956.41%1147.14%293778.37%62127821108276

5勝計算機學(xué)院163348.48%142653.84%142166.66%425291015187288

總計5勝10418855.31%299131.86%11015371.89%421121544584703714405

對各項指標(biāo)數(shù)據(jù)進行初始化后得到下表:

2分球3分球罰球籃板球

助犯失搶蓋得

場次勝負進防合

中次%中次%*1'次%攻規(guī)誤斷帽分

攻守i

11111111111111111111

210.730.850.861.40.62331.751.581.110.470.650.591.11.251.71.661.05

310.810.980.830.40.440.911.441.371.050.670.880.80.60.751.51.830.86

410.850.950.890.20.560.361.811.541.180.40.810.660.813111.620.92

510.620.80.762.81.042.690.880.8810.270.960.7110.941.81.421.06

得到矩陣A如下：

1111111111111111111

.730.850.861.40.62.331.751.581.110.470.650.591.11.251.71.661.05

,810.980.830.40.440.911.441.371.050.670.880.80.60.751.51.830.86

,850.950.890.20.560.361.811.541.180.40.810.660.813111.620.92

,6用20.80.762.81.042.690.880.8810.270.960.7110.941.81.421.06

Matlab編程實現(xiàn)上述算法，這里我們?nèi)〗?jīng)驗值P=0.5,程序

xiangguandu.m另附、見附錄2。

算出結(jié)果如下：

2分球3分球罰球籃板球

學(xué)院勝負助攻犯規(guī)失誤搶斷蓋帽得分

中次%中次%中次%進攻防守合計

數(shù)學(xué)學(xué)院5勝0.430.3645.89%0.3690.39336.14%0.410.4331.05%0.470.350.470.30.430.370.470.330.41

。i(。n=52.956)0.00-0.65-0.29-0.442.400.041.41-0.19-0.290.07-1.530.08-0.51-0.30-0.060.900.80-2.00-0.01

采用相同的方法，就可以算出十二個學(xué)院代表隊的各項技術(shù)統(tǒng)計與其比賽

成績的相關(guān)度，結(jié)果見下表:

第一組

2分球3分球罰球籃板球

學(xué)院勝負助攻犯規(guī)失誤搶斷蓋帽得分

中次%中次%中次%進攻防守合計

數(shù)學(xué)學(xué)院5勝0.440.360.460.370.400.360.410.440.310.470.350.470.300.440.370.470.340.41

oi(an=52.956)-0.00-0.65-0.29-0.442.400.041.41-0.19-0.290.07-1.530.08-0.51-0300.060.900.80-2.00-0.01

化學(xué)學(xué)院3勝2負0.390.490.450.470.480.40().61().530.520.420.770.550.540.50().570.460.490.36

oi(on=53.05)1.000.70-0.050.88-0.13-1.060.590.250.110.01-1.571.180.383.50-0.85-0.690.5612.00037

物理學(xué)院3勝2負0.400.340.350.410.390.450.420.420.350.420380.380.440.310300.390.33033

oi(6=52.99)-1.000.450.59-0.08-0.250.12-0.35-0.53-0.400.200.250.000.040.30-0.64-0.710.80-0.500.07

生物學(xué)院2勝3負0.440.470.340.450.440.430.340.420.470.400.410.410.440.400.450.410.400.41

oi((m=52.72)1.00-0.17-0.220.14-3.00-1.092.251.000.450.60-1.000.00-0.260.00-0.76-0.470.254.000.01

計算機學(xué)院1勝4負0.720.580.710.590.610.680.500.650.690.520.790.770.510.600.570.570.780.66

oi(on=53.27)0.001.430.440.870.440.170.290.710.420.481.57-0.75-0.33-0.470.14-0.647.50-0.500.90

資源學(xué)院1勝4負0.490.510.490.510.510.500.460.440.510.420.520.510.410.500.440.470.260.51

曲(on=53.03)-1.00-0330.47-0.80-0.100.79-0.66-1.79-1.780.191.60-0.100.471.620.05-0.382.676.00-0.51

第二組

2分球3分球罰球籃板球

學(xué)院勝負助攻犯規(guī)失誤搶斷蓋帽得分

中次%中次%中次%進攻防守合計

信電學(xué)院5勝0.280.330.430.460.460.450.490.480.390.510.380.490.450.450.390.380.330.51

oi(on=53.33)0.000.500.700.930.830.650.21-1.22-1.480.63-0.94-0.66-0.77-0.58-0.95-0.75-0.40-1.000.51

測繪學(xué)院3勝2負0.620.500.720.620.510.340.580.520340.460.460.470.830.550.480.720.400.31

。i(。n=52.80)-1.000.920.68-0.21-1.420.38-2.12-0.43-0.470.031.36-0.680.07-0.57-0.50-1.88-0.640.00-0.79

