第6課 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(教師版)

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第1頁第6課函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

一、復(fù)習回想：1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2.函數(shù)單調(diào)性的定義

二、復(fù)習引入:

1.單調(diào)函數(shù)的圖象特征

2.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

三、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)：一般地,設(shè)函數(shù)()yfx=在某個區(qū)間(,)ab內(nèi)有導(dǎo)數(shù)

假使在這個區(qū)間內(nèi)()0fx，那么函數(shù)()yfx=在為這個區(qū)間內(nèi)的函數(shù);假使在這個區(qū)間內(nèi)()0fx，那么函數(shù)()yfx=在為這個區(qū)間內(nèi)的函數(shù).假使在某個區(qū)間內(nèi)恒有()0fx=,則()yfx=為函數(shù).

四、應(yīng)用講練

1.判斷函數(shù)的單調(diào)性

判斷以下函數(shù)的單調(diào)性

（1）3()3fxxx(2)()sin,(0,)fxxxx

（1）由已知，得()fx的定義域為R，

3()3fxxx，32()()(3)330fxxxx

因此，3()

3fxxx在(,)上單調(diào)遞增（2）

()sinfxxx，()(sin)cos1fxxxx當(0,)x時，1cos1x，cos10x，即()0f

x

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第2頁因此，函數(shù)()sinfxxx在(0,)內(nèi)單調(diào)遞減

2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求函數(shù)3223241yxxx的單調(diào)區(qū)間

由已知，得

()fx的定義域為R，3222()3()(24)1666(1)y

xxxxxxx由0y，得6(1)0xx，即0x或1x；由0y，得6(1)0xx，即10x.

因此，函數(shù)3223241y

xxx的單調(diào)遞增區(qū)間為(

,1)和(0,)；單調(diào)遞減區(qū)間為(1,0).判斷函數(shù)223yxx的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間

由已知，得()fx的定義域為R，

2()(4)3222(1)y

xxxx當0y

，即1x時，函數(shù)223yxx的單調(diào)遞增；當0y，即1x時，函數(shù)223y

xx的單調(diào)遞減；因此，函數(shù)223yxx的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,)；單調(diào)遞減區(qū)間為(,1).

求函數(shù)21()ln2

fxxx=-的單調(diào)區(qū)間由已知，得()fx的定義域為(0,

)211(1)(1)()(ln)()2xxfxxxxxx

+-=-=-=-由0,0yx，得1x；由0,0yx，得01x.

因此，函數(shù)()fx的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,

)；單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).3.由導(dǎo)數(shù)信息確定函數(shù)大致圖象

已知導(dǎo)函數(shù)的以下信息當2

3x時，()0fx當3x或2x時，()0fx；當2x或3x時，()0fx試畫出函數(shù)()fx圖象的大致形狀

設(shè)()fx是函數(shù)()fx的導(dǎo)函數(shù)，()fx的圖象

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第3頁如右圖所示,則()fx的圖象最有可能的是（）

已知函數(shù)()yfx=的圖象如圖2所示，則其導(dǎo)函數(shù)()yfx=的圖象可能是（）

例4.如圖，水以常速（即單位時間內(nèi)注入水的體積一致）注入下面四種底面積一致的容器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系圖象.

第6課函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)同步作業(yè)

一、單項選擇題

1．函數(shù)y＝3x－x3的單調(diào)遞增區(qū)間為（）．

A．(0，＋∞)

B．(－∞，－1)

C．(－1，1)

D．(1，＋∞)

C

由于33yxx=-，所以233yx=-，令0y，即2330x-解得11x-，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()1,1-

2．函數(shù)323()612

fxxxx=+--的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．(2,1)-B．(,1)-∞-和(2,)+∞C．(,2)-∞-和(1,)+∞D(zhuǎn)．(1,2)-

C

f′(x)=3x2+3x?6=3(x+2)(x?1)，所以由3(x+2)(x?1)0可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,?2)和(1,+∞)．應(yīng)選C．

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第4頁3．函數(shù)22yxx=+的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．(),1-∞B．(2,)+∞C．()1,+∞D(zhuǎn)．(),0-∞

C322

2222xyxxx-=-=，由0y得3220x-，即1x，所以函數(shù)22yxx

=+的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,)+∞.4．函數(shù)()lnfxxx=-的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A．()0,1

B．(0,)+∞

C．(1,)+∞

D．(,1)-∞A

∵()()ln,0fxxxx=-，∴()111xfxxx

-=-=，令()0fx，解得01x，即函數(shù)()lnfxxx=-的單調(diào)遞減區(qū)間為()0,1，

5．函數(shù)()12fxxx=

-的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．()0,4

B．(),1-∞

C．()0,1

D．(),4-∞C

函數(shù)()fx的定義域為；[0,)+∞，()11()222fxxxfxx=-?=-，當1()022fxx=-時，函數(shù)單調(diào)遞增，解得01x，所以函數(shù)()12

fxxx=-的單調(diào)遞增區(qū)間是()0,1.

