2000年上海高考數(shù)學(xué)理科卷

2000年上海高考數(shù)學(xué)理科卷

2000年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試

上海數(shù)學(xué)試卷(理工農(nóng)醫(yī)類)考生注意：本試卷共有22道試題，滿分150分一、填空題(本大題滿分為48分)本大題共有12題，只要求直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分。1.已知向量西(-1,2)、南=1.已知向量西(-1,2)、南=(3,m)，若O,麗，則m=2.函數(shù),_lo2x-1m=2.函數(shù),_lo2x-1的定義域?yàn)?/p>

yg23-x3.圓錐曲線x=4sec0+1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是y=3tg04.計(jì)算:lim(n)nn-n十25.5.已知f…+b的反函數(shù)為fi⑺若廠fi⑺的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)J(x)—2x十b J一1(x)，若y—J一1(x)os/則，= oQ(5,2) b.根據(jù)上海市人大十一屆三次會(huì)議上的市政府工作報(bào)告，1999年上海市完成GDP(GDP是指國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值)4035億元，2000年上海市GDP預(yù)期增長(zhǎng)9%,市委、市府提出本市常住人口每年的自然增長(zhǎng)率將控制在0.08%,若GDP與人口均按這樣的速度增長(zhǎng)，則要使本市年人均GDP達(dá)到或超過(guò)1999年的2倍，至少需年。

(按：1999年本市常住人口總數(shù)約1300).命題A：底面為正三角形，且頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐，命題A的等價(jià)題B可以是:底面為正三角形,且 的三棱錐是正三棱錐。.設(shè)函數(shù)尸f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，它在區(qū)間［0,1］上的圖象為如圖所示的線段小，則在區(qū)間［1，2］上f(x)= 。.在二項(xiàng)式行D”的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)(x—1)11為 ,(結(jié)果用數(shù)值表示).有紅、黃、藍(lán)三種顏色的旗幟各3面，在每種顏色的3面旗幟上分別標(biāo)上號(hào)碼1、2和3,現(xiàn)任取出3面,它們的顏色與號(hào)碼均不相同的概率是 。.在極坐標(biāo)系中，若過(guò)點(diǎn)(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線p=4cos阡AB兩點(diǎn)，則|AB\=。.在等差數(shù)列｝中，若…0,則有等式…+A+?！?A+…19；.N)成立，美比上述性質(zhì)，相就a+a+A+a=a+a+A+a(n兀19,ngN)奪2在”等曲數(shù)19列心｝中，若b=1,則有等式n 0成立。二、選擇題(本大題滿分16分)本大題共有4題，每題

都給出代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi)，選對(duì)得4分，不選、選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過(guò)一個(gè)(不論是否都寫在圓括號(hào)內(nèi))，一律得零分。,復(fù)數(shù)z7cosg-isi吟)(i是虛數(shù)單位)的三角形式是兀 兀(兀 兀(A)3［cos(-y)+isin(-5)］, 4兀 .4兀(C)3(cos——+isin——),5 5［答］((B)3(cos:+isin5).6兀..6兀(D)3(cos--isin-)..設(shè)有不同的直線小，和不同的平面〃、0、j給出下列三個(gè)命題：⑴若a//a，b//a，虬//b。 ⑵若a//a，a//0，則a//0。⑶若a2，0A/，則a//0。其中正確的個(gè)數(shù)是TOC\o"1-5"\h\z(A)0. (B)1. (C)2. (D)15.若集合15.若集合s4Iy=3、.xR}T={Iy=x2-1,xgR笳sIT是：(A)S. (B)T.(C)。 (D)有限集［答］( )16.下列命題中正確的命題是(A)若點(diǎn),.20)(a,0)為角a終邊上一點(diǎn)，則sina-(a,a)(a+u) a sina-

（B）同時(shí)滿足.〃一，?！傻慕?有且只有一個(gè)。sma——,cosaa2 2?當(dāng)匕卜1時(shí)，％…a）的值恒正。（口）三角方程tg*+”右的解集為&|x二人.,kez｝。［答］（ ）三、解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。.（本題滿分12分）已知橢圓c已知橢圓c的焦點(diǎn)分別為F（-2立,0）和F（272,0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,設(shè)直+2y=設(shè)直+2y=x+2［解］.（本題滿分12分）如圖所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2,E是AC中點(diǎn)，異面直線AD與BE所成的角的大小為皿os，求四面體arccos10ABCD的體積。［解］.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。已知函數(shù)f（xx2+2x+a 。f（x） ,x匕L1,十"」x（1）當(dāng)〃=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值:^2