管理學(xué)院3勝2負0.450.330.530.260.560.510.430.470.410.700.620.440.660.590.530.480.540.41

。i(。n=53.25)1.000.570.080.46133-1.507.52039-0.170.60-0.760.950.020.64-0.50-0.77-0.333330.62

機電學(xué)院3勝2負0.320.330.340.460370.440.310.360.390370.390.430.310.320.370.370360.32

oi(on=53.04)1.00-0.130.05-0.172.250.641.300.00-0.440.631.440.911.06-0.110.270.00-1.443.000.28

能源學(xué)院1勝4負0.740.630.680.650.620.630.750.630.800.670.780.7S0.560.680.560.630.420.73

oi(on=53.59)-1.001.000.530.374.002.770.51-0.36-0.19-0.262.80-0.500.169.00-0.31-0.80-0.75-4.001.13

地質(zhì)學(xué)院5負0.870.870.760.730.830.760.750.740.930.620.830.770.640.760.900.860.670.87

oi(on-52.72)-0.000.64-0.180.77-1.40-0.48-1.171.001.17-0.12-1.50-1.06-1.14-0.75-1.160.550.201.33-0.59

4.4小組賽技術(shù)指標(biāo)排序模型的建立與求解（解決第二問）:

在4.3節(jié)探討完各項技術(shù)指標(biāo)與各隊比賽成績的關(guān)聯(lián)關(guān)系后，我們來進一

步研究一下小組賽中各項技術(shù)指標(biāo)對比賽成績的貢獻大小，并依據(jù)貢獻程度給

出各項技術(shù)指標(biāo)的排序。這里我們認為各項指標(biāo)對成績的貢獻是對小組賽整體

成績的貢獻，而不是對每個隊成績的貢獻，但“對整體成績的貢獻”又是由“對

各個代表隊成績的貢獻”組成的一個有機的整體。因此，我們認為在采用灰色

關(guān)聯(lián)模型描述了各項技術(shù)指標(biāo)與各隊比賽成績的關(guān)聯(lián)關(guān)系后，還可以用這個模

型來描述各項技術(shù)指標(biāo)對比賽成績的貢獻大小。

這里我們采用國際上公認的籃球積分規(guī)則，給出各支球隊在小組賽中的得

分，并且統(tǒng)計處各支球隊在小組賽中各項技術(shù)指標(biāo)的總體情況，得到下面的表

格：

2分球3分球罰球籃板球

學(xué)院積分助攻犯規(guī)失誤搶斷蓋帽得分

中次%中次%中次%進攻防守合計

信電學(xué)院109015458.445812944.9610415168.875412017465127803817468

數(shù)學(xué)學(xué)院1010418855.32299131.8711015371.9421121544584703714405

管理學(xué)院813424953.82218923.68713564.448012520575112775222418

測繪學(xué)院89119247.43410133.6611015570.9744106150481156()424410

機電學(xué)院810820353.23485407110666.894712317055124733913389

化學(xué)學(xué)院89017750.855013038.4641.5969.453511715262116724313371

物理學(xué)院813022358.33010229.41649468.09499914874119713810414

生物學(xué)院77619339.37269327.967310470.1950116166379489155303

能源學(xué)院69719350.264310939.45508161.733912716647106681611383

資源學(xué)院69317852.254210639.62659568.424110114249123712611377

計算機學(xué)院68817350.8753卬34.19649666.67491151645512470357399

地質(zhì)學(xué)院56216936.693114934.23447856.41388111943122613314321

經(jīng)過分析，我們認為通過求各項技術(shù)指標(biāo)與積分情況的相關(guān)度，即可表示

出各項技術(shù)指標(biāo)對比賽成績的貢獻大小。但是，在計算中我們發(fā)現(xiàn)，僅僅采用

4.3節(jié)中的算法簡單的將各項技術(shù)指標(biāo)與積分的相關(guān)度求出是遠遠不夠的，首先

在數(shù)據(jù)初始化的問題上就存在很大的漏洞。因為數(shù)據(jù)初始化的實質(zhì)是統(tǒng)一每個

因素在每個時刻的量綱，在這個模型中我們的“時刻”是各支球隊，時刻是絕

對相同的，而各個球隊卻存在著一定得差異性，這種差異性的存在將直接導(dǎo)致

不同的相關(guān)度結(jié)果。其次，對于成績不同的球隊，其對“小組賽整體”的代表

性是不同的，一般認為成績越好的球隊，其代表性應(yīng)該越強。因此，就需要對

前面的算法進行改進。

為了解決這些問題，我們將權(quán)變理論引入到灰色相關(guān)模型中，具體的思想

是：

Stepl：不考慮各個球隊間的差異，分別以每支球隊為標(biāo)準(zhǔn)，進行數(shù)據(jù)的初

始化，然后按照4.3節(jié)算法進行求解，這樣得到12組相關(guān)度數(shù)據(jù)；

