2020年高校聯(lián)合招收華僑港澳臺學(xué)生考試數(shù)學(xué)試卷真題及答案詳解

第1頁（共1頁）2020年中華人民共和國普通高等學(xué)校聯(lián)合招收華僑港澳臺學(xué)生入學(xué)考試數(shù)學(xué)（含答案與解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）若集合A共有5個元素，則A的真子集的個數(shù)為（）A．32 B．31 C．16 D．152．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝ln（3x+a），若f'（0）＝1，則a＝（）A．3 B．e C．ln3 D．13．（5分）設(shè)z＝，則＝（）A．5﹣3i B．﹣5﹣3i C．5+3i D．﹣5+3i4．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝x2+x+c，若f（1），f（2），f（3）成等比數(shù)列，則c＝（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．65．（5分）離心率為的橢圓的焦距為2，則該橢圓的短軸長為（）A．1 B． C．2 D．46．（5分）設(shè)雙曲線x2﹣y2＝4的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線右支上，且∠F1PF2＝90°，則點P的橫坐標為（）A． B．2 C． D．67．（5分）從寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中任選2張，其上數(shù)字和為偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．8．（5分）已知正三棱錐P﹣ABC，AB＝2，PA＝，D為PC中點，則三棱錐D﹣ABC的體積為（）A． B． C． D．9．（5分）若a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，則ab的最大值為（）A． B． C． D．10．（5分）函數(shù)f（x）＝lnx+的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（0，1） B．（，+∞） C．（0，e） D．（1，+∞）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝2sin2x﹣sin2x，則f（x）的最小值為（）A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣212．（5分）設(shè)點P1，P2，P3在⊙O上，若++＝，則∠P1P2P3＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。13．（5分）不等式組的解集為．14．（5分）（x﹣3）（x﹣32）（x﹣33）（x﹣34）的展開式中x3的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）15．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x）＝f（x+2），f（2）＝1，則f（20）＝．16．（5分）在空間直角坐標系中，已知點A（1，0，2），B（1，1，﹣1），則經(jīng)過點A且與直線AB垂直的平面方程為．17．（5分）若多項式x5+x3+2x2+a能被x2+1整除，則a＝．18．（5分）已知雙曲線x2﹣y2＝m與橢圓2x2+3y2＝m+1有相同的焦點，則m＝．三、解答題：本題共4小題，每小題15分，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。19．（15分）設(shè)函數(shù)f（x）＝．（1）求f（x）的定義域；（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間：（3）求f（x）在區(qū)間[1，5]的最大值和最小值．20．（15分）設(shè)△ABC的面積為10，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝7，sin2A＝sin2B+sin2C﹣sinBsinC．求A，b和c．21．（15分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2an﹣n．（1）求{an}的通項公式；（2）證明：＜．22．（15分）經(jīng)過點A（﹣2，4）且傾斜角為135°的直線與拋物線y2＝2px（p＞0）交于M，N兩點，且＝λ，＝，λ＞0．求p和λ．2020年中華人民共和國普通高等學(xué)校聯(lián)合招收華僑港澳臺學(xué)生入學(xué)考試數(shù)學(xué)參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）若集合A共有5個元素，則A的真子集的個數(shù)為（）A．32 B．31 C．16 D．15【分析】根據(jù)真子集個數(shù)的結(jié)論即可求解．【解答】解：∵集合A共有5個元素，∴A的真子集的個數(shù)為25﹣1＝31．故選：B．