平面一般力系解析

平面一般力系解析2靜力學(xué)第三章平面一般力系平面一般力系：各力的作用線在同一平面內(nèi)，既不匯交為一點(diǎn)又不相互平行的力系叫平面一般力系。平面一般力系F1F2F3F4Fn平面力偶系平面匯交力系合成合成M=MiMi

=0力線平移定理3第三章平面一般力系§3–1力線平移定理

§3–2平面一般力系的簡化

§3–3平面一般力系的平衡

§3–4平面平行力系

§3–5靜定與靜不定問題?剛體系統(tǒng)的平衡

§3–6考慮摩擦?xí)r物體的平衡

4靜力學(xué)§3-1力線平移定理力線平移定理：[證]力

力系但必須同時附加一個力偶。這個力偶的力偶矩等于原來的力作用在剛體上點(diǎn)A的力，可以平行移到剛體上任一點(diǎn)B，對新作用點(diǎn)B的矩。'MM5靜力學(xué)①力平移的條件：力力+力偶，且M與d有關(guān)，M=F?d

②力線平移定理的逆定理成立。力力+力偶

力線平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。力線平移定理可將組合變形轉(zhuǎn)化為基本變形進(jìn)行研究。說明：6靜力學(xué)§3-2平面一般力系的簡化平面一般力系（未知力系）平面力偶系（已知力系）平面匯交力系：（已知力系）力（主矢量）：力偶（主矩）：Mo=M向一點(diǎn)簡化(作用在簡化中心)(作用在該平面上)FRM1M2M37

主矢靜力學(xué)（移動效應(yīng)）大?。悍较颍汉喕行?與簡化中心位置無關(guān)(因主矢等于各力的矢量和)一般情況：8靜力學(xué)

主矩MO

（轉(zhuǎn)動效應(yīng)）大?。悍较颍悍较蛞?guī)定+—簡化中心：與簡化中心有關(guān)

（因主矩等于各力對簡化中心取矩的代數(shù)和）9靜力學(xué)

簡化結(jié)果分析簡化結(jié)果：主矢

，主矩MO

，下面分別討論。①=0，MO

=0，零力系，力系平衡。

②

=0,MO≠0，即簡化結(jié)果為一合力偶,M=MO

此時剛體等效于只有一個力偶的作用，（因?yàn)榱ε伎梢栽趧傮w平面內(nèi)任意移動，故這時，主矩與簡化中心O無關(guān)。）③≠0,MO

=0,即簡化為一個作用于簡化中心的合力。這時，簡化結(jié)果就是合力（這個力系的合力）,。（此時與簡化中心有關(guān)，換個簡化中心，主矩不為零）

10靜力學(xué)合力的大小等于原力系的主矢合力的作用線位置結(jié)論：平面一般力系的簡化結(jié)果

：零力系、合力、合力偶。④

≠0,MO

≠0,為最一般的情況。此種情況還可以繼續(xù)簡化為一個合力。11靜力學(xué)合力矩定理：平面一般力系的合力對作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各力對于同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。合力矩定理：由于主矩而合力對O點(diǎn)的矩———合力矩定理

由于簡化中心是任意選取的，故此式有普遍意義車刀雨搭12FRA靜力學(xué)FAxFAy⑤FAx,FAy

限制物體平動,MA為限制轉(zhuǎn)動。①認(rèn)為Fi這群力在同一平面內(nèi);④FAx,FAy,MA為固定端約束反力;③FRA方向不定可用正交分力FAx,FAy表示;②將Fi向A點(diǎn)簡化得一力和一力偶;固定端（插入端）約束13靜力學(xué)§3-3平面一般力系的平衡平面一般力系平衡的充要條件為：

=0，MO

=0，力系平衡

平面一般力系的平衡方程力系的主矢和主矩MO都等于零14靜力學(xué)

[例1]已知：q=4kN/m,F=5kN,l=3m,=25o,

求：A點(diǎn)的支座反力？解：（1）選AB梁為研究對象。（2）畫受力圖

（3）列平衡方程，求未知量。qFlABMAFAxFAy15靜力學(xué)

[例2]已知：Q=7.5kN,P=1.2kN,l=2.5m,a=2m,=30o,

求：BC桿拉力和鉸A處的支座反力？解：（1）選AB梁為研究對象。（2）畫受力圖FAxFAyFBCAQlBPal/2QlABPal/2C16靜力學(xué)

