導學案：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

2.2.3對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)第1課時反函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的概念學習目標重點難點1．知道什么是反函數(shù)；2．會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)；3．能記住對數(shù)函數(shù)的定義，會判斷一個函數(shù)是否是對數(shù)函數(shù)；4．知道互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象間的關系.重點：對數(shù)函數(shù)的定義，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)；難點：互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象的特點.1．對數(shù)函數(shù)的概念一般說來，把由對數(shù)運算確定的函數(shù)y＝logax(x＞0，a＞0，a≠1)叫作(以a為底的)對數(shù)函數(shù)．預習交流1怎樣判斷一個函數(shù)是否是對數(shù)函數(shù)？提示：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，只有嚴格符合y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)形式的函數(shù)才是對數(shù)函數(shù)．例如y＝log5x(x＞0)是對數(shù)函數(shù)，而y＝log3(2x)(x＞0)以及y＝log2(x－1)、y＝2log2x等都不是對數(shù)函數(shù)．2．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)與y＝logax(a＞0，a≠1)互為反函數(shù)，這時，指數(shù)函數(shù)y＝ax的定義域R是對數(shù)函數(shù)y＝logax的值域，而指數(shù)函數(shù)y＝ax的值域(0，＋∞)，是對數(shù)函數(shù)y＝logax的定義域．3．反函數(shù)(1)反函數(shù)的求法要求函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)，可以先把x和y換位，寫成x＝f(y)，再把y解出來，表示成y＝g(x)的形式．如果這種形式是唯一的確定的，就得到f(x)的反函數(shù)g(x)．(2)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象在同一坐標系內(nèi)關于直線y＝x對稱．預習交流2函數(shù)y＝x2是否具有反函數(shù)？提示：在函數(shù)y＝x2中，將x與y換位得到x＝y(tǒng)2，解得y＝±eq\r(x)，這種形式不是唯一的，故原函數(shù)沒有反函數(shù)．預習交流3互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的單調(diào)性有何關系？提示：兩者中一個遞增另一個也遞增，一個遞減另一個也遞減．一、對數(shù)函數(shù)的概念已知函數(shù)f(x)是對數(shù)函數(shù)，則對f(x)定義域內(nèi)的任意自變量a，b，給出下列結論：①f(ab)＝f(a)f(b)；②f(a＋b)＝f(a)f(b)；③f(ab)＝f(a)＋f(b)；④f(a2)＝2f(a)；⑤f(0)＝1；⑥f思路分析：根據(jù)f(x)是對數(shù)函數(shù)，設出其解析式，然后結合對數(shù)的運算法則逐一進行判斷．答案：③④⑥解析：∵f(x)是對數(shù)函數(shù)，∴可設f(x)＝logdx(d＞0且d≠1)．因此f(ab)＝logdab＝logda＋logdb＝f(a)＋f(b)，f(a2)＝logda2＝2logda＝2f(af(1)＝logd1＝0.故結論③④⑥正確，其余均錯．1．下列函數(shù)中是對數(shù)函數(shù)的是__________．①y＝logx2，②y＝log8x，③y＝lnx，④y＝lg(x＋2)，⑤y＝log2x＋1.答案：②③2．若f(x)是對數(shù)函數(shù)，且f(3)＝－1，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))＝__________.答案：2解析：設f(x)＝logax，由f(3)＝－1得loga3＝－1，∴a＝eq\f(1,3).于是feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))＝＝2.結論：1．對數(shù)函數(shù)的定義同指數(shù)函數(shù)的定義一樣，是形式化的定義，必須嚴格符合對數(shù)函數(shù)定義形式的函數(shù)才是對數(shù)函數(shù)．2．研究對數(shù)函數(shù)的解析式時，要注意結合對數(shù)的運算法則進行推理與判斷．