（2）若對(duì)任意，”+刈〃.。恒成立，試求實(shí)數(shù)〃的取值xu［［，〒1^^］,j（x）叩 a范圍。［解］（1）［解］（2）.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分10分。方向沿直線行走距離。根據(jù)指令0）（r士。一8。小V18。。），機(jī)器人在平面上能完成下列動(dòng)作：先原地旋轉(zhuǎn)角度0（e為正時(shí)，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)e,e為負(fù)時(shí)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一e），再朝其面對(duì)的方向沿直線行走距離。r（1）現(xiàn)機(jī)器人在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，且面對(duì)x軸正方向，試給機(jī)器人下一個(gè)指令，使其移動(dòng)到點(diǎn)（4,4）。（2）機(jī)器人在完成該指令后，發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)（17,0）處有一小球正向坐標(biāo)原-點(diǎn)作勻速直線滾動(dòng),已知小球滾動(dòng)的速4^ L度為機(jī)器人直線行走速度的2倍，若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，問(wèn)機(jī)器人最快可在何處截住小球？并給出機(jī)器人截住小球所需的指令（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）。［解］（1）

［解］(2).(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。TOC\o"1-5"\h\z在XOY平面上有一點(diǎn)列p(ab)p(ab)AP(ab)A對(duì)每個(gè), ,),1 , ,，4 , ,,1 1 1 2 2 2 nnn自然數(shù)n，點(diǎn)P，位于函數(shù)y:2000"上丫(0<a<10)的圖象上，110J且點(diǎn)p，點(diǎn)(〃0)與占(〃+10)構(gòu)成一個(gè)以p為頂點(diǎn)的等腰三角形。p (n,0)(n十J-?0) pn n(1)求點(diǎn)p的縱坐標(biāo)，的表達(dá)式。nn(2)若對(duì)每個(gè)自然數(shù)〃，以b，…為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一n n+1n+2個(gè)三角形，求〃取值范圍。a⑶設(shè)8二⑶設(shè)8二々b2Ab(ngN)，若〃取(2)中確定的范圍內(nèi)的a最小整數(shù)，求數(shù)列％｝的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)。n［解］(1)［解］(2)［解］(3)22.(本小題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題

滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。已知復(fù)數(shù) 、 … 均為實(shí)數(shù)，八H久步z=1—mi（m。0）,z=x+yi和攻=xf+yZ其中x,y,x二y'。八K步，,為虛數(shù)單位「且對(duì)于任意復(fù)數(shù)有z,有攻=z?z,1攻1=21zI0（1）試求m的值，并分別寫出x，和y，用x、y表示的關(guān)系式；（2）將（x、y）作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，（x,、y）作為點(diǎn)Q的坐標(biāo),上述關(guān)系可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)p變到這一平面上的點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)p在直線y=x+1上移動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)p經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)Q的軌跡方程；（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說(shuō)明理由。［解］(1)［解］(1)［解］(2)［解］(3)2000年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試上海數(shù)學(xué)試卷（理工農(nóng)醫(yī)類）答案要點(diǎn)及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明.本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行

評(píng)分。.評(píng)閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱以底，不要因?yàn)榭忌慕夥Q中出現(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響程度決定后面部分的給分，這時(shí)原則上不應(yīng)超過(guò)后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤，就不給分。.第17至第22題中右端所注的分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題的累加分?jǐn)?shù)，給分或扣分均以1分為單位。解答一、（第1題至第12題）每一題正確的給4分，否則一律得零分。4.2.（|，3）5.1.4.2.（|，3）5.1.3.（一4,0）,（6,0）。e-2等/側(cè)棱與底面所成角相等/6.9.7.側(cè)棱相8.X. 9.-10.10.11412.二、11. 2^bbAb=bbAb（n兀17,ngN）（1第13題至第16題）第一題正確的給4分。題1111號(hào)3456

CAAD三、(第17題至第17.［解］設(shè)橢圓C的方程為x2y2——+—=1a2 b2由題意3”干曰…a=3,c=2、：2,于是b=1???橢圓C的方程為J+y2=19A（2分）A（4分）yA（2分）A（4分）x2 ，得10x2+36x+27=0,7+y2=1個(gè)不同交點(diǎn)，…(8分)因?yàn)樵摱畏匠痰呐袆e式△>個(gè)不同交點(diǎn)，…(8分)91故線段91故線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,5)A（12分）設(shè)A（x/y1）,B（x2,y2）,則x+x=--,1 2 518.［解法一］如圖建立空間直角坐標(biāo)系 …(2分)由題意，有A(0,2,0),C(2,0,0),E(1,1,0)。設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,z)(z°0),貝U ,