[例2]已知：Q=7.5kN,P=1.2kN,l=2.5m,a=2m,=30o,

求：BC桿拉力和鉸A處的支座反力？

（3）列平衡方程，求未知量。QlABFAxFAyFBCPal/217靜力學(xué)

[例2]已知：Q=7.5kN,P=1.2kN,l=2.5m,a=2m,=30o,

求：BC桿拉力和鉸A處的支座反力？

（3）列平衡方程，求未知量。QlABFAxFAyFBCPal/218靜力學(xué)

（3）列平衡方程，求未知量。QlABFAxFAyFBCPal/2C19靜力學(xué)②二矩式條件：x軸不垂直于AB連線③三矩式條件：A,B,C不在同一直線上只有三個獨(dú)立方程，只能求出三個未知數(shù)。投影軸和矩心是任意選取的，一般先取矩。矩心選擇在多個未知力的交點(diǎn)上；投影軸盡量與未知力垂直或平行。①基本式（一矩式）平面一般力系的平衡方程:20靜力學(xué)

[例3]已知：q，a,P=qa,M=qa2，求：A、B兩點(diǎn)的支座反力？解：①選AB梁為研究對象。②畫受力圖

列平衡方程，求未知量。FAxFAyFBq2aaMPABBAqMP21

平衡的充要條件為：主矢FR'=0

主矩MO

=0靜力學(xué)§3-4平面平行力系平面平行力系:各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行的力系。設(shè)有F1,F2…Fn

為一平行力系，向O點(diǎn)簡化得：合力作用線的位置為：F1F2Fnx1x2xnoyMoFR'xRFR22靜力學(xué)

平面平行力系的平衡方程為：

二矩式條件：AB連線不能平行于力的作用線

一矩式平面平行力系中各力在x軸上的投影恒等于零，即： F1F2Fnx1x2xnoyMoF'RxRFR

平面平行力系只有兩個獨(dú)立方程，只能求解兩個獨(dú)立的未知數(shù)。23靜力學(xué)[例4]已知：P=20kN,M=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m

求：A、B的支反力。解：研究AB梁qaaMPABaFBFA24靜力學(xué)[例5]已知：塔式起重機(jī)P=700kN,W=200kN(最大起重量)，尺寸如圖。求：①保證滿載和空載時不致翻倒，平衡塊Q=？②當(dāng)Q=180kN時，求滿載時軌道A、B給起重機(jī)輪子的反力？ 分析：Q過大，空載時有向左傾翻的趨勢。Q過小，滿載時有向右傾翻的趨勢。AB25靜力學(xué)限制條件：解：⑴

①首先考慮滿載時，起重機(jī)不向右翻倒的最小Q為：②空載時，W=0由限制條件為：解得：因此保證空、滿載均不倒Q應(yīng)滿足如下關(guān)系：

當(dāng)W=400KN時，Q的范圍？解得：FAFBAB26靜力學(xué)⑵求當(dāng)Q=180kN，滿載W=200kN時，F(xiàn)A,FB為多少？解得：由平面平行力系的平衡方程可得：FAFBAB27靜力學(xué)§3-5靜定與靜不定問題剛體系統(tǒng)的平衡一、靜定與靜不定問題的概念平面匯交力系

兩個獨(dú)立方程，只能求兩個獨(dú)立未知數(shù)。平面力偶系

一個獨(dú)立方程，只能求一個獨(dú)立未知數(shù)。平面平行力系

兩個獨(dú)立方程，只能求兩個獨(dú)立未知數(shù)。平面一般力系

三個獨(dú)立方程，只能求三個獨(dú)立未知數(shù)。28靜力學(xué)

