線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第1頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二§2-1線性系統(tǒng)的輸入-輸出時間函數(shù)描述一、線性系統(tǒng)輸入-輸出微分方程描述的建立（機理分析法）例1機械位移系統(tǒng)第2頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二例2R-L-C系統(tǒng)第3頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二其中n＞＝m微分方程的一般形式：第4頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二描述線性定常系統(tǒng)的微分方程為：實驗辨識方法的理論依據(jù)：C(t)=H(t)r(t)假設(shè)線性系統(tǒng)是定常的，初始條件為零或初始狀態(tài)為零，其響應(yīng)和輸入之間滿足齊次和線性關(guān)系，即：二、脈沖響應(yīng)（實驗辨識法）第5頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二給定輸入是單位脈沖函數(shù)時實驗辨識基本原理脈沖函數(shù)的表達式為：A為脈沖面積或脈沖強度。脈沖強度A=1時的脈沖函數(shù)記為，令并求取極限，則稱為單位脈沖函數(shù)。，令第6頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二零初始條件的線性定常系統(tǒng)的輸入δ(t)，得到的輸出稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，也稱為權(quán)函數(shù)，記作g(t)。第7頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二§2.2線性系統(tǒng)的輸入—輸出傳遞函數(shù)描述為什么采用傳遞函數(shù)來描述？微分方程描述不直觀、求解困難。線性常微分方程經(jīng)過拉氏變換，即可得到系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型，稱之為傳遞函數(shù)。將單位脈沖響應(yīng)g(t)的曲線轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的傳遞函數(shù)。表示其輸入輸出關(guān)系。第8頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二R(s)輸入r(t)的像函數(shù)，即輸入函數(shù)的拉氏變換；C(s)輸出c(t)的像函數(shù)，即輸出函數(shù)的拉氏變換。傳遞函數(shù)——初始條件為零的線性定常系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。幾點說明：只適用于線性定常系統(tǒng)。是系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型。分母的階數(shù)一定高于分子的階數(shù)。(為什么？）有慣性元件和受到功率的限制第9頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入量對一個輸出量的關(guān)系。單輸入-單輸出系統(tǒng)，若多輸入多輸出要采用傳遞函數(shù)矩陣。傳遞函數(shù)可以表示成有理分式，也可以表示成零極點表示的形式。也可以表示成時間常數(shù)的形式相似原理:有相同的數(shù)學(xué)模型，有相同的運動形態(tài)第10頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二§2-3非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性方程難于求解，用線性數(shù)學(xué)模型近似表示非線性數(shù)學(xué)模型。在一定工作范圍內(nèi)進行線性化處理。將非線性函數(shù)在平衡點附近展成泰勒級數(shù)，并忽略高次項。例：直流發(fā)電機X軸表示勵磁電流Y軸表示輸出電勢由于存在磁路飽和，y和x呈非線性關(guān)系y=f(x)可以在(x0,y0)附近泰勒級數(shù)

第11頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二忽略高次項，然后用增量表示經(jīng)上述處理后，就變成了線性方程。第12頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二上述方法稱為小偏差線性化方法。它是基于這樣一種假設(shè)：輸入量和輸出量只是在靜態(tài)工作點附近作微小變化。幾點注意：(1)只適用于不太嚴重的非線性系統(tǒng)，其非線性函數(shù)是可以利用泰勒級數(shù)展開的（非本質(zhì)非線性）。(2)實際運行情況是在某個平衡點(即靜態(tài)工作點)附近，且變量只能在小范圍內(nèi)變化。(3)不同靜態(tài)工作點得到的方程是不同的。(4)對于嚴重的非線性，例如繼電特性，因為處處不滿足泰勒級數(shù)展開的條件，故不能做線性化處理。(5)線性化后得到的是增量微分方程。第13頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二§2-4

典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型

比例環(huán)節(jié)

如：剛性杠桿(水位控制中的杠桿)、理想運放、測速發(fā)電機的電壓與轉(zhuǎn)速的關(guān)系

特征：輸入輸出成比例，不失真，無延遲

控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的處理方法：使用簡單的典型的環(huán)節(jié)模型，通過串、并聯(lián)組成復(fù)雜系統(tǒng)。第14頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二

慣性環(huán)節(jié)如：R-C、R-L、勵磁環(huán)節(jié)特征：輸出不能立即跟隨輸入的變化

--慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)。越大，響應(yīng)越慢。R-C串聯(lián)電路與直流電壓接通，電容上電壓建立過程。第15頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二

積分環(huán)節(jié)微分方程輸入不為零則輸出無限增加，一旦輸入為零，輸出不回零，而是保持在輸入為零時刻的值（記憶）。第16頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二

微分環(huán)節(jié)

特征：輸出與輸入的變化成正比（預(yù)測功能）帶慣性微分環(huán)節(jié)

實際：一階微分環(huán)節(jié)微分方程第17頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二

振蕩環(huán)節(jié)如：R-L-C、彈簧阻尼系統(tǒng)特征：具有一般系統(tǒng)的特征，輸出會振蕩1>ζ>0第18頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二

純滯后環(huán)節(jié)特征：輸出是輸入的延遲如：傳送帶、間隙等G（s）=第19頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二§2-5框圖及其化簡方法一、框圖（方塊圖或結(jié)構(gòu)圖）的基本概念