BE={1,0}AD=h-2,z1A（6分）設(shè)BE與AD所成的角為①則AD?Be=、；BE={1,0}AD=h-2,z1A（6分）10且AD與BE所成的角的大小為arccos備,TOC\o"1-5"\h\z?n_2 _1..cos2。- - ,4+z2 10得z=4,故BD的長(zhǎng)度是4,XV =1ABXBCXBD,ABCD68因此四面體ABCD的體積是-,3A（10分）A（4分）［解法二］過(guò)A引BE的平行線，交與CB的延長(zhǎng)線于F,NDAFA（10分）A（4分）DAF= vie …（4分）arccos一

10???E是AC的中點(diǎn)，??m是CF的中點(diǎn)，AF=2BE= 。萬(wàn) 。2v：2…（6分）又BF,BA分別是DF,DA的射影，且BF=BC=BA。DF=DA。（8分）三角形ADF是等腰三角形,C0T^1DAF=可BD=AAD2—AB2=4…(10分)又1 ,V^V =-ABxBCxBD，ABCD6ABCD因此四面體ABCD…(128，…(123分)19.［解］(1)當(dāng)1 1ja=一時(shí)，f(x)=x+——+22 2x?f(x)數(shù)，分)在區(qū)間（1,+8）…(3地區(qū)間…上f(D=2，(2)…（6分）［解法一］在區(qū)讓（“a）上,（乜土"）x2+2x+a,f(x)= °0怛成立ox2+2x+a°0x立,…(8分)立,設(shè)、 「、，y=x2+2x+a,xg(1,+a)y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1于是當(dāng)且僅當(dāng)于是當(dāng)且僅當(dāng)?， …（12分）y.=3+a-3+0.0時(shí)函數(shù)f（%）.0恒成立，min…（14分）（2）［解法二］f（%）:%+a+2,%e…，當(dāng)a.0時(shí)，函數(shù)〃%）的值恒為正

當(dāng)%（8分），函數(shù)f（%）遞增，故當(dāng)%=1時(shí),f（%）min于是當(dāng)且僅當(dāng), 。時(shí)f（%） =3+a@0Jmin…（14分）（4七2）,45。［解］（1）r=4"45。，…（4分）…（12分）

函數(shù)f（%）.0恒成立，故得指令為，（2）設(shè)機(jī)器人最快在點(diǎn)P00）P（%,0）處截住小球4P '廠』…（6分）則因?yàn)樾∏蛩俣仁菣C(jī)器人速度的2倍，所以在相同時(shí)間內(nèi)有117=%|=%、；（%-4”+（0-4）2，…（8分）。即3%2+2%-1+161=0，得%=-23或%=7，3???要求機(jī)器人最快地去截住小球，即小球滾動(dòng)距離最短，二%二7，故機(jī)器人最快可在點(diǎn)P故機(jī)器人最快可在點(diǎn)P（7,0）處截住小球，（10分）所給的指令為(5,-98.13。)(14分)21.［解］（1）由題意，〃_什1,a一n十a(chǎn)」，b=2000(一)n+2，n10…（4分）［解］⑵???函數(shù)尸200唏,（0兀a兀10）遞減,???對(duì)每個(gè)自然數(shù)n,有b.b.b,則以bbb為邊長(zhǎng)能,,n n+1 n+2構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是bbb,n+2n+1nnn+1 n+2即,a、 ，a、(10)2+(w)-1*0分)解得5)或a兀-5(1+v5)5(+?5-1)兀a兀10，［解］(3)a*5("-1)…(10分)5(v5-1)兀a兀10, 71b=2000(—)n+2n10…（12分）數(shù)列心｝是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列，對(duì)每個(gè)自然數(shù)nn>2,B=bB'于是當(dāng)；>1時(shí)，B>B，當(dāng)b.1時(shí)，B兀B，n n n-1 n n n-1因此，數(shù)列％｝的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)滿足不等式…l且87HB n b>1b兀1n n n+17 _由b:2000(—)n+:>1,n102得n<20.8,???n=20 A(16分)22.［解］（1）由題設(shè)，二匕1+m2=1+m2=4,且m巾0,得m=+3，(3分)因此由,一X+yi=(1-、：3i)?(X+yi)=X+得 關(guān)v：3y+(岳-y)i，系X'一,=X+v'3y式???（5分）、:3X一y+1上，則其經(jīng)變換后的點(diǎn)跡方程為+1上，則其經(jīng)變換后的點(diǎn)跡方程為…（10分）顯然不滿足條件，???所求直線可設(shè)為???（12分）其經(jīng)變換后得到的［解］(2)設(shè)點(diǎn).y)在直線,一(X,y) y一0(「滿