2022-2023學(xué)年安徽省滁州市、定遠(yuǎn)縣高二年級上冊學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年安徽省滁州市、定遠(yuǎn)縣高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，集合，.若，則復(fù)數(shù)等于A．1 B．?1 C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的概念得到集合Q，計(jì)算集合P與集合Q的補(bǔ)集，即可確定出復(fù)數(shù)z.【詳解】,,則，即zi=-1,z=,故選C【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算和復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于簡單題.2．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】通過賦值求得，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故可得，則.故選：.3．是向量為單位向量的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由單位向量的定義，即得解【詳解】由單位向量的定義，可知是向量為單位向量的充要條件故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了充要條件的判斷，考查了學(xué)生概念理解，邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.4．已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)化簡，再利用同角公式計(jì)算作答.【詳解】由得：，即，因，則，所以.故選：C5．已知圓，圓，則兩圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)含 D．相切【答案】B【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心及半徑，由兩圓圓心距離與半徑的關(guān)系判斷位置關(guān)系.【詳解】由題設(shè)，：，：，∴，半徑；，半徑；∴，即兩圓相交.故選：B6．設(shè)函數(shù)，，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知函數(shù)在上是減函數(shù)，則有，結(jié)合函數(shù)的圖象可得關(guān)于的限制條件，解出即可．【詳解】解：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，即有，也即，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，故有，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．7．若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，且直線過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線實(shí)軸長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得及，再結(jié)合求出，即可得解.【詳解】解：由題意知，，，又，∴，，，故雙曲線實(shí)軸長為.故選：C.8．設(shè)為實(shí)數(shù)，定義在上的偶函數(shù)滿足：①在上為增函數(shù)；②，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性可得，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，在上為增函數(shù)，由可得，∴，解得.故選：B.二、多選題9．下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．，則B．若，，則.C．若，，則D．若，則的最小值是2【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，可舉出反例；BC選項(xiàng)，可根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)得到；D選項(xiàng)，利用基本不等式進(jìn)行求解，由于等號取不到，可知無最小值.【詳解】若，則，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，B正確；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，C正確；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，由于，故等號取不到，所以無最小值.故選：BC10．等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，當(dāng)首項(xiàng)和變化時(shí)，是一個(gè)定值，則下列各數(shù)也為定值的有A． B． C． D．【答案】BC【解析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式可得出結(jié)果.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得為定值，則為定值，為定值，但不是定值.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)的基本性質(zhì)和等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11．已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的說法，正確的是（

）A．的最小正周期為B．在上有2個(gè)零點(diǎn)C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)【答案】AB【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷AC，由整體法得到，可以得到在上的零點(diǎn)判斷B，根據(jù)圖象的變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對于選項(xiàng)A：的最小正周期為，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上存在零點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，所以在區(qū)間上先增后減，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位得到，函數(shù)為奇函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AB．12．已知直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與以為直徑的圓的公共點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的面積為 D．【答案】ABD【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，可求得的值，可判斷A；利用點(diǎn)差法可求得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理列等式可求得的值，可判斷B；利用拋物線的焦點(diǎn)弦長公式以及三角形的面積公式可判斷C、D.【詳解】由題意知，拋物線的準(zhǔn)線為，即，解得，故A正確；因?yàn)?