第七節(jié)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)演示文稿

第七節(jié)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有18頁\編輯于星期四（優(yōu)選）第七節(jié)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)現(xiàn)在是2頁\一共有18頁\編輯于星期四二階線性微分方程的概念方程(1)稱為二階非齊次線性微分方程.本節(jié)所討論的二階線性微分方程的解的一些性質(zhì),還可以推廣到階線性微分方程現(xiàn)在是3頁\一共有18頁\編輯于星期四二階線性微分方程解的定理定理1如果函數(shù)與是方程(1)的兩個解,則也是方程(1)的解,其中是任意常數(shù).現(xiàn)在是4頁\一共有18頁\編輯于星期四函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)定義1設(shè)是定義在區(qū)間內(nèi)數(shù).如果存在兩個不全為零的常數(shù)使得在區(qū)間內(nèi)恒有則稱這兩個函數(shù)在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān).否則稱線性無關(guān).的兩個函現(xiàn)在是5頁\一共有18頁\編輯于星期四二階線性微分方程解的定理定理2若與是方程(1)的兩個線性無關(guān)的特解,則就是方程(1)的通解,其中是任意常數(shù).現(xiàn)在是6頁\一共有18頁\編輯于星期四二階線性微分方程解的定理定理3設(shè)是方程(1)的一個特解,而是其對應(yīng)的齊次方程(2)的通解,則就是二階非齊次線性微分方程(1)的通解.現(xiàn)在是7頁\一共有18頁\編輯于星期四二階線性微分方程解的定理定理4設(shè)與分別是方程與的特解,則是方程的特解.現(xiàn)在是8頁\一共有18頁\編輯于星期四二階線性微分方程解的定理定理5設(shè)是方程的解,其中為實值函數(shù),為純虛數(shù).則與分別是方程與的解.現(xiàn)在是9頁\一共有18頁\編輯于星期四例1已知是某二階非齊次線性微分方程的三個特解：求此方程的通解;寫出此微分方程;求此微分方程滿足的特解.現(xiàn)在是10頁\一共有18頁\編輯于星期四齊次線性微分方程的解法設(shè)是方程(1)的一個已知非零特解,作變量替換現(xiàn)在是11頁\一共有18頁\編輯于星期四解線性微分方程的降階法把它們代入(1)式,得再作變量替換得現(xiàn)在是12頁\一共有18頁\編輯于星期四解線性微分方程的降階法分離變量得兩邊積分得為任意常數(shù)).對積分,得為任意常數(shù)).代回原變量,就得到方程(1)的通解現(xiàn)在是13頁\一共有18頁\編輯于星期四解線性微分方程的降階法為任意常數(shù)).代回原變量,就得到方程(1)的通解這個公式稱為二階線性微分方程的劉維爾公式.現(xiàn)在是14頁\一共有18頁\編輯于星期四例2已知是方程個解,試求方程的通解.的一現(xiàn)在是15頁\一共有18頁\編輯于星期四常數(shù)變易法設(shè)有二階非齊次線性方程如果其對應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程(1)的特解為其中是兩個特定函數(shù),對求導數(shù),得現(xiàn)在是16頁\一共有18頁\編輯于星期四常數(shù)變易法我們補充如下條件:得方程組現(xiàn)