【點評】本題考查真子集個數(shù)的結(jié)論，屬基礎(chǔ)題．2．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝ln（3x+a），若f'（0）＝1，則a＝（）A．3 B．e C．ln3 D．1【分析】先根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)公式求出導(dǎo)函數(shù)，再通過f'（0）＝1建立方程即可求解．【解答】解：∵f（x）＝ln（3x+a），∴f′（x）＝，又f'（0）＝1，∴，∴a＝3，故選：A．【點評】本題考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)公式，方程思想，屬基礎(chǔ)題．3．（5分）設(shè)z＝，則＝（）A．5﹣3i B．﹣5﹣3i C．5+3i D．﹣5+3i【分析】先化簡復(fù)數(shù)z，再求，從而得解．【解答】解：∵z＝＝＝﹣5+3i，∴＝﹣5﹣3i．故選：B．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的基本運算，屬基礎(chǔ)題．4．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝x2+x+c，若f（1），f（2），f（3）成等比數(shù)列，則c＝（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6【分析】根據(jù)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)建立方程即可求解．【解答】解：∵f（x）＝x2+x+c，∴f（1）＝c+2，f（2）＝c+6，f（3）＝c+12，又f（1），f（2），f（3）成等比數(shù)列，∴f（1）f（3）＝[f（2）]2，∴（c+2）（c+12）＝（c+6）2，解得c＝6．故選：D．【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題．5．（5分）離心率為的橢圓的焦距為2，則該橢圓的短軸長為（）A．1 B． C．2 D．4【分析】根據(jù)題意建立a，b，c的方程組，再解方程組即可得解．【解答】解：∵橢圓的離心率e＝＝，又橢圓的焦距為2c＝2，∴c＝1，a＝2，∴b＝＝＝，∴該橢圓的短軸長為2b＝．故選：C．【點評】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題．6．（5分）設(shè)雙曲線x2﹣y2＝4的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線右支上，且∠F1PF2＝90°，則點P的橫坐標為（）A． B．2 C． D．6【分析】設(shè)點P為（x，y），再根據(jù)題意建立方程組，最后解方程組即可得解．【解答】解：∵雙曲線的方程為x2﹣y2＝4，∴a2＝b2＝4，∴c2＝a2+b2＝8，∴c＝，∴F1（，0），F(xiàn)2（，0），設(shè)P（x，y），根據(jù)題意可得：，解得x＝，∴點P的橫坐標為．故選：C．【點評】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題．7．（5分）從寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中任選2張，其上數(shù)字和為偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)組合數(shù)公式，計數(shù)原理，古典概率的概率公式即可求解．【解答】解：從寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中任選2張共有＝10個結(jié)果，而2張卡片上的數(shù)字和為偶數(shù)的條件為2個奇數(shù)或2個偶數(shù)，∴2張卡片上的數(shù)字和為偶數(shù)包含+＝4個結(jié)果，∴2張卡片上的數(shù)字和為偶數(shù)的概率是＝．故選：C．【點評】本題考查古典概率的概率公式，組合數(shù)公式及計數(shù)原理，屬基礎(chǔ)題．8．（5分）已知正三棱錐P﹣ABC，AB＝2，PA＝，D為PC中點，則三棱錐D﹣ABC的體積為（）A． B． C． D．【分析】由題意畫出圖形，求得棱錐底面面積，再求出棱錐的高，得到D到底面的距離，再由棱錐體積公式求解．【解答】解：如圖，正三棱錐P﹣ABC中，AB＝2，則，設(shè)AC的中點為E，連接BE，則△ABC的中心O在BE上，且BO＝，又PA＝，∴三棱錐的高PO＝＝，∵D為PC中點，∴D到平面ABC的距離為，∴三棱錐D﹣ABC的體積為V＝．故選：A．【點評】本題考查多面體體積的求法，考查空間想象能力與運算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．（5分）若a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，則ab的最大值為（）A． B． C． D．