獨(dú)立方程數(shù)目＜未知數(shù)數(shù)目時，是靜不定問題（超靜定問題）

靜定（未知數(shù)三個）

獨(dú)立方程數(shù)目≥未知數(shù)數(shù)目時，是靜定問題（可求解）靜不定（未知數(shù)四個）

靜不定問題在材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)中用變形協(xié)調(diào)條件來求解。FAxFAyFByFBxFAxFAyFB29OAB靜力學(xué)[例1：曲柄滑塊機(jī)構(gòu)]二、剛體系統(tǒng)的平衡問題剛體系統(tǒng)：由若干個剛體通過約束所組成的系統(tǒng)。曲柄滑塊連桿30靜力學(xué)[例1：曲柄滑塊機(jī)構(gòu)]二、剛體系統(tǒng)的平衡問題31靜力學(xué)[例2：三鉸拱結(jié)構(gòu)]二、剛體系統(tǒng)的平衡問題外力：外界物體作用于系統(tǒng)上的力叫外力。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力叫內(nèi)力。靜力學(xué)剛體系統(tǒng)平衡問題的特點(diǎn)：①剛體系統(tǒng)平衡，系統(tǒng)中每個單體也是平衡的。研究對象的選擇：單個剛體整個剛體幾個剛體的組合體②每個單體可列3個（平面一般力系）平衡方程，整個系統(tǒng)可列3n個方程（設(shè)系統(tǒng)中有n個物體）。平面匯交力系和平面平行力系：2個平衡方程平面力偶系：1個平衡方程靜力學(xué)解剛體系統(tǒng)平衡問題的一般方法：機(jī)構(gòu)（mechanism）：定義：兩個或兩個以上的構(gòu)件通過活動聯(lián)接以實(shí)現(xiàn)規(guī)定運(yùn)動的構(gòu)件組合。機(jī)構(gòu)問題解法：個體帶已知力“各個擊破”個體個體34靜力學(xué)整體求出部分未知量解剛體系統(tǒng)平衡問題的一般方法：結(jié)構(gòu)（structure）

：定義：從力學(xué)角度講，指可以承受一定力的架構(gòu)形態(tài)，可抵抗改變形狀和大小的力。一個較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)由許多不同的部分（構(gòu)件）組成。結(jié)構(gòu)問題的解法：無固定端約束的結(jié)構(gòu)：個體個體整體靜力學(xué)解剛體系統(tǒng)平衡問題的一般方法：結(jié)構(gòu)問題的解法：有固定端約束或相當(dāng)于固定端約束的結(jié)構(gòu)：（取整體不能求出任何未知量）個體（不帶固定端）個體

個體（帶固定端）個體（不帶固定端）組合體整體36解題步驟①

選研究對象。②畫受力圖（受力分析）。③選取矩心和投影軸、列平衡方程。④解方程求出未知數(shù)。①②③④投影軸最好與未知力垂直或平行。矩心最好選在未知力的交叉點(diǎn)上。注意判斷二力桿、運(yùn)用合力矩定理等。先取矩，后投影，列一個平衡方程求一個未知力。解題技巧靜力學(xué)解題步驟與技巧：37靜力學(xué)[例1]已知：OA=R,AB=l,當(dāng)OA水平時，沖壓力為P時，求：①M(fèi)=？②O點(diǎn)的約束反力？③AB桿內(nèi)力？ ④沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力？ 解：以B為研究對象：FBFN38靜力學(xué)[負(fù)號表示力的方向與圖中所設(shè)方向相反]再以輪O為研究對象：FBFNFAFoxFoy39q靜力學(xué)[例2]已知：M=10kNm,q=2kN/m,求：A、C

處的反力。解：以BC為研究對象：q1mAB1m1m1mCMCBFBxFByFC40靜力學(xué)以AB為研究對象：MAFAxFAyq1mAB1m1m1mCMqCBFBxFByFCBAF'BxF'ByqM[例2]已知：M=10kNm,q=2kN/m,求：A、C

處的反力。41靜力學(xué)[例3]已知：M=40kNm,P=100kN,q=50kN/m,求：A處的反力。以BC為研究對象：FCxFCyFB解：q1.5mABCM2mDE1m3mP1.5mBEPC42靜力學(xué)q1.5mABCM2mDE1m3mP1.5m以整體為研究對象：FAxFAyMAFB43靜力學(xué)[例4]已知：P1=1000kN,P2=2000kN,m=1000kNm,q=1000kN/m,求：A、B處的反力及BC桿對鉸C的約束力。以整體為研究對象：解：3m3m4mACBP11mP2qmFBxFByFA44靜力學(xué)以C為研究對象：解：3m3m4mACBP11mP2qmFCxFCyFCP2C[例4]已知：P1=1000kN,P2=2000kN,m=1000kNm,q=1000kN/m,求：A、B處的反力及BC桿對鉸C的約束力。45靜力學(xué)1m1m2mPACBD[例5]已知：P=2kN,B、D兩輪半徑均為R=0.3m,求：A、C處的反力。以整體為研究對象：解：FAxFAyFCxFCy46靜力學(xué)以BC為研究對象：FCxFCy1m1m2mPACBDEFECEBFBxFBy47靜力學(xué)[例6]已知：m=30kNm,P=10kN,q=5kN/m,求：A、C、E處的反力。以DE為研究對象：q1mAB1m1m1mCm2m1m1mDE60o3mPEDFDxFDyFE60oP解：48靜力學(xué)以BD為研究對象：q1mAB1m1m1mCm2m1m1mDE60o3mFBxFByCBF'DxF'DyqmDFCP49靜力學(xué)以AB為研究對象：q1mAB1m1m1mCm2m1m1mDE60o3mAF'BxF'ByqBFAxFAyMAP50靜力學(xué)以DE為研究對象：q1mAB1m1m1mCm2m1m1mDE60o3mPEDFDxFDyFE60oP解：[例6]已知：m=30kNm,P=10kN,q=5kN/m,求：A、C、E處的反力。51靜力學(xué)以BDE為研究對象：q1mAB1m1m1mCm2m1m1mDE60o3mFBxFByCBqmFCEDFE60oPP52qm1mAB1m1m1mC2m1m1mDE60o3mP靜力學(xué)以整體為研究對象：FAxFAyMAFCFE53靜力學(xué)