二、求函數(shù)的反函數(shù)1、求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)y＝log4x；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x；(3)y＝2－5x；(4)y＝log2(x－2)．思路分析：按照求反函數(shù)的一般步驟：對換x與y，解出y，得到反函數(shù)．解：(1)將x與y換位得x＝log4y，解得y＝4x，故反函數(shù)為g(x)＝4x；(2)將x與y換位得x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))y，解得，故反函數(shù)為；(3)將x與y換位得x＝2－5y，解得y＝eq\f(2,5)－eq\f(1,5)x，故反函數(shù)為g(x)＝eq\f(2,5)－eq\f(1,5)x；(4)將x與y換位得x＝log2(y－2)，解得y＝2x＋2，故反函數(shù)為g(x)＝2x＋2.2、求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)y＝eq\f(x－1,x＋2)；(2)y＝32x＋6；(3)y＝log3x＋2.解：(1)將x與y換位得x＝eq\f(y－1,y＋2)，解得y＝eq\f(2x＋1,1－x)，故反函數(shù)是g(x)＝eq\f(2x＋1,1－x)；(2)將x與y換位得x＝32y＋6，解得y＝eq\f(1,2)log3x－3，故反函數(shù)是g(x)＝eq\f(1,2)log3x－3；(3)將x與y換位得x＝log3y＋2，解得y＝3x－2，故反函數(shù)是g(x)＝3x－2.結論：1．求一個函數(shù)的反函數(shù)時，一般可按照如下步驟進行：(1)將解析式中的x與y對換；(2)將對換后的式子中的y解出來；(3)得到反函數(shù)y＝g(x)．2．并不是每一個函數(shù)都有反函數(shù)，若在解y的時候，y的結果不唯一，那么它就不具有反函數(shù)．3．原函數(shù)是一個與指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)有關的函數(shù)時，需要充分利用指數(shù)式與對數(shù)式之間的關系求y.三、利用原函數(shù)與反函數(shù)圖象的對稱性解題若點A(1,2)既在函數(shù)f(x)＝eq\r(ax＋b)的圖象上，又在f(x)的反函數(shù)的圖象上，求a，b的值．思路分析：由題目可獲取以下主要信息：(1)點A(1,2)在函數(shù)f(x)＝eq\r(ax＋b)的圖象上；(2)點A(1,2)在函數(shù)f(x)的反函數(shù)圖象上．解答本題先由A(1,2)在函數(shù)f(x)的反函數(shù)圖象上得出A′(2,1)在f(x)的圖象上，然后建立關于a，b的方程組求解．解：依題意可得f(1)＝2，f(2)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,2a＋b＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝7.))練習：1．若函數(shù)f(x)的圖象上有一點(0,1)，則其反函數(shù)上一定存在點()．A．(0,1)B．(1,0)C．(0,0)D．不能確定答案：B2．已知函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)的圖象過點(1,4)，其反函數(shù)的圖象過點(2,0)，則a＝________.答案：3解析：由函數(shù)y＝ax＋b的圖象過點(1,4)，得a＋b＝4.①反函數(shù)的圖象過點(2,0)，則原函數(shù)的圖象必過點(0,2)，得a0＋b＝2.②聯(lián)立①②，可得a＝3，b＝1.利用原函數(shù)與其反函數(shù)圖象間的對稱性解題，可以避免求出原函數(shù)的反函數(shù)，化繁為簡，達到事半功倍的效果．拓展練習：1．若f(x)是對數(shù)函數(shù)，且f(16)＝4，則f(x)的解析式是()．A．f(x)＝log2xB．f(x)＝log4xC．f(x)＝log16xD．f(x)＝答案：A解析：設f(x)＝logax，則loga16＝4，故a＝2，選A．2．函數(shù)y＝x＋2，x∈R的反函數(shù)為()．A．x＝2－yB．x＝y(tǒng)－2C．y＝2－x(x∈R)D．y＝x－2(x∈R)答案：D解析：將x與y換位，得x＝y(tǒng)＋2，解得y＝x－2，所以反函數(shù)為y＝x－2(x∈R)．3．若f(x)是對數(shù)函數(shù)，則f(x)對其定義域中的自變量m，n，一定滿足()．A．f(m－n)＝f(m)－f(n)B．f(m)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))＝0C．f(n2)＝[f(n)]2D．f(n)＋f(－n)＝0答案：B解析：不妨設f(x)＝logax，則f(m)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))＝logam＋logaeq\f(1,m)＝logam－logam＝0，選B．4．函數(shù)y＝ax＋m過定點(0,2)(a＞0，且a≠1)，那么其反函數(shù)必過定點()．A．(1