上海市閔行區(qū)2020屆高三一模考試（期末考試）數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精上海市閔行區(qū)2020屆高三一?？荚嚕ㄆ谀┛荚嚕?shù)學(xué)試題含解析閔行區(qū)2019學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)質(zhì)量調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分,第1～6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果。1.已知集合，則__________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥繉⒅性刂饌€(gè)代入判斷是否成立即可得解?！驹斀狻繉⒅性刂饌€(gè)代入，符合的有、,即。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了描述法表示集合和集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題。2。復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是___________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坑蓮?fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求出即可．【詳解】解：，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．3.計(jì)算:__________【答案】3【解析】【分析】原式化簡(jiǎn)為后即可得解。【詳解】，.故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和公式以及極限的求法，屬于基礎(chǔ)題。4。已知，使得取到最大值時(shí)，__________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式即可得，當(dāng)?shù)忍?hào)成立，即可得解?！驹斀狻?，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5.在中，已知，，為的重心，用向量表示向量___________【答案】【解析】【分析】利用平面向量的基本定理，結(jié)合重心性質(zhì)即可得解。【詳解】由重心的性質(zhì)可知,所以。故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了重心的幾何性質(zhì)和平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題。6.設(shè)函數(shù)，則方程的解為_(kāi)___________【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件得，即可得解.【詳解】由題意得，即，解得或,由函數(shù)定義域可知。故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查了二階行列式的計(jì)算和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題。7。已知，則____________（結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件可得，運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意得，.故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。8。若首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,公比，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件得,即可得解。【詳解】，，由題意可得，，即，.故答案為:?！军c(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)和性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9.如圖，在三棱錐中，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，設(shè)三棱柱的體積為,三棱錐的體積為，則____________【答案】【解析】【分析】分別找到底面積和高的比值即可得解.【詳解】設(shè)，點(diǎn)到平面的距離為,由題意易知，點(diǎn)到平面距離為，,，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了立體圖形體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。10.若是正六邊形的中心，，且互不相同,要使得，則有序向量組的個(gè)數(shù)為_(kāi)___________【答案】48【解析】【分析】按照,的夾角為和兩種情況討論,再求和即可得解?！驹斀狻竣偃缱髨D,這樣，有對(duì)，且,可交換，此時(shí)有種情況,有序向量組個(gè)數(shù)為個(gè)；②如右圖,這樣的，有對(duì)，且,可交換，此時(shí)有種情況，有序向量組個(gè)數(shù)為個(gè).綜上所述,總數(shù)個(gè).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了分類加法和分布乘法的應(yīng)用，考查了分類討論的思想,屬于中檔題。11。若,且上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件得，根據(jù)的取值范圍畫出圖像即可得解?！