雙勾函數(shù)與不等式的應用

雙勾函數(shù)與不等式的應用第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五

3、奇偶性其定義域是關(guān)于原點對稱的，且滿足f(-x)=-f(x)形式，所以此函數(shù)為奇函數(shù)。4、圖象如右oxy1-12-2y=x5、單調(diào)性從圖易知單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為例1求函數(shù)的值域解：令x-1=u，則上式可化為第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五例2求函數(shù)的最值。解：上式可化為所以函數(shù)在上單調(diào)遞增。練習：1、求函數(shù)2、求函數(shù)答案第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五答案3、已知正數(shù)a、b滿足求a+b的最小值。4、求函數(shù)的最小值。解：函數(shù)5、求函數(shù)的最值第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五例3如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱。污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出。設箱體的長度為a米，高度為b米。已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a,b的乘積ab成反比。現(xiàn)有制箱材料60平方米。問當a,b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最?。ˋ、B孔的面積忽略不計）。ABab2解法一：依題意，即所求的a,b的值使ab最大。由題設知4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，即a+2b+ab=30(a>0,b>0)。當且僅當a=2b時，上式取等號。由a>0，b>0，解得0<ab≤18。即當a=2b時，ab取得最大值，其最大值為18。∴2b2=18。解得b=3，a=6。經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。故當a為6米，b為3米時，第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五解法二：設y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，則y=k/ab，其中k>0為比例系數(shù)，依題意，即所求的a,b值使y值最小。根據(jù)題設，有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，得b=30-a/2+a(0<a<30)，①當a+2=64/(a+2)時取等號，y達最小值。這時a=6,a=-10（舍去）。將a=6代入①式得b=3。故當a為6米，b為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五

例4、已知直角三角形的周長為定值l，求它的面積的最大值。解：由已知，得故面積于是當面積有最大值練習1、已知圓柱的體積為定值V，求圓柱全面積的最小值。答案2、從半徑為R的圓形鐵片里剪去一個扇形，然后把剩下部分卷成一個圓錐形漏斗，要使漏斗有最大容量，剪去扇形的的圓心角應是多少弧度？答案第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五1、所以原式可化為：而此函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)因此當且僅當時函數(shù)有最小值而無最大值。2、當且僅當返回第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五3、4、法一：顯然，當sin2x=1時，上面兩個式子同時成立，故原式有最小值法二、可設sin2x=t，再利用函數(shù)的單調(diào)性求解。返回第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五1、法一：設圓柱的底面半徑為r，高為h，全面積為S。則法二：返回第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五2、解：如圖，設圓錐形漏斗軸截面頂角為，底面半徑為r，高為h，則第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五例5、過點P（1，4）引一直線l，它在兩條坐標軸上的截距皆為正且它們的和最小，求這條直線的方程。分析：首先設出過P點的直線l:y-4=k(x-1)，于是l與兩坐標軸的交點分別是由題意不難判斷若直線l在兩坐標軸上的截距皆正，必然有其傾斜角大于因此均值不等式對正數(shù)的要求就可以滿足了。解：由前面的分析，l在兩坐標軸上的截距之和為：故所求直線方程為(y-4)=-2(x-1),即2x+y-8=0.第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五例6、已知橢圓：是橢圓上兩點，線段AB的垂直線與x軸交于點分析：由線段垂直平分線性質(zhì)可得|PA|=|PB|，這樣就建立了關(guān)于點P的方程，再由橢圓上點的坐標的取值范圍，可求。證明：設A、B兩點的坐標分別為由于點P在AB的垂直平分線上，則|PA|=|PB|。將（2）代入（1）式，得第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五錯解的原因是利用了復數(shù)模的不等式：但是忽略了等號成立的條件第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五例8、某地為促進淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價格控制在適當范圍內(nèi)，決定對淡水魚養(yǎng)殖提供政府補貼。設淡水魚的市場價格為x元/千克，政府補貼為t元/千克，根據(jù)市場調(diào)查，當時淡水魚的市場日供應量P千克與市場日需求量Q千克近似地滿足當P=Q時的市場價格稱為市場平衡價格。（1）將市場平衡價格表示為政府補貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域（2）為使市場平衡價格不高于每千克10元，政府補貼至少每千克多少元？解（1）依題設，有第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五解第一個方程組，得第二個不等式組無解。故所求的函數(shù)關(guān)系為：第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五例9、某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）(糧食單產(chǎn)=總產(chǎn)量/耕地面積,人均糧食占有量總產(chǎn)量/總?cè)丝跀?shù))解:設耕地平均每年至多能減少x公頃，又設該地區(qū)現(xiàn)有人口為

P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃。依題意，得不等式：答：該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃。第17頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五例9、甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（每千米小時）的平方成正比，比例系數(shù)為b、固定部分為a元。（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？解（