Step2：以球隊的積分與滿分10相比，商作為以這個球隊為標(biāo)準(zhǔn)進行初始

化時得到的相關(guān)度數(shù)據(jù)的權(quán)值。

Step3：考慮正負相關(guān)問題，對加權(quán)后的數(shù)據(jù)進行符號處理，正相關(guān)為正號，

負相關(guān)為負號；

Step4：然后對這12組數(shù)據(jù)取平均值，所得到的結(jié)果即為各項技術(shù)指標(biāo)與

球隊積分的相關(guān)度；

Step5：我們用求得的相關(guān)度作為各項技術(shù)指標(biāo)對球隊成績貢獻大小的標(biāo)

準(zhǔn)，對得到結(jié)果進行排序，這樣就得到了各項技術(shù)指標(biāo)的貢獻度排序。

按照上面的步驟，我們首先以不同的標(biāo)準(zhǔn)進行數(shù)據(jù)的初始化，得到12組數(shù)

據(jù)，同時給各組數(shù)據(jù)加入權(quán)值，以數(shù)學(xué)學(xué)院為例如下，其余見附錄3：

初始化標(biāo)2分球3分球罰球籃板

技術(shù)指標(biāo)積分助攻犯規(guī)失i吳搶斷蓋帽得分

準(zhǔn)次%次%次%合計

相關(guān)度NaN0.500.410.400.460.240.460.470.470.530.440.410.350.47

數(shù)學(xué)學(xué)院。i-5.90-0.78-2.675.23-0.02-6.33-1.35-2.90-4.231.491.17-6.24-5.89-2.85

°n647.91

權(quán)值1sign(oi/on)---+----*+---

然后考慮正負相關(guān)問題，將12組數(shù)據(jù)整合成下表:

2分球3分球罰球籃板

初始化標(biāo)準(zhǔn)權(quán)值助攻犯規(guī)失誤搶斷蓋帽得分

次%次%次%合計

信電學(xué)院1.00000.50800.5760-030810.46410.24950.47990.43020.4373-0.4053-0.40990.40770.345703983

數(shù)學(xué)學(xué)院1.00000.49800.4089-0.39920.45870.24400.46450.46970.4698-0.5250-0.44310.40870.34730.4690

管理學(xué)院0.80000.27960.4579<).33700.47800.30000.43970.34580.3168-0.3409-0.42900.41330.44070.3984

測繪學(xué)院0.X0000.38320.4029-0.30740.45020.38850.41450.41410.4381-().3179-0.42120.36870.42420.4044

機電學(xué)院0.80000.33510.44824).34940.42050.38060.42310.42710.4211-().3257-0.40S70.38630.34800.4143

化學(xué)學(xué)院0.80000.47020.4313-0.43360.42960.49040.41880.42370.3303-0.3144-0.3997036920.34800.4014

物理學(xué)院0.80000.27060.4161-0.30590.44800.42320.42320.41370.3087-0.3148-0.40010.39890.35200.3969

生物學(xué)院0.70000.27610.3964-0.32610.44520.26640.37460.33740.4506-0.3746-0.37660.46800.40420.4396

能源學(xué)院0.60000.29570.39924).4269038940.36910.36790.36960.32484).3537-0.35950.45110.36130.3676

資源學(xué)院0.60000.26880.4117-0.42390.38970.25230.37280.33860.31534).3613-0.34730.44000.36130.3711

計兌機學(xué)院0.60000.26670.3995-0.45590.40920.25920.36380.363403073-0.3629-0.34770.39070.36250.3887

地質(zhì)學(xué)院0.50000.32750.4158-0.47130.40360.24720.36690.33750.3109-0.4165-0.35680.42120.44530.3692

最后進彳亍加權(quán)平均并進行,排序:

2分球3分球罰球籃板

初始化標(biāo)準(zhǔn)權(quán)值助攻犯規(guī)搶斷蓋帽得分

次%次%次%合計

信電學(xué)院1.0000().50800.5760-0.30810.46410.24950.47990.43020.4373-0.4053-0.40990.4077034570.3983

數(shù)學(xué)學(xué)院1.00000.49800.4089-0.39920.45870.24400.46450.46970.4698-0.5250-0.44310.40870.34730.4690

管理學(xué)院0.80000.22370.3663-0.26960.38240.24000.35170.27670.2534-0.2727-0.3432033070.35260.3187

測繪學(xué)院0.8000030650.3223-0.24590.3601().31080.33160.33120.3505-0.2543-0.33690.29490.33940.3236

機電學(xué)院0.80000.26800.3586-0.27950.33640.30450.33850.34170.3369-0.2606-0.32700.30910.27840.3314

