三角函數(shù)講義（適用于高三第一輪復(fù)習(xí)）

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1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin??cos??12．誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號看象限）

22sin??tan?cos?sin(???)??sin?cos(???)??cos?tan(???)?tan?sin(???)?sin?cos(???)??cos?tan(???)??tan?sin(?2??)?cos?cos(?2??)??sin?sin(?2??)?cos?

cos(?2??)?sin?sin(??)??sin?cos(??)?cos?

3．兩角和與差的公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?

tan(???)?tan??tan?tan??tan????)?tan(

1?tan?tan?1?tan?tan?22224．倍角公式sin2??2sin?cos?cos2??cos??sin??1?2sin??2cos??1

2tan?

1?tan2?1?cos2?1?cos2?1225．降冪公式sin??cos??sin?cos??sin2?

222b6．幅角公式asin?x?bcos?x?a2?b2sin(?x??)，其中tan??

atan2??8．補充公式(sin??cos?)2?1?2sin?cos??1?sin2?，1?sin??sin?2?cos?2

知識點睛

一．三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象1

[?1,1][?1,1]當(dāng)且僅當(dāng)x?2k?時取到最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)x?2k???時取到最小值?1最小正周期為2?偶函數(shù)?當(dāng)且僅當(dāng)x?2k??時取到最大值1；最值2當(dāng)且僅當(dāng)x?2k??周期奇偶性單調(diào)性在[2k???2時取到最小值?1最小正周期為2?奇函數(shù)?22?3?]上單調(diào)減在[2k??,2k??22,2k???]上單調(diào)增；在[2k???,2k?]上單調(diào)增；在[2k?,2k???]上單調(diào)減對稱軸x?k?；對稱中心(k??對稱軸x?k??2；對稱中心(k?,0)??2,0)

說明：表格中的k都是屬于Z，在選擇“代表〞的區(qū)間或點時，先盡量選擇離坐標(biāo)原點近的，再盡量

選擇正的。

正切函數(shù)y?tanx的圖象與性質(zhì)：

定義域為{x|x?k???2,k?Z}，值域為R

最小正周期是?，在(k??沒有對稱軸，對稱中心為(

二．正弦型函數(shù)y?Asin(?x??)(A?0,??0)的圖象方法一：先平移變換后伸縮變換

?2,k???2)上單調(diào)增

k?,0)，奇函數(shù)2平移變換：將y?sinx圖象向左(??0)或向右(??0)平移?個單位，得到y(tǒng)?sin(x??)的圖象；伸縮變換：縱坐標(biāo)不變，將y?sin(x??)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短(??1)或伸長(0???1)到原

來的

1?倍，得到y(tǒng)?sin(?x??)的圖象，此時函數(shù)周期為T?2??；

振幅變換：橫坐標(biāo)不變，將y?sin(?x??)圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長(A?1)或縮短(0?A?1)到原

來的A倍，得到y(tǒng)?Asin(?x??)的圖象，此時函數(shù)的最值分別為A、?A；

方法二：先伸縮變換后平移變換

2

伸縮變換：縱坐標(biāo)不變，將y?sinx圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短(??1)或伸長(0???1)到原來的

倍，所得函數(shù)y?sin?x的圖象，此時函數(shù)的周期為T?平移變換：將y?sin?x圖象向左(??0)或向右(??0)平移振幅變換：同上

解三角形

1?

2??；

?個單位，得到y(tǒng)?sin(?x??)的圖象?1．解三角形：

（1）邊的關(guān)系：a?b?c，a?c?b，b?c?a（或滿足：兩條較短的邊長之和大于較長邊）（2）角的關(guān)系：A?B?C??，0?A、B、C??，sinA?0，sin(A?B)?sinC，

sincos(A?B)??cosC，

2．正弦定理：

A?BCA?BC???A?B???cos，cos?sin，

2222abc???2R，其中R為?ABC的外接圓半徑sinAsinBsinC3．余弦定理：在?ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則有

?b2?c2?a2?cosA?2222bc?a?b?c?2bccosA??2?a2?c2?b222余弦定理：?b?a?c?2accosB，其變式為：?cosB?

2ac??c2?a2?b2?2abcosC??a2?b2?c2?cosC?2ab?1114．三角形的面積公式：S?ABC?absinC?bcsinA?acsinB

222

3

三角恒等變換

例題精講

考察對三角函數(shù)值“知一求二〞的把握（1）已知?是其次象限角，且sin??3，則cos??______,tan??______55（2）已知?是第四象限角，且tan???，則sin??_______，cos??______128（3）已知cos???，求sin?、tan?的值17

點評：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式能夠做到三角函數(shù)值“知一求二〞，但要注意正負(fù)符號的確定

已知tan??2，計算：（1）

點評：假使根據(jù)tan?的值求sin?、cos?的值，則需考慮?的象限，這里把1寫成sin??cos?構(gòu)

造關(guān)于sin?、cos?的齊次式，解法清白利索

（1）sin22sin??2cos?1；（2）sin?cos?；（3）23sin??4cos?2sin?cos??cos?4?25?5??cos?tan的值是________3641?（2）已知cos(???)??，則sin(??)?______22??（3）若記cos(?80)?k，則tan100?________

點評：此題主要考察誘導(dǎo)公式的使用，關(guān)于誘導(dǎo)公式希望大家牢記：互補的兩個角正弦值相等，余弦值、

正切值互為相反數(shù)，互余的兩個角正弦值、余弦值互換。

4

（1）已知sin??4?5，??(,?)，cos???，?是第三象限角，求cos(???)52133???（2）已知sin???，?是第四象限角，求sin(??)、cos(??)、tan(??)54444（3）若?為其次象限角，且sin??，則tan2??_______5

（1）已知????，求(1?tan?)(1?tan?)的值42?ABAB（2）已知A?B?，求tan?tan?3tantan的值32222?

???)、tan??tan?、tan?tan?聯(lián)系到一塊，任一項都能由另兩點評：正切的和差角公式把tan(???)(1?tan?tan?)項表示，如tan??tan??tan(

（1）若1?tan?1?2023，則?tan2??1?tan?cos2?sin2??2sin2?32?_______（2）若sin??cos??，則1?tan?5（3）設(shè)0???