把方塊圖和傳遞函數(shù)結(jié)合起來，是描述系統(tǒng)各組成元件之間信號傳遞關(guān)系的一種數(shù)學(xué)圖形。結(jié)構(gòu)圖既給出了信息傳遞的方向又給出了輸入、輸出信號的拉氏變換的定量關(guān)系。即C(s)=R(s)G(s)。第20頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二二、結(jié)構(gòu)圖的組成和建立由四種基本圖形符號組成。（1）函數(shù)方塊(2)信號線(3)分支點(引出點)（4)綜合點(比較點或相加點)第21頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的建立第22頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二三框圖變換和化簡1、環(huán)節(jié)串聯(lián)G(s)=G1(s)*G2(s)C(s)=G2(s)*C1(s)=G2(s)*G1(s)*R(s)常用的結(jié)構(gòu)圖變換方法有二：一是環(huán)節(jié)的合并，二是信號分支點或綜合點的移動。原則是：變換前、后的數(shù)學(xué)關(guān)系(輸入量、輸出量）保持不變。第23頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二

負載效應(yīng)問題上圖中，后一個網(wǎng)絡(luò)的輸入接到前一個的輸出，由于存在負載效應(yīng)，就不能進行上述的變換，即第24頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二G(s)=G1(s)+G2(s)2、環(huán)節(jié)并聯(lián)3、反饋聯(lián)接C(s)=G1(s)*[R(s)±G2(s)*C(s)]整理得.請注意這里的符號！第25頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二4、引出點的移動

始終保持輸出不變第26頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二5、相加點的移動

同樣，始終保持輸出不變第27頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二四、方框圖簡化

引出點前移引出點交換G4(s)輸入不變

下一步怎樣移？第28頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二按前移做—變?yōu)闊o交叉的兩部分：反饋相加G(s)第29頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二§2-6信號流圖一、基本概念是一種將線性代數(shù)方程用圖形表示的方法。支路有三個特點：聯(lián)接有因果關(guān)系的節(jié)點；有方向性；有加權(quán)性。第30頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二二、術(shù)語和定義節(jié)點：表示變量或信號的點。支路：起源于一個節(jié)點，終止于另一個節(jié)點，這兩個節(jié)點之間不包含或經(jīng)過第三個節(jié)點。出支路：離開節(jié)點的支路。入支路：指向節(jié)點的支路。源(節(jié))點：只有出支路的節(jié)點，對應(yīng)于自變量或外部輸入，如x0。匯節(jié)點：只有入支路的節(jié)點，對應(yīng)于因變量，如x6

。第31頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二開通道：如果通道從某節(jié)點開始終止在另一節(jié)點上，而且通道中每個節(jié)點只經(jīng)過一次，則該通道稱為開通道。通道：又稱路徑，從一個節(jié)點出發(fā)，沿著支路的箭頭方向相繼經(jīng)過多個節(jié)點的支路。混合節(jié)點：節(jié)點既連接入支路又連接出支路。閉通道：如果通道的終點就是通道的始點，并且通道中每個節(jié)點只經(jīng)過一次，該通道稱為閉通道或反饋環(huán)、回環(huán)、回路等。如果從一個節(jié)點開始，只經(jīng)過一個支路又回到該節(jié)點的，稱為自回環(huán)。第32頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二前向通道：在開通道中，從源節(jié)點開始到匯節(jié)點終止，而且每個節(jié)點只通過一次的通道，稱為前向通道。不接觸回環(huán)：如果一些回環(huán)沒有任何公共節(jié)點，就稱它們?yōu)椴唤佑|回環(huán)。支路傳輸：兩個節(jié)點之間的增益。通道傳輸或通道增益：沿通道各支路傳輸?shù)某朔e?；丨h(huán)傳輸或回環(huán)增益：閉通道中各支路傳輸?shù)某朔e。第33頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二混合節(jié)點的消除回路的消除自回路的消除串聯(lián)支路的合并并聯(lián)支路的合并三、信號流圖的簡化第34頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二四、梅遜(Mason)公式及其應(yīng)用梅遜公式為：T—從源節(jié)點到任何節(jié)點的傳輸；Pk—第k條前向通道的傳輸；Δ—信號流圖的特征式ΣL1—為所有不同回環(huán)的傳輸之和；ΣL2—為任何兩個互不接觸的回環(huán)傳輸?shù)某朔e之和；ΣL3—為任何三個互不接觸的回環(huán)傳輸?shù)某朔e之和；ΣLm—為任何m個互不接觸的回環(huán)傳輸?shù)某朔e之和；Δk—為余子式，即從Δ中除去與第k條前向通道Pk相接觸的回環(huán)的回路增益后余下的部分特征式。第35頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二四、梅遜(Mason)公式及其應(yīng)用梅遜公式為：T—從源節(jié)點到任何節(jié)點的傳輸；Pk—第k條前向通道的傳輸；Δ—信號流圖的特征式ΣL1—為所有不同回環(huán)的傳輸之和；ΣL2—為任何兩個不互不接觸的回環(huán)傳輸?shù)某朔e之和；ΣL3—為任何三個不互不接觸的回環(huán)傳輸?shù)某朔e之和；ΣLm—為任何m個不互不接觸的回環(huán)傳輸?shù)某朔e之和；Δk—為余子式，即從Δ中除去與第k條前向通道Pk相接觸的回環(huán)的回路增益后余下的部的特征式。第36頁，共38頁，2023年，2月20日，星期二例1L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij

1-31-41-52-42-53-55-6L3=abefijL1=ab+cd+ef+gh+ij+kfdb回環(huán)6個：兩個互不接觸回環(huán)7對：三