【分析】方法一：由a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，可消去c得到4a+3b＝4，根據(jù)基本不等式“和定，積有最大值”，，當(dāng)且僅當(dāng)4a＝3b時，等號成立即可得出答案；方法二：由a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，可消去c得到4a+3b＝4，則，令y＝ab，代入即可得到二次函數(shù)，即可得出答案．【解答】解：方法一：由a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，消去c得到4a+3b＝4，令a＞0，b＞0．則4a+3b≥，即，∴ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)4a＝3b時，等號成立，故ab的最大值為．故選：C．方法二：由a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，可消去c得到4a+3b＝4，則，令y＝ab，∴y＝，∴當(dāng)b＝時，，故ab的最大值為．故選：C．【點評】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，解題時要注意“＝”成立的條件及使用基本不等式的條件，屬于中檔題．10．（5分）函數(shù)f（x）＝lnx+的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（0，1） B．（，+∞） C．（0，e） D．（1，+∞）【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），然后求解f′（x）＞0的解集即可得解．【解答】解：已知函數(shù)f（x）＝lnx+，則函數(shù)的定義域為：（0，+∞），則，令f′（x）＞0，解得x＞1，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），故選：D．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，重點考查了函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬基礎(chǔ)題．11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝2sin2x﹣sin2x，則f（x）的最小值為（）A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣2【分析】首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成余弦型函數(shù)，進一步利用余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的最小值．【解答】解：函數(shù)f（x）＝2sin2x﹣sin2x＝＝1﹣2cos（2x﹣）；當(dāng)（k∈Z），即x＝（k∈Z）時，函數(shù)的最小值為﹣1．故選：B．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）設(shè)點P1，P2，P3在⊙O上，若++＝，則∠P1P2P3＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根據(jù)已知條件，推得，即，再結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式，即可求解．【解答】解：設(shè)＝r，∵++＝，∴，即，∴r2+r2+2×r×r×cos∠P1OP2＝r2，解得cos∠P1OP2＝，∴∠P1OP2＝120°，同理可得，∠P1OP3＝120°，∠P2OP3＝120°，∴△P1P2P3是等邊三角形，∴∠P1P2P3＝60°．故選：C．【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。13．（5分）不等式組的解集為{x|﹣4≤x＜﹣1}．【分析】由一元二次不等式的解法和集合的交集運算可得所求．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0可得x＞3或x＜﹣1；由﹣x2﹣3x+4≥0可得﹣4≤x≤1．所以不等式組即為，解得﹣4≤x＜﹣1．故答案為：{x|﹣4≤x＜﹣1}．【點評】本題考查一元二次不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）（x﹣3）（x﹣32）（x﹣33）（x﹣34）的展開式中x3的系數(shù)為﹣120．（用數(shù)字作答）【分析】先觀察展開式中x3的特點，再求解即可．【解答】解：（x﹣3）（x﹣32）（x﹣33）（x﹣34）的展開式中x3的看作：（x﹣3），（x﹣32），（x﹣33），（x﹣34）中取3次x，取1次常數(shù)相乘得到，∴展開式中x3的系數(shù)為﹣3﹣32﹣33﹣34＝﹣3﹣9﹣27﹣81＝﹣120，故答案為：﹣120．【點評】本題主要考查二項展開式中特定項系數(shù)的運算，屬于中檔題．15．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x）＝f（x+2），f（2）＝1，則f（20）＝512．【分析】由f（x+2）＝2f（x），根據(jù)自變量的關(guān)系，得到函數(shù)值的關(guān)系，逐步求解即可．