前面我們把接觸表面都看成是絕對光滑的，忽略了剛體之間的摩擦，事實(shí)上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。[例]§3－6

考慮摩擦?xí)r剛體的平衡平衡必計摩擦

54靜力學(xué)

研究摩擦的目的：利用其利，克服其害。

按接觸面的運(yùn)動情況摩擦分為：研究摩擦的方法：平衡方程補(bǔ)充方程（臨界狀態(tài)）滑動摩擦滾動摩擦55靜力學(xué)1、滑動摩擦力的定義：一、滑動摩擦

相接觸物體，產(chǎn)生相對滑動或滑動趨勢時，其接觸面產(chǎn)生的阻止物體運(yùn)動的力叫滑動摩擦力。

滑動摩擦力是接觸面對物體作用的切向約束反力。FHFN56FHFN靜力學(xué)①靜止：②臨界：（將滑未滑）

③滑動：增大摩擦力的途徑為：①加大法向反力FN，②加大摩擦系數(shù)fs

。（fs

—靜滑動摩擦系數(shù)）（f—動滑動摩擦系數(shù)）

2、狀態(tài)：57靜力學(xué)58大?。悍较颍憾桑红o力學(xué)3、特征：靜摩擦力特征：與物體相對滑動趨勢方向相反（平衡范圍）滿足（fs只與材料和表面情況有關(guān)，與接觸面積大小無關(guān)。）FHFN59靜力學(xué)大?。悍较颍憾桑?動摩擦力特征：與物體運(yùn)動方向相反（無平衡范圍）（f只與材料和表面情況有關(guān)，與接觸面積大小無關(guān)。）FHFNF'60靜力學(xué)定義：當(dāng)摩擦力達(dá)到最大值Fmax

時其全反力與法線的夾角f

叫做摩擦角。 二、摩擦角：FmaxFNFRf61靜力學(xué)62靜力學(xué)

①定義：當(dāng)物體依靠接觸面間相互作用的摩擦力與法向反力（即全反力），自己把自己卡緊，無論外力多大物體都不會運(yùn)動的現(xiàn)象。

②自鎖條件：三、自鎖FmaxFNFRfaFA63靜力學(xué)摩擦系數(shù)的測定：OA繞O軸轉(zhuǎn)動使物塊剛開始下滑時測出a角，tana=fs,(該兩種材料間靜摩擦系數(shù))③自鎖應(yīng)用舉例jfFNFR64靜力學(xué)65靜力學(xué)千斤頂66靜力學(xué)四、考慮滑動摩擦?xí)r的平衡問題

考慮摩擦?xí)r的平衡問題，一般是對臨界狀態(tài)求解，這時可列出 的補(bǔ)充方程。其它解法與平面一般力系相同。只是平衡常是一個范圍（從例子說明）。[例1]已知：a=30o，G=100N，fs

=0.2求：物體靜止時，水平力Q的平衡范圍；67靜力學(xué)68靜力學(xué)解：①先求使物體不致于上滑的圖(1)=87.9kNFN69靜力學(xué)同理：再求使物體不致下滑的圖(2)解得：平衡范圍應(yīng)是:max=33.8kNFN70靜力學(xué)[例2]梯子長AB=l，重為P，若梯子與墻和地面的靜摩擦系數(shù)fs

=0.5,求a多大時，梯子能處于平衡？解：考慮到梯子在臨界平衡狀態(tài)有下滑趨勢，做受力圖。FNBFNAFAmaxFBmax71FNBFNAFAmaxFBmax靜力學(xué)注意：由于a不可能大于，所以梯子平衡傾角a應(yīng)滿足：72

1、選擇研究對象，一般取個體。靜力學(xué)4、