化學(xué)學(xué)院0.80000.37620.3451-0.3469034370.39230.33500.33900.2642-0.2515-031980.29530.27840.3211

物理學(xué)院0.80000.21650.3329-0.24470.35840.33850.33850.33090.2470-0.2518-0.32010.31910.28160.3175

生物學(xué)院0.70000.19330.2775-0.22830.31170.18650.26220.23620.3154-0.2622-0.26360.32760.28290.3077

能源學(xué)院0.60000.17740.2395-0.25610.23370.22140.22070.22170.1949-0.2122-0.21570.27070.21680.2206

資源學(xué)院0.60000.16130.2470-0.25430.23380.15140.22370.20320.1892-0.2168-0.20840.26400.21680.2226

計算機學(xué)院0.60000.16000.2397-0.27350.24550.15550.21830.21800.1844-0.2177-0.20860.23440.21750.2332

地質(zhì)學(xué)院0.50000.16380.1362-0.23560.13220.12360.18350.16870.1555-0.2082-0.17840.21060.22270.1846

平均值0.27110.3208-0.27850.32170.24320.31230.29730.2832-0.2782-0.2979().30610.281703040

因素排序92121103671113485

最終的結(jié)果是：按照對比賽成績貢獻度由大到小進行排序：3分球命中率、

2分球命中率、罰球命中率、搶斷、得分、籃板、助攻、蓋帽、2分球投籃次數(shù)、

犯規(guī)、三分球投籃次數(shù)、失誤。

4.5競賽圖法確定關(guān)鍵場次和小組內(nèi)名次（解決第三問）

根據(jù)問題分析5中所述，我們把導(dǎo)致前兩名發(fā)生改變的比賽作為關(guān)鍵場次,

因此排序是我們討論這個問題的關(guān)鍵。那么如何較為科學(xué)地根據(jù)現(xiàn)有信息對各

隊進行排名呢？

我們嘗試用競賽圖的方法解決這個問題。

1.競賽圖與排名

在一些循環(huán)賽中，經(jīng)常要按比賽結(jié)果確定參賽者的名次，競賽圖在這一問

題中有很好的應(yīng)用。

當(dāng)圖G=(V,E)的邊集E中的邊(u,v)是V中元素的有序?qū)λM成的集合

時，G稱為有向圖。沒有圈與平行邊的圖稱為簡單圖，任意兩個相異頂點都相

鄰的簡單圖稱為完全圖，完全圖的定向圖稱為競賽圖。

定理：任一〃(V〃N2)階競賽圖G(V,E)都存在完全路徑。

證明(數(shù)學(xué)歸納法)：

1°：〃=2時，如圖，命題真;

2°：設(shè)〃=攵時命題真;

3。：當(dāng)〃=女+1時，設(shè)丫=杭，匕，…也，為頂點集，

記乳=｛匕，吆，…匕｝,G為圖G(V,E)關(guān)于丫=｛匕，v2,…匕｝的生成子圖;

由歸納假設(shè)2。，在G中存在完全路徑，不失一般性，設(shè)匕匕…匕-必為G中

的一條完全路徑，考慮頂點匕+1與丫=｛匕，嶺，…%｝的鄰接關(guān)系，有如下三

種情形：

…為G中的一條完全路徑;

(2)匕彩…匕-MM+i為G中的一條完全路徑：E…士飛

（3）中2kM為G中的一條完全路徑。：Lt?…虹Y

定義1雙向連通圖：稱有向圖G（V，E）為雙向連通的，若對任意兩個不

同頂點匕在該有向圖中既有從頂點匕到頂點匕的有向路徑，也有從頂點匕

到頂點匕的有向路徑。

性質(zhì)1：雙向連通圖的鄰接矩陣A為素陣：即存在整數(shù)r,使得4>0。

另外，給出如下定理：

Perron-Frobenius定理：素陣A的最大特征根為正單根力，幾對應(yīng)正特

「A7「屋￡

lim—；-=slitn---=s

征向量S,且有“T8無（e為所有分量均為1的“維向量，18才也可

lim—=s

以被表示為）。

因此，對于雙向連通的競賽圖G”,E）,可以計算其鄰接矩陣4的最大特征

根以及相應(yīng)的正特征向量，按照該特征向量分量的數(shù)值大小對各個頂點（參賽

隊）排名。

2.一般排名問題的算法

對一般的排名問題，可以按下述步驟進行計算：

（1）構(gòu)造有向競賽圖G=（匕E）：將每個參賽者（隊）作為G的一個頂，即

V={vi,v2,...,vn）；當(dāng)且僅當(dāng)巧勝叫時（%,巧）為邊集E中的一條邊。

（2）將G的所有雙向連通分圖排序為G1,G2,...,Gn：使得當(dāng)四時