，所以拋物線的方程為：，其焦點(diǎn)為，又直線，即，所以直線恒過拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)在拋物線上，聯(lián)立方程兩式相減可得，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，解得，所以點(diǎn)是以為直徑的圓的圓心，由拋物線的定義知，圓的半徑.因?yàn)?，所以，解得，故B正確；因?yàn)?，所以，直線為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，點(diǎn)到直線的距離為，所以，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.三、填空題13．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差相等且均不為零，則______.【答案】【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解.【詳解】設(shè)公差為，.故答案為:.14．使得“”成立的一個(gè)充分條件是___________.【答案】（答案不唯一，）.【分析】由于，故不等式等價(jià)于，解得，故只需寫出的子集即可.【詳解】由于，故等價(jià)于，解得：，使得“”成立的一個(gè)充分條件只需為集合的子集即可，故答案可以為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查充分條件，指數(shù)不等式，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知解指數(shù)不等式，進(jìn)而需求不等式解集的子集即可.15．?dāng)?shù)列滿足，對任意的都有，則______.【答案】【分析】由已知可得出，利用累加法可求得，求得，利用裂項(xiàng)相消法可求得的值.【詳解】由，可得，所以，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，故對任意的，，所以，所以.故答案為：.16．在三棱錐中，底面，則該三棱錐的外接球的體積為___________.【答案】【分析】將三棱錐補(bǔ)成長方體，它的對角線是其外接球的直徑，從而即可求得該三棱錐的外接球的表面積．【詳解】因?yàn)槿忮F中，底面，，所以可將三棱錐補(bǔ)成長方體，長方體的對角線是三棱錐外接球的直徑，則三棱錐外接球的直徑為，半徑為，所以外接球的體積故答案為：.四、解答題17．已知數(shù)列為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和記為，，．(1)求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得通項(xiàng)，（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，找到正負(fù)項(xiàng)的分界線，即可求解最值.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由，，得解得，，∴．（2）數(shù)列首項(xiàng)為負(fù)的，公差大于零，是遞增數(shù)列，令即解得，∴，即第1項(xiàng)到第12項(xiàng)都是負(fù)的，從第13項(xiàng)起變成正的，∴時(shí)，最小，最小值為18．在中，角的對邊分別為，，，且滿足.(1)求角；(2)若，，求外接圓的面積【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和兩角和與差的正弦公式即可求解；（2）根據(jù)余弦定理和正弦定理即可求解.【詳解】（1）由正弦定理知，，所以，∴，且，，∴，.（2）由余弦定理得，，，∴，.∴外接圓面積.19．已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的方程為.(1)若圓與直線相切，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離是1，求圓的半徑的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，利用點(diǎn)到直線距離公式，即得解（2）分析可得，即，求解即可【詳解】（1）設(shè)圓的半徑為，圓心到直線距離為，則，依題意，所以圓的方程為.（2）由（1）知，圓心到直線距離為，又圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離是1，所以，即，所以，即圓的半徑的取值范圍是.20．俄羅斯與烏克蘭的軍事沖突導(dǎo)致石油、天然氣價(jià)格飆升.燃油價(jià)格問題是人們關(guān)心的熱點(diǎn)問題，某網(wǎng)站為此進(jìn)行了調(diào)查.現(xiàn)從參與者中隨機(jī)選出100人作為樣本，并將這100人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示(1)求樣本中數(shù)據(jù)落在的頻率；(2)求樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)；(3)若將頻率視為概率，現(xiàn)在要從和兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求抽取的2人中至少有1人的年齡在這一組的概率.【答案】(1)0.4(2)55(3)【分析】（1）利用頻率分布直方圖所有小矩形面積和為1計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖和第60百分位數(shù)定義計(jì)算即可；（3）利用分層抽樣的概念和古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，樣本中數(shù)據(jù)落在的頻率為（2）樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)落在第四組，且第60百分位數(shù)為（3）與兩組的頻率之比為，現(xiàn)從和兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，則組抽取2人，記為，，組抽取4人，記為1，2，3，4.所有可能的情況為，，，，，，，，，，，，，，，共15種.其中至少有1人的年齡在的情況有，，，，，，，，，共9種，故所求概率.21．在如圖所示的四棱錐中，四邊形為矩形，平面，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若，，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，則，再由線面平行的判定定理即可證明.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出平面與平面的法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案.【詳解】（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴∵平面，平面，∴平面（2）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，則，∵平面，∴平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，∴∴故平面與平面夾角的余弦值為.22．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)，是橢圓C的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C上任意一點(diǎn)，若面積的最大值為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為M，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，連接，，與x軸分別交于P，Q兩點(diǎn)，求證：始終為等腰三角形.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)面積的