6．已知函數(shù)dcxbxxxf+++=23)(的圖象如圖，則函數(shù))(xfy=的單調(diào)減區(qū)間為（）

A．)3,0[

B．]3,2[-

C．)2

1,(-∞D(zhuǎn)．)2,(--∞

C

由題意得，2()32fxxbxc=++，由圖象可知()()230ff-==，

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即

1240

2760

bc

bc

-+=

?

?

++=

?

，解得

3

,

18

2

bc

=-=-，

所以222

()3233183(6)

fxxbxcxxxx

=++=--=--，則函數(shù)的開口向上，對稱軸的方程為

1

2

x=，所以函數(shù)()

fx

的單調(diào)遞減區(qū)間為)

2

1

,

(-∞，應(yīng)選C.

7．設(shè)函數(shù)()

fx的圖象如圖右下所示，則導(dǎo)函數(shù)()

fx的圖象可能為（）

C

∵()

fx在(,1)

-∞，(4,)

+∞上為減函數(shù)，在(1,4)上為增函數(shù)，

∴當1

x或4

x時，()0

fx

；當14

x

時，()0

fx

．

8．()

fx的導(dǎo)函數(shù)()

fx的圖象如下圖所示，則函數(shù)()

fx的圖象最有可能是圖中的

（）

A

由()

fx的圖象可知：當(,2)(0,)

x∈-∞-?+∞時，()0

fx

，

當()

2,0

x∈-時，()0

fx

，所以()

fx在(,2)

-∞-和(0,)

+∞單調(diào)遞減，在()

2,0

-單調(diào)遞增，可排除B、C、D．

9．以下函數(shù)中，在()

0,∞

+內(nèi)為增函數(shù)的是（）

A．sin

yx

=B．x

yex

=-C．3

yxx

=-D．ln

yxx

=-

第5頁

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第6頁B

選項A，sinyx=顯然在()0,∞+內(nèi)不是增函數(shù)，所以錯誤；選項B，,10,(0,)xxyexyex=-=-∈+∞恒成立，所以正確；

選項C

，32,313(yxxyxxx=-=-=

，當0xy∈，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以錯誤；

選項D，11ln,1xyxxyxx-=-=

-=，當(1),0xy∈+∞，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以錯誤.

10．函數(shù)()1sinfxxx=+-在區(qū)間(0,2)π上是（）

A．增函數(shù)

B．減函數(shù)

C．在(0,)π上增，在(,2)ππ上減

D．在(0,)π上減，在(,2)ππ上增A

()1cos0fxx=-，()fx∴在()0,2π上遞增，應(yīng)選：A.

11．函數(shù)()43lnfxxxx=+

+的單調(diào)遞減區(qū)間是______．()0,1

()()()2+41431xxfxxxx

-=-+=，其中0x，令()0fx，則(0,1)x∈，故函數(shù)()43lnfxxxx

=++的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)，故答案為：(0,1)．

12．判斷以下函數(shù)的的單調(diào)性，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

（1）()1lnfxxxx=--（2）f(x)=，

（1）函數(shù)()1lnfxxxx

=--的定義域是()0,∞+.

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第7頁

由于()22

222

13()1112410xxxfxxxxx-+

-+=+-==恒成立，所以函數(shù)()1

lnfxxxx

=--在定義域()0,∞+上是單調(diào)遞增函數(shù).

（2）()()

2

3

01fxx=-

+，對()1,x?∈-+∞恒成立.

∴函數(shù)()fx在()1,-+∞上為減函數(shù)13．求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

（1）()lnxfxx

=（2）lnyxx=（3）()()3x

fxxe=-（1）函數(shù)()lnx

fxx

=,定義域為()0,∞+,則

()22

1

lnln1ln()xx

xxxfxxxx?--===,令()0fx,即21ln0xx-所以1ln0x-,解得xe,即函數(shù)()lnx

fxx

=的單調(diào)遞減區(qū)間為(),e+∞

（2）函數(shù)lnyxx=求導(dǎo)得：ln1yx=+.當1

(0,)xe

∈時0y，函數(shù)單調(diào)遞減；

當1

(,5)xe

∈時0y，函數(shù)單調(diào)遞增.應(yīng)選D.

（3）

()()3xfxxe=-，()()2xfxxe∴=-，解不等式()0fx，解得2x，

因此，函數(shù)()()3x

fxxe=-的單調(diào)遞增區(qū)間是()2,+∞，應(yīng)選B.

14．已知函數(shù)()lnfxxbxc=-+，()fx在點(1,(1))f處的切線方程為40xy++=．（Ⅰ）求()fx的解析式；（Ⅱ）求()fx的單調(diào)區(qū)間．

（Ⅰ）()32ln--=xxxf；（Ⅱ）單調(diào)增區(qū)間為?????

21,0，單調(diào)減區(qū)間為??

???∞+，

21.（Ⅰ）11

(),()|1xfxbfxbx

==

-∴=-又切線斜率為1-，故11b-=-，從而2b=將(1,(1))f