驹斀狻坑深}意，當(dāng)，函數(shù)圖像如左圖,，不符合題；當(dāng),函數(shù)圖像如右圖，,結(jié)合圖像，當(dāng)，或，值域?yàn)?，即，。綜上.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于中檔題。12。設(shè)函數(shù)，若恰有個(gè)零點(diǎn)，.則下述結(jié)論中：①若恒成立，則的值有且僅有個(gè);②在上單調(diào)遞增；③存在和，使得對(duì)任意恒成立;④“”是“方程在恰有五個(gè)解”的必要條件.所有正確結(jié)論的編號(hào)是______________;【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)條件畫出的圖像，結(jié)合圖像和逐一判斷即可.【詳解】恰有個(gè)零點(diǎn)，，,函數(shù)的圖像如圖:①如圖,即有兩個(gè)交點(diǎn)，正確；②結(jié)合右圖，且當(dāng)時(shí)，在遞增，錯(cuò)誤；③，，，存在為最小值，為最大值，正確；④結(jié)合右圖,若方程在內(nèi)恰有五個(gè)解,需滿足，即,同時(shí)結(jié)合左圖，當(dāng)，不一定有五個(gè)解,正確.故答案為：①③④?！军c(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，屬于難題.二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分，每題5分)每題有且只有一個(gè)正確答案,考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13。已知直線的斜率為,則直線的法向量為（）A. B. C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】把斜率轉(zhuǎn)化為直線方向向量即可得解?！驹斀狻恐本€斜率為，直線的一個(gè)方向向量可以為，法向量可以是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的斜率和方向向量的關(guān)系以及法向量的求解，屬于基礎(chǔ)題.14.命題“若，則”是真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍是（)A。 B。 C。 D.【答案】C【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件得或,即可得解?！驹斀狻?，或,或，。故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法和條件之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.15.在正四面體中，點(diǎn)為所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，若與所成角為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是()A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】B【解析】【分析】把條件轉(zhuǎn)化為與圓錐的軸重合，面與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)的軌跡后即可求解?！驹斀狻恳云矫娼貓A錐面，平面位置不同,生成的相交軌跡可以為拋物線、雙曲線、橢圓、圓。令與圓錐的軸線重合，如圖所示,則圓錐母線與所成角為定值，所以面與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)的軌跡.根據(jù)題意，不可能垂直于平面即軌跡不可能為圓。面不可能與圓錐軸線平行，即軌跡不可能是雙曲線?？蛇M(jìn)一步計(jì)算與平面所成角為，即時(shí)，軌跡為拋物線，時(shí)，軌跡為橢圓,，所以軌跡為橢圓。故選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查了平面截圓錐面所得軌跡問(wèn)題,考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于難題。16。已知各項(xiàng)為正數(shù)的非常數(shù)數(shù)列滿足，有以下兩個(gè)結(jié)論:①若，則數(shù)列是遞增數(shù)列；②數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是遞增數(shù)列則()A.①對(duì)②錯(cuò) B。①錯(cuò)②對(duì) C.①②均錯(cuò)誤 D.①②均正確【答案】D【解析】【分析】按照和分類討論，分別判斷①②即可得解?！驹斀狻繛楦黜?xiàng)為正數(shù)的非常數(shù)數(shù)列，且,當(dāng)時(shí)，顯然為遞增數(shù)列,①②均正確；當(dāng)時(shí)，，不滿足①的前提;,，依此類推，，即偶數(shù)項(xiàng)遞減，奇數(shù)項(xiàng)遞增。故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于中檔題。三、解答題（本大題滿分76分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.如圖，在一個(gè)圓錐內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接圓柱(圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面的圓在圓錐的側(cè)面上)，圓錐的母線長(zhǎng)為是底面的兩條直徑，且，圓柱與圓錐的公共點(diǎn)恰好為其所在母線的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面的圓心.