【解答】解：∵f（x）＝f（x+2），∴f（x+2）＝2f（x），∴f（4）＝2f（2）＝2，∴f（6）＝2f（4）＝4，f（8）＝2f（6）＝8，f（10）＝2f（8）＝16，f（12）＝2f（10）＝32，f（14）＝2f（12）＝64，f（16）＝2f（14）＝128，f（18）＝2f（16）＝256，f（20）＝2f（18）＝512．故答案為：512．【點評】本題考查函數(shù)值的求法，找出規(guī)律是關(guān)鍵，屬于中檔題．16．（5分）在空間直角坐標系中，已知點A（1，0，2），B（1，1，﹣1），則經(jīng)過點A且與直線AB垂直的平面方程為y﹣3z＝0．【分析】由已知可得＝（0，1，﹣3），設(shè)經(jīng)過點A且與直線AB垂直的平面內(nèi)任一點M（x，y，z），可得0×x+1×y+（﹣3）×z＝0，化簡即可．【解答】解：∵A（1，0，2），B（1，1，﹣1），∴＝（0，1，﹣3），設(shè)經(jīng)過點A且與直線AB垂直的平面內(nèi)任一點M（x，y，z），則可得0×x+1×y+（﹣3）×z＝0，即y﹣3z＝0．故答案為：y﹣3z＝0．【點評】本題考查平面方程的求法，屬基礎(chǔ)題．17．（5分）若多項式x5+x3+2x2+a能被x2+1整除，則a＝2．【分析】根據(jù)整除的概念即可求解．【解答】解：∵x5+x3+2x2+a＝x3（x2+1）+2（x2+），又多項式x5+x3+2x2+a能被x2+1整除，∴，∴a＝2，故答案為：2．【點評】本題考查多項式整除問題，屬基礎(chǔ)題．18．（5分）已知雙曲線x2﹣y2＝m與橢圓2x2+3y2＝m+1有相同的焦點，則m＝．【分析】確定橢圓、雙曲線的焦點坐標，根據(jù)雙曲線中三個系數(shù)a，b，c的關(guān)系求出m的值．【解答】解：∵2x2+3y2＝m+1，∴橢圓方程為，∴c2＝a2﹣b2＝＝，∵雙曲線x2﹣y2＝m即為，雙曲線與橢圓有相同焦點，∴2m＝，∴m＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)和橢圓的標準方程．要記住雙曲線和橢圓的定義和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本題共4小題，每小題15分，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。19．（15分）設(shè)函數(shù)f（x）＝．（1）求f（x）的定義域；（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間：（3）求f（x）在區(qū)間[1，5]的最大值和最小值．【分析】（1）解不等式﹣x2+5x+6≥0即可求解；（2）根據(jù)一元二次函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（3）由（2）中的結(jié)論數(shù)形結(jié)合即可求解．【解答】解：（1）∵f（x）＝，∴﹣x2+5x+6≥0，∴x2﹣5x﹣6≤0，∴﹣1≤x≤6，∴f（x）的定義域為[﹣1，6]；（2）∵一元二次函數(shù)y＝﹣x2+5x+6的開口向下，且對稱軸為x＝，又x∈[﹣1，6]，∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得：f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[﹣1，]，單調(diào)減區(qū)間為[，6]；（3）由（2）可知f（x）在[1，]上單調(diào)遞增，在[，5]上單調(diào)遞減，∴f（x）的最大值為f（）＝，又﹣1＜5﹣，∴f（x）的最小值為f（5）＝，故f（x）在區(qū)間[1，5]的最大值為，最小值為．【點評】本題考查一元二次不等式的求解，一元二次函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．20．（15分）設(shè)△ABC的面積為10，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝7，sin2A＝sin2B+sin2C﹣sinBsinC．求A，b和c．【分析】由正弦定理化簡已知等式可得b2+c2﹣a2＝bc，進而根據(jù)余弦定理可求cosA＝，結(jié)合范圍0＜A＜π，可求A的值；由已知利用三角形的面積公式可求bc＝40，又由余弦定理可得b2+c2＝89，聯(lián)立即可解得b，c的值．【解答】解：因為sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，所以b2+c2﹣a2＝bc，則cosA＝＝＝，因為0＜A＜π，所以A＝．因為△ABC的面積為10，所以bcsinA＝bc＝10，即bc＝40，①又因為由余弦定理可得：b2+c2﹣a2＝bc，a＝7，所以b2+c2＝89，②所以由①②聯(lián)立解得b＝5，c＝8或b＝8，c＝5．【點評】本題考查三角形的正弦定理、余弦定理和面積公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．21．（15分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2an﹣n．（1）求{an}的通項公式；（2）證明：＜．【分析】（1）由已知可得：an＝2