（1）求圓柱的側(cè)面積;（2）求異面直線和所成的角的大小。【答案】(1）；(2）【解析】【分析】（1）求出圓柱的底面半徑和高即可求解;（2)把異面直線和所成的角轉(zhuǎn)化為和的夾角即可得解.【詳解】(1）設(shè)圓柱上底面的圓心為，連接、，在中，是的中點(diǎn)，，，，.（2），分別是、的中點(diǎn)，，異面直線和所成的角等于和的夾角，，,。異面直線和所成的角為?！军c(diǎn)睛】本題考查了圓柱的側(cè)面積公式和異面直線所成的角的求法，屬于基礎(chǔ)題。18.已知函數(shù)(1）若為奇函數(shù)，求的值;(2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1);（2)【解析】【分析】（1)利用奇函數(shù)性質(zhì)即可得解；（2）轉(zhuǎn)化條件為在恒成立即可得解?！驹斀狻浚?）,為奇函數(shù),即，.（2)，恒成立，即恒成立，令，又，。【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用和恒成立問(wèn)題的解決方法,考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題.19。某地實(shí)行垃圾分類后，政府決定為三個(gè)小區(qū)建造一座垃圾處理站M,集中處理三個(gè)小區(qū)的濕垃圾.已知在的正西方向，在的北偏東方向，在的北偏西方向，且在的北偏西方向，小區(qū)與相距與相距.（1）求垃圾處理站與小區(qū)之間的距離;（2)假設(shè)有大、小兩種運(yùn)輸車,車在往返各小區(qū)、處理站之間都是直線行駛,一輛大車的行車費(fèi)用為每公里元，一輛小車的行車費(fèi)用為每公里元（其中為滿足是內(nèi)的正整數(shù)）?，F(xiàn)有兩種運(yùn)輸濕垃圾的方案：方案1:只用一輛大車運(yùn)輸，從出發(fā),依次經(jīng)再由返回到；方案2:先用兩輛小車分別從運(yùn)送到，然后并各自返回到,一輛大車從直接到再返回到.試比較哪種方案更合算?請(qǐng)說(shuō)明理由。結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位【答案】（1）公里；（2）當(dāng)時(shí)，方案二合算;當(dāng)時(shí),方案一合算.【解析】【分析】（1）算出的所有內(nèi)角后，利用正弦定理即可得解；（2）計(jì)算出路線長(zhǎng)度后分別寫出兩種方案的成本,比較大小即可得解。【詳解】（1）在中，，，,。由正弦定理得：，。所以垃圾處理站與小區(qū)間的距離為公里.(2）在中，由得：在中，,，,.方案一費(fèi)用:，方案二費(fèi)用：當(dāng)時(shí)，方案二合算，此時(shí);當(dāng)時(shí),方案一合算,此時(shí);綜上，當(dāng)時(shí)，方案二合算；當(dāng)時(shí)，方案一合算?！军c(diǎn)睛】本題考查了解三角形的應(yīng)用和函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。20.已知拋物線和圓，拋物線的焦點(diǎn)為.（1)求的圓心到的準(zhǔn)線的距離；（2)若點(diǎn)在拋物線上，且滿足,過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，記切點(diǎn)為，求四邊形的面積的取值范圍；（3）如圖，若直線與拋物線和圓依次交于四點(diǎn)，證明:的充要條件是“直線的方程為”【答案】（1）4；（2)；（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】(1）分別求出圓心和準(zhǔn)線方程即可得解；(2）根據(jù)條件可表示出四邊形的面積,利用函數(shù)的單調(diào)性即可得解；(3）充分性：令直線的方程為，分別求出、、、四點(diǎn)坐標(biāo)后即可證明；必要性:設(shè)的方程為，,，，，由可得，即可得出與的關(guān)系，進(jìn)而可得出直線的方程為.【詳解】（1）由可得：，的圓心與的焦點(diǎn)重合,圓心到的準(zhǔn)線的距離為。（2）四邊形的面積為：，當(dāng)時(shí),四邊形的面積的取值范圍為.(2）證明(充分性）：若直線的方程為，將分別代入得,，,.，.(必要性）：若，則線段與線段的中點(diǎn)重合，設(shè)的方程為，，，,,則,將代入得，，即,同理可得，,即或，而當(dāng)時(shí)，將其代入得不可能成立；.當(dāng)時(shí)，由得：，，將代入得,,，，，或(舍去)直線的方程為.的充要條件是“直線的方程為”.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線和圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的綜合、條件之間的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和計(jì)算能力，屬于難題。21.已知數(shù)列滿足（1）當(dāng)時(shí)，寫出所有可能的值；（2）當(dāng)時(shí)，若且對(duì)任意恒成立,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3）記數(shù)列的前項(xiàng)和為,若分別構(gòu)成等差數(shù)列，求.【答案】（1）或或或；（2)；（3)【解析】【分析】（1）構(gòu)造新數(shù)列后分類討論即可得解；(2）轉(zhuǎn)化條件得，，作差得,求出后再求出即可得解;(3)轉(zhuǎn)化條件得,，分組求和即可得解?！驹斀狻浚?）當(dāng)時(shí),，即是以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列，，可得：,，，,或或或.（2）當(dāng)時(shí)，即是首項(xiàng)為.公差為的等差數(